1、考点 14 导数在研究函数中的应用1曲线 在点(0,1)处的切线方程是( )A B C D 【答案】A2设函数 ， ，给定下列命题不等式 的解集为 ；函数 在 单调递增，在 单调递减； 时，总有 恒成立；若函数 有两个极值点，则实数 则正确的命题的个数为A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解 析】函数 ，则 ，对于， 即 ， ，即 ，故正确3函数 是定义在 上的奇函数，且 ，若对任意 ，且 时，都有成立，则不等式 的解集为A B C D 【答案】C4对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 ，则必有( )A B C D 【答案】B【解析】不等式 等价于 或 ，即原不等式等价于 或
2、，当 时，函数 单调递增；当 时，函数 单调递减，当 时，函数 取得极大值，也为最大值， 故选 B5设可导函数 在 R 上图象连续且存在唯一极值，若在 x2 处， f(x)存在极大值，则下列判断正确的是( )A 当 时， ，当 时， .B 当 时， ，当 时， .C 当 时， ，当 时， .D 当 时， ，当 时， .【答案】A6设函数 （ ） （）求函数 的单调区间；（）记函数 的最小值为 ，证明： 【答案】 （1） 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）见解析【解析】（）显然 的定义域为 7已知函数 ，设 是 的导函数（1）求 ，并指出函数 的单调性和值域；（2）若 的最小值等于 0，证明
3、： 【答案】 （1）答案见解析；（2）证明见解析8已知函数 。（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；（2）求函数 在 上的最小值；（3）证明 ： ，都有 【答案】(1) ；(2 )答案见解析；(3)证明见解析.【解析】 （1） 时，9已知函数 ， .（1）讨论 的单调性；（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）当 时，在 上， 是减函数,当 时，在 上， 是减函数,在 上，是增函数；（2）10已知 （1）试讨论函数 的单调性；（2）若 对 恒成立，求 的值【答案】见解析；1【解析】 ，当 时， 上恒成立， ，当 时， ， .（2）当 时，由（1） 且 ，当 时 ，不
4、符合条件，当 时， ， ，恒成立，只需 即 ，记 ，则 ， ，.11函数 （1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）求函数在区间 的 最值【答案】 ； ，.12设 （1）求 的最小 值；（2）证明： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析即 f(x)x 2x 2lnx13设函数 .（1）求函数 的极小值；（2）若关于 x 的方程 在区间 上有唯一实数解，求实数 的取值范围.【答案】 （1）极小值为 ；（2） 。14设函数 。（1）求函数 的单调减区间；（2）若函数 在区间 上的极大值为 8，求在 区间 上的最小值。【答案】 （1）减区间为（1，2） ；（2）f(x)的最小值为-19。【解析】 （
5、1）f（x）=6x 2-6x12=6（x-2） （x+1） ，令 ，得1x 2函数 f（x）的减区间为（1，2） （2）由（1）知，f（x）=6x 2-6x12=6（x+1） （x2） ，令 f（x）=0，得 x=-1 或 x=2（舍） 当 x 在闭区间-2，3变化时，f（x） ，f（x）变化情况如下表x (-2,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3)f（x） + 0 - 0 +f（x） 单调递增 m+7 单调递减 m-20 单调递增当 x=-1 时，f（x）取极大值 f（-1）=m+7，由已知 m+7=8，得 m=1当 x=2 时 f(x)取极小值 f(2)=m-20=-19又 f(-2
6、)=-3,所以 f(x)的最小值为-1915已知函数 （）求函数 的单调区间与极值；（）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；（）求证： .【答案】 （）见解析； （） ；（）见解析.16已知函数 .(1)若 ，求函数 的单调区间；(2)若 的极小值点，求实数 a 的取值范围。【答案】 （1）单调减区间为 ，单调增区间为 （2）4当 时，在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递增；所以 是 的极大值点，不符合题意； 综上知，所求 的取值范围为17已知函数 .(1)若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，证明： .【答案】 （1） （2
7、）见解析18已知定义域为 函数 有极值点.（1）求实数 的取值范围；（2）若 为 的极小值点，求证：【答案】(1) (2)见解析【解析】(1) 由 定义域为 ，可知，有极值点的必要条件是 有根，即 有实根若 有两个相等的实根，则 可知此时没有极值点；19已知函数 .（1）当 时，试判断函数 的单调性；（2）若 ，求证：函数 在 上的最小值小于 .【答案】 （1）函数 在 上单调递増； （2）见解析.20已知函数 （1）当 时，试求 在 处的切线方程；（2）若 在 内有极值，试求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）21已知数 ，其中 为自然对数底数（ 1）讨论函数 的单调性；（2）若 a0，函
8、数 对任意的 都成立，求 a b 的最大值.【答案】 （1）答案见解析；（2） 的最大值为22若函数（1）若函数 在区间 上存在极 値，求实数 a 的取值范围（2）若函数 在区间 上存在最小値,求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2）23已知函数 .（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程及函数 的单调区间.（2)设 在 上的最小值为 ，求 的解析式【答案】 （1） 单调递增区间为 ,单调减区间是 ；（2）【解析】综上可知,当 时, 函数 的最小值是 ；当 时，函数 的最小值是. 即 .24已知函数 ， 当 时， 有最大值； 对于任意的 ，函数 是 上的增函数； 对于任意的 ，函数 一定存在最小值； 对于任意 的 ，都有 其中正确结论的序号是_ （写出所有正确结论的序号）【答案】 由于 ，故 ， ，说法错误；综上可得：正确结论的序号是.25已知函数 若存在实数 ， ，使得 且 ，则实数 的取值范围是_ .【答案】
