1、专题九 力的运算合成与分解（精讲）一、力的合成1合力与分力定义（1）共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者几个力作用在物体上的不同点，但这几个力的作用线延长后相交于同一点，这几个力就叫共点力，所以，共点力不一定作用在同一点上，如第三图所示的三个力 F1、 F2、 G 就为共点力。（2）合力和分力定义：当一个物体受到几个力的共同作用时，我们可以找到这样一个力，这个力产生的效果，跟原来几个力共同作用产生的效果相同，则这个力叫那几个力的合力，那几个力是这一个力的分力。注意：合力与分力是等效替代关系，并不同时作用于物体上，因此不能把合力和分力同时当成物体受的力。2力的合成定则（1）力的合成定义（
2、1）力的合成：求几个力的合力的过程叫力的合成。（2）特性：力的合成是唯一的。只有同一物体所受的力才可合成。不同性质的力也可以合成。（2）力的合成定则平行四边形定则：求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的线段作邻边，作平行四边形，夹在两分力之间的对角线就表示合力的大小和方向。这叫做力的平行四边形定则。应用范围：定则是一切矢量的运算法则，不仅适用于力的合成，也适用于速度、加速度等矢量合成。定则只能计算几个共点力合力，对于非共点力，合力没有意义。三角形定则：平行四边形定则可简化为三角形定则。若从 O 点出发先作出表示力 F2的有向线段，再从 F2端点出发作表示力 F1的有向线段，连接 F2的
3、始端和 F1的末端，则该有向线段即表示合力 F 的大小和方向。或求两个互成角度的共点力 F1、 F2的合力，可以把表示 F1、 F2的有向线段首尾依次相接地画出，从F1的起点到 F2的终点作有向线段，则此有向线段表示合力的大小和方向，如图乙所示。不在同一直线上的两个分力与其合力，一定围成一个封闭的三角形。类推，不在同一直线上的 n 个力与其合力，一定围成一个封闭的（ n+1）边形。3共点力合成的方法（1）作图法（图解法） 。作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。表示分力和合力有向线段共点且要画成实线，与分力平行对边要画成虚线，力线段上要画上刻度和箭头。从力的作用点起，按同一
4、标度作出两个分力 F1和 F2的图示，再以 F1和 F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向，如图所示。（2）计算法：先根据力的平行四边形定则作出力的合成示意图，然后运用数学知识求合力大小和方向。（3）求解合力的两种方法的比较作图法求合力，须严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形，才能较精确的求出合力的大小和方向计算法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求解，往往适用于两力的夹角是特殊角的情况【题 1】如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示
5、的三种情况拉住物体静止不动。在这三种情况下，若绳的张力分别为 FT1、 FT2、 FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为 FN1、 FN2、 FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则A FT1 FT2 FT3， FN1FN2FN3B FT1FT2FT3， FN1 FN2 FN3C FT1 FT2 FT3， FN1 FN2 FN3D FT1F 时，有唯一解，如图丁所示。【题 11】把一个已知力 F 分解，要求其中一个分力 F1跟 F 成 30角，而大小未知；另一个分力 F2F，但方向未知，则 F1的大小可能是33A F B F C F D F33 32 3 233【答案】D【解析】如图所示，过 F 点作
6、F1的垂线 FA，则 Fsin30 。AFF23按力的实际情况分解的方法（1）力的效果分解法通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。思路：效果分解法：按力的作用效果分解（思路图）实际问题根据力的作用效果确定两个实际分力的方向再根据两个实际分力方向（平行四边形定则）作出平行四边形把对力的计算转化为边角的计算由三角形知识或数学知识求出两分力的大小。4常见实例分析（1）拉力 F 一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力 F 可分解为水平向前的力 F1（ F1 Fcos ）和竖直向上的力 F2（ F2 Fsin ） 。（2）物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力 F
7、1；二是使物体压紧斜面的分力 F2， F1 mgsin ， F2 mgcos 。（3）球的重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力 F1；二是使球压紧斜面的分力F2。 F1 mgtan ， F2 。mgcos（4）球的重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力 F1；二是使球拉紧悬线的分力F2。 F1 mgtan ， F2 。mgcos（5）物体的重力产生两个效果：一是使物体拉紧 AO 线的分力 F1；二是使物体拉紧 BO 线的分力F2。 F1 F2 。mg2sin（6）质量为 m 的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸 AB 的分力 F1；二是压缩 BC的分力 F2。 F1 m
8、gtan ， F2 。mgcos【特别提醒】按力的作用效果分解时，准确确定两个分力的方向是关键，作出平行四边形后常用三角函数、相似三角形求解。把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代的关系，不能认为在这两个分力方向上有两个施力体（或受力体） ，如物体沿斜面下滑时，重力分解为沿斜面下滑的力 G1 Gsin ，和压向斜面的力 G2=Gc os ，这两个力都是物体受到的，施力体只有一个地球。也不能错误地认为 G2就是对斜面的压力，因为 G2不是斜面受到的力，且性质也与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力。【题 12】如图所示，电灯的重力 G10 N， AO 绳与顶板间的夹角为 45， BO 绳水
9、平，试求 AO 绳和BO 绳拉力的大小？【答案】 AO 绳和 BO 绳拉力的大小分别为 10 N、10 N2法 1：力的作用效果分解法结点 O 和灯的重力产生了两个效果，一是沿 OA 向下的拉紧 AO 的分力 F1，二是沿 BO 向左的拉紧 BO 绳的分力 F2，画出平行四边形如图甲所示，因此，由几何关系得F1 10 N F2 10 N。Gsin45 2 Gtan45法 2：正交分解法结点 O 与灯受到三个力作用 FA、 FB、 G，如图乙所示。由水平方向和竖直方向，列方程得FAsin45 G， FAcos45 FB解得 FA10 N， FB10 N。2【题 13】如下图所示，光滑斜面的倾角为
10、 ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板 A、 B 挡住，挡板A 沿竖直方向，挡板 B 垂直斜面，则两挡板受到小球压力大小之比为_，斜面受到的两个小球压力的大小之比为 。【答案】 1cos 1cos2对球 1 所受重力来说，其效果有二：第一，使物体欲沿水平方向推开挡板；第二，使物体压紧斜面。因此，其力的分解如图甲所示，由此得两个分力，大小分别为： F1 Gtan ， F2 G/cos 。对球 2 所受重力 G 来说，其效果有二：第一，使物体垂直挤压挡板；第二，使物体压紧斜面。因此，其力的分解如上图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为： F3 Gsin F4 Gcos所以挡板 A、 B 所受压力之比
11、为： 斜面所受两个小球压力之比为： F1F3 1cos F2F4 1cos2三、正交分解法1定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。2建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上） ；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。3方法：物体受到多个力作用 F1、 F2、 F3，求合力 F 时，可把各力沿相互垂直的 x 轴、 y 轴分解，即由不在坐标轴上的每个力的末端分别向 x 轴、 y 轴作垂线，坐标轴原点到垂足间的部分就为该力在该坐标轴上的分力。x 轴上的合力： Fx Fx1 Fx2 Fx3 y 轴上
12、的合力： Fy Fy1 Fy2 Fy3。合力大小： F 合力方向：与 x 轴夹角为 ，则 tan 。F2x F2yFyFx4正交分解法的适用原则正交分解法是分析力或其他矢量问题的常用方法，往往适用于下列情况：（1） 物体受到三个以上的力的情况.（2）物体受到三个力的作用，其中有两个力互相垂直的情况.（3）只分析物体某一方向的运动情况时，需要把不沿该方向的力正交分解，然后分析该方向上的受力情况.【题 14】如图所示，某人用轻绳牵住一只质量 m0.6kg 的氢气球，因受水平风力的作用，系氢气球的轻绳与水平方向成 37角。已知空气对气球的浮力为 15N，人的质量 M50kg，且人受的浮力忽略不计（
13、g 取 10N/kg，sin370.6，cos370.8） 。求：（1）水平风力的大小；（2）人对地面的压力大小；（3）若水平风力增强，人对地面的压力如何变化？（要求说明理由）【答案】 （1）12N （2）491N （3）见解析。（2）对人进行受力分析，并分解如图：由平衡条件列式：竖直方向： FN Mg Tsin37500150.6491N；（3）若风力增强，只改变了水平方向的力，视气球及人为一整体可知，竖直方向上的受力情况没改变，人对地面的压力不变。【题 15】减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为 F，下
14、图中弹力 F 画法正确且分解合理的是【答案】B拓展点 一个结论的应用结论：把一合力对称分解为两大小相等的分力，两分力夹角越大，两分力越大。【题 16】家中厨房中用的菜刀、木工用的斧头等，其横截面可简化为一个等腰三角形，如图所示，在物理中称为劈，设劈顶角 ACB2 ，劈的重力不计，当垂直劈背加上压力 F 后，两侧劈面对物体的作用力为多少？顶角的大小会产生什么影响？【答案】 劈的顶角 2 较小时， 角较小，sin 较小，加上同样的压力 F 后，两侧面推F2sin 开物体的力较大，反之，劈的顶角较大时，在同样的压力下两侧面推开物体的力较小。【解析】劈背上加压力 F 后，产生的效果是沿垂直 AC、 B
15、C 两侧面方向把物体推开，因此将 F 沿这两个方向分解，画出力分解的平行四边形，如图所示，由 sin ，得两侧面推开物体的力 F1 F212FF1。劈的顶角 2 较小时， 角较小，sin 较小，加上同样的压力 F 后，两侧面推开物体的力较F2sin 大，反之，劈的顶角较大时，在同样的压力下两侧面推开物体的力较小。因此锋利的刀具，其刀口必定做得很簿，但刀口较薄时，强度就差了，使用中容易“卷刃” ，所以应用中要兼顾这两个方面。【题 17】 （多选）如图所示，吊车用两根等长的绳子 OA 和 OB 将质量分布均匀的铁板匀速吊离地面，下列说法中正确的是A绳越长，每根绳对铁板拉力越小B绳越长，两根绳对铁板
16、拉力的合力越小C两根绳子对铁板拉力的合力竖直向上D两根绳子对铁板的拉力和铁板的重力是共点力【答案】ACD四、对称法解决非共面力问题在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，解决此类问题时要注意图形结构的对称性特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等，方向特点相同等。【题 18】 （多选）如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同。下列说法正确的有 A三条绳中的张力都相等B杆对地面的压力大于自身重力C绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零D绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力【答案】BC
