1、专题二十三 同步卫星和多星（精讲）一、同步卫星1同步卫星的七个一定同步卫星的轨道平面、周期、角速度、高度、速率、绕行方向、向心加速度都是一定的。（1）同步卫星的周期等于地球的自转周期。即同步卫星的周期为定值，大小为 T=24h8.6410s。（2）同步卫星离地面的高度是唯一的。由万有引力提供向心力，即 得 。即可计算出同步卫22MmGRhTRh234GMR星离地面的高度为 h3.610 7m 为一定值。（3）同步卫星的线速度是唯一确定的。由线速度的定义得到 ，算得同步卫星的线速2hvT度（即环绕速度，但不是发射速度） v3.08km/s 为一定值，但它小于第一宇宙速度。（4）同步卫星只能位于赤
2、道上空。卫星运行的圆形轨道必须与地球的赤道平面重合，这是因为同步卫星所需的向心力为地球对它的万有引力，其方向必指向地心；另一方面因为同步卫星相对地球表面静止不动，它的轨道平面与地轴垂直，因此，同步卫星的轨道平面只能是赤道平面，同步卫星的运行轨道只能是圆。（5）卫星在轨道上的位置也是确定的。每颗同步卫星都定点在世界卫星组织规定的位置上。因为所有同步卫星都在同一个确定轨道上，以相同的线速度、周期、角速度、向心加 速度做匀速圆周运动，决不能没有秩序、杂乱无章。（6）向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为 0.23 m/s2。（7）向心加速
3、度一定：由 G man得 an gh0.23 m/s2，即同步卫星的向心加Mm R h 2 GM R h 2速度等于轨道处的重力加速度。覆盖全球信号只需三颗卫星：由数学知识以及上面的数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于三分之一的地球面积，所以，均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球。2同步卫星的发射发射过程经历以下三个阶段：（1）变轨原理及过程为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达 200km300 km 的圆轨道 1 上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道” ；当卫星穿过赤道平面 A 点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道 1 上做圆周运动的向心力，
4、使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道 2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点 B 时，恰为赤道上空 3600km 处，这条轨道称为“转移轨道” 。沿轨道 1 和 2分别经过 A 点时，加速度相同； 当卫星到达远地点 B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道 3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道” 。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道 1 运行，然后点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道 3 运行。（2）两类变轨比较两类变轨 离心运动 近心运动变轨起因 卫星速
5、度突然增大 卫星速度突然减小受力分析 G mMmr2 v2r G mMmr2 v2r变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动应用 卫星的发射和回收（3）变轨过程各物理量分析速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为 v1、 v3，在轨道上过 A 点和 B 点时速率分别为 vA、 vB。在 A 点加速，则 vAv1，在 B 点加速，则 v3vB，又因 v1v3，故有 vAv1v3vB。加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是轨道上经过 A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同。周期：设卫星在、 、轨道上的运
6、行周期分别为 T1、 T2、 T3，轨道半径分 别为 r1、 r2（半长轴）、 r3，由开普勒第三定律 k 可知 T1T2T3。r3T2机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在、轨道的机械能分别为E1、 E2、 E3，则 E1E2E3。（4）卫星变轨的判断及处理思路方法要增大卫星的轨道半径，必须加速；当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大。（5）卫星变轨问题的判断：卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大。卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变 小。圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同。（6）特别提醒:“ 三个不同”两种
7、周期自转周期和公转周期的不同。两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度。两个半径天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的不同。考法 1 卫星轨道渐变时各物理量的变化分析【题 1】 （多选）2016 年 10 月 19 日，神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室成功进行了自动交会对接，航天员景海鹏、陈冬进入天宫二号。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是A为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加C如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低D航天员在天宫二号中处于失重状态，说明航天员不受
8、地球引力作用【答案】BC考法 2 卫星轨道突变前后各物理量的变化分析【题 2】我国发射了一颗地球资源探测卫星，发射时，先将卫星发射至距离地面 50 km 的近 地圆轨道1 上，然后变轨到近地点距离地面 50 km、远地点距离地面 1 500 km 的椭圆轨道 2 上，最后由轨道 2 进入半径为 7 900 km 的圆轨道 3，轨道 1、2 相切于 P 点，轨道 2、3 相切于 Q 点。忽略空气阻力和卫星质量的变化，则以下说法正确的是 A该卫星从轨道 1 变轨到轨道 2 需要在 P 处点火加速B该卫星在轨道 2 上稳定运行时， P 点的速度小于 Q 点的速度C该卫星在轨道 2 上 Q 点的加速度
9、大于在轨道 3 上 Q 点的加速度D该卫星在轨道 3 的机械能小于在轨道 1 的机械能【答案】A【题 3】 （多选）我国“神舟十一号”载人飞船于 2016 年 10 月 17 日 7 时 30 分发射成功飞船先沿椭圆轨道飞行，在接近 400 km 高空处与“天宫二号”对接，对接后视为圆周运动，如图两名宇航员在空间实验室生活、工作了 30 天。 “神舟十一号”载人飞船于 11 月 17 日 12 时 41 分与“天宫二号”成功实施分离，11 月 18 日顺利返回至着陆场。下列判断正确的是A飞船变轨前后的机械能守恒B对接后飞船在圆轨道上运动的速度小于第一宇宙速度C宇航员在空间实验室内可以利用杠铃举
10、重来锻炼身体D分离后飞船在原轨道上通过减速运动，再逐渐接近地球表面【答案】BD【题 4】如图所示，假设月球的半径为 R，月球表面的重力加速度为 g0，飞船沿距月球表面高度为 3R的圆形轨道运动，到达轨道的 A 点点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点 B 再次点火进入月球近月轨道，绕月球做匀速圆周运动下列判断正确的是A飞船在轨道上的运行速率 vg0R2B飞船在 A 点处点火变轨时，动能增加C飞船从 A 到 B 运行的过程中机械能增大D飞船在轨道绕月球运动一周所需的时间 TRg0【 答案】A【解析】飞船在轨道上，万有引力提供向心力： m ；在月球表面，万有引力等于重力得：GMm 4R 2 v24
11、R mg0，解得： v ，故 A 正确；飞船在 A 点处点火变轨时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，GMmR2 g0R2向心进入椭圆轨道，所以动能是减小的，B 错误；飞船点火后，从 A 到 B 运行的过程中，只有重力做功，机械能不变，故 C 错误；飞船在轨道绕月球运动，万有引力提供向心力，有： m R，又GMmR2 4 2T2 mg0，解得： T2 ，故 D 错误；故选 A。GMmR2 Rg03一般卫星与同步卫星运行轨道的区别（1）由于卫星作圆周运动的向心力必须由地球给它的万有引力来提供，所以所有的地球卫星包括同步卫星，其轨道圆的圆心都必须在地球的 的球心上。（2）同步卫星是跟地球自转同步，
12、故其轨道平面首先必须与地球的赤道圆面相平行。又因做匀速圆周运动的向心力由地球给它的万有引力提供，而万有引力方向通过地心，故轨道平面就应与赤道平面相重合。（3）一般卫星的轨道平面、周期、角速度、线速度、轨道半径都在一定的范围内任取。而同步卫星的周期、角速度、线速度、轨道半径都是确定的。二者的质量（动能、势能、机械能）都不确定。二、双星和多星1双星（1）定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。它们在宇宙中往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它
13、们的万有引力可以忽略不计。（2）双星的特点“向心力等大反向”各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故 F1 F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。所以有 m1 r1， m2 r2。Gm1m2L2 21 Gm1m2L2 2“周期、角速度相同”两颗星做匀速圆周运动的周期及角速度都相同，即 T1 T2， 1 2。“距离不变”两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离， r1 r2 L。“半径反比”圆心在两颗行星的连线上，且 r1 r2 L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即 ，
14、与星体运动的线速度成反比。m1m2 r2r1若在双星模型中，图中 L、 m1、 m2、 G 为已知量，双星的运动周期 T2 。 L3G m1 m2若双星运动的周期为 T，双星之间的距离为 L， G 已知，双星的总质量 m1 m2 ，即双星系4 2L3T2G统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。（3）在处理双星问题时要特别注意以下几个问题：由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做 匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由 F=mr
15、2可得 ，可得 ，即固定点离质量大的星较近。mr1LmrLr21212,列式时须注意：万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离，按题意应该是 L，而向心力表达式中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为 r1、 r2，千万不可混淆。当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计） ，其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。（4）模型条件：两颗星彼此相距较近。两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。两颗星绕同一圆心做圆周运动。（5）解答双星问题应注意“两等”
16、 “两不等”双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等 的。“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由 m1 2r1 m2 2r2知由于 m1与 m2一般不相等，故 r1与 r2一般也不相等。【题 5】质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点 O 做匀速圆周运动，构成双星系统由天文观察测得其运动周期为 T，两星体之间的距离为 r，已知引力常量为 G.下列说法正确的是A双星系统的平均密度为
17、3GT2B O 点离质量较大的星体较远 C双星系统的总质量为 4 2r3GT2D若在 O 点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零【答案】C法求出双星系统的平均密度，故 A 错误，C 正确。根据 mr1 Mr2可知，质量大的星体离 O 点较近，故 B 错误。因为 O 点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可知若在 O 点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零。故 D 错误。【题 6】如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L。已知 A、 B 的中心和 O 点始终共线， A
18、 和 B 分别在 O 点的两侧。引力常量为 G。（1）求两星球做圆周运动的周期。（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期记为 T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 T2。已知地球和月球的质量分别为 5.981024 kg 和 7.351022 kg。求 T2与 T1两者的平方之比。 （结果保留 3 位小数）【答案】 （1）2 （2）1.012L3G M m联立解得 R L， r LmM m MM m对 A，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 m 2 LGMmL2 (2T) MM m解
19、得 T2 。L3G M m（2）由题意，可以将地月系统看成双星系统，由（1）得 T12 L3G M m若认为月球绕地心做圆周运动，则根据牛顿第二定律 和万有引力定律得 m 2L GMmL2 (2T2)解得 T22 L3GM所以 T2与 T1的平方之比为 1.012。T22T12 M mM 5.981024 7.3510225.981024【题 7】2016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦 100 年前的预言，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图” 。其实，孤立的恒星与一颗行星组成的系统就是一个双星系统。如图所示，恒星 a、行星 b 在万有引力作用下，
20、绕连线上一点 O 以相同的周期做匀速圆周运动。现测得行星 b 做圆周运动的半径为 rb，运动的周期为 T， a、 b 的距离为 l，已知万有引力常量为 G，则A恒星 a 的质量为4 2rb3GT2B恒星 a 与行星 b 的总质量为 4 2l3GT2C恒星 a 与行星 b 的质量之比为l rbrbD恒星 a 的运动可以等效于绕静止在 O 点、质量为 的天体做半径为（ l rb）的圆周运动4 2rb3GT2【答案】B即 M2 ；对 M2： G M2 2rb，即 M1 ；4 2l2 l rbGT2 M1M2l2 (2T) 4 2l2rbGT2则恒星 a 与行星 b 的总质量为 M1 M2 （ l r
21、b rb） .恒星 a 与行星 b 的质量之比为4 2l2GT2 4 2l3GT2 恒星 a 的运动可以等效于绕静止在 O 点、质量为 M 的天体做半径为（ l rb）的圆周运动，由万M1M2 rbl rb有引力定律和牛顿第二定律得 M1（ ） 2（ l rb） ，即 MGMM1 l rb 2 2T 4 2 l rb 3GT2综上所述，选项 B 正确，A、C、D 错误。2 “多星”模型（1）多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。（2） “多星”问题多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个
22、行星对该行星的万有引力的合力提供。每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。注意利用几何知识求半径。（3）三星模型：如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力： ma。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。Gm2r2 Gm2 2r 2如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。 2cos 30 ma 其中 L2 rcos Gm2L23
23、0。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。【题 8】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为 A、 B、 C 三颗星体质量不相同时的一般情况） 。若 A 星体质量为2m、 B、 C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求：（1） A 星体所受合力大小 FA；（2） B 星体所受合力大小 FB；（3） C 星体的轨道半径 RC；（4）三星体做圆周运动的周期 T。【答案】 （1）2 G （2） G （3） a（
24、4）3m2a2 7m2a2 74 a3Gm则合力大小为 FA FBAcos 30 FCAcos 302 G 。3m2a2（2）同上， B 星体所受 A、 C 星体引力大小分别为 FAB G G FCB G GmAmBr2 2m2a2 mCmBr2 m2a2方向如图，【题 9】由三颗星体构成的系统 ，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 A、 B、 C 三颗星体质量不相同时的一般情况） 。若 A 星体质量为2m， B、 C 两星体的质量均为 m，三
25、角形的边长为 a，求：（1） A 星体所受合力大小 FA；（2） B 星体所受合力大小 FB；（3） C 星体的轨道半径 RC；（4）三星体做圆周运动的周期 T。【答案】 （1）2 G （2） G （3） a （4） 3m2a2 7m2a2 74 a3Gm【解析】 （1）由万有引力定律， A 星体所受 B、 C 星体引力大小为 FCA FBA G G FCA，方向mAmBr2 2m2a2如右图所示，则合力大小为 FA2 FCAcos302 G 。3m2a2（3）通过分析可知，圆心 O 在中垂线 AD 的中点，则 RC ，(34a)2 (12a)2可得 RC a。74（或由对称性可知 OB OC
26、 RC，cos OBD ，得 RC a） 。FBxFB DBOB 12aRC 74（4）三星体运动周期相同，对 C 星体，由 FC FB G m 2RC，7m2a2 (2T)可得 T 。a3Gm（4） “四星”模型如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，2cos 45 ma，其中 r L。Gm2L2 Gm2 2L 2 22四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。如图所示：三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心 O 点，三颗行星以 O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。 2cos 30 ma
27、。其中 L2 rcos 30。外Gm2L2 GMmr2围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动。另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点 O，外围三颗星绕 O 做匀速圆周运动。【题 10】 （多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是A四颗星围绕正方形
28、对角线的交点做匀速圆周运动 B四颗星的轨道半径均为 a2C四颗星表面的重力加速度均为 GmR2D四颗星的周期均为 2 a 2a 4 2 Gm【答案】ACD【题 11】 （多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B四颗星的轨道半径均为a2C四颗星表面的重力加速度均为GmR2D四颗星的周期均为 2a2a 4 2 Gm【答案】AD（5）紧抓四点解决双星、多星问题双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。星体的角速度相等。星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
