1、专题十一 动态平衡与平衡中的极值和临界问题（精讲）一、动态平衡1动态平衡：指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体始终处于一系列的平衡状态。2解决动态平衡问题的关键：抓住不变量，确定自变量，依据不变量与自变量的关系来确定其他量的变化规律。3处理动态平衡问题的一般思路（1）平行四边形定则是基本方法，但也要根据实际情况采用不同的方法，若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系。（2）图解法的适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。（3）用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律：若已知 F 合
2、的方向、大小及一个分力 F1的方向，则另一分力 F2的最小值的条件为 F1 F2；若已知 F 合 的方向及一个分力 F1的大小、方向，则另一分力 F2的最小值的条件为 F2 F 合 。【题 1】如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物 G。现将轻绳的一端固定于支架上的 A 点，另一端从 B 点沿支架缓慢地向 C 点靠近。则绳中拉力大小变化的情况是A先变小后变大 B先变小后不变C先变大后不变 D先变大后变小【答案】C右端从 B 点移到直杆最上端的过程中， 增大，cos 减小，则 F 变大。当轻绳的右端从直杆最上端移到 C 点时，如图乙，设两绳的夹角为
3、2 。设绳子总长为 L，两直杆间的距离为 s，由数学知识得到 sin ， L、sL4处理动态平衡问题的三种方法：解析法、图解法和相似三角形法。方法一：解析法1对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。2解析法分析动态平衡问题的关键抓住不变量，确定自变量，依据不变量与自变量的关系（通常为三角函数关系）来确定其他量的变化规律。3解析法分析动态平衡问题的步骤（1）选某一状态对物体进行受力分析；（2）将物体受的力按实际效果分解或正交分解；（3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；（4）根据已知
4、量的变化情况来确定未知量的变化情况。【题 2】粗细均匀的电线架在 A、 B 两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是A冬季，电线对电线杆的拉力较大B夏季，电线对电线杆的拉力较大C夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大D夏季，电线杆对地面的压力较大【答案】A【解析】以整条电线为研究对象，受力分析如图所示，由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的弹力的合力与其重力平衡，由几何关系得： Fcos ，即： F 。由于夏天气温较高，电线的体mg2 mg2cos 积会膨胀，两电线杆正中部位电线下坠的距离 h 变大，则电线在杆上固定处的切
5、线方向与竖直方向的夹角 变小，故 变小，所以两电线杆处的电线拉力与冬天相比是变小。电线杆上的电线的质量一定，mg2cos 受力平衡，夏季、冬季电线杆对地面的压力相等。所以选项 B、C、D 错误，A 正确。 【题 3】如图， A、 B 为同一水平线上的两个绕绳装置，转动 A、 B 改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物 C 缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是A不变 B逐渐减小 C逐渐增大 D可能不变，也可能增大【答案】B方法二：图解法1此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。受 力分 析 化 “动 ”为 “静 ” 画 不 同
6、 状 态下 的 平 衡 图 “静 ”中 求 “动 ” 确 定 力的 变 化即对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析，在同一图中作出物体在若干状态下所受的力的平行四边形，由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化。此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力是方向不变的问题。2用力的矢量三角形分析力的最小值问题（1）若已知 F 合 的方向、大小及一个分力 F1的方向，则另一分力 F2的最小值的条件为 F1 F2。（2）若已知 F 合 的方向及一个分力 F1的大小、方向，则另一分力 F2的最小值的条件为 F2 F 合 。3图解法分析动态平衡问题的步骤（1）选某一状态对物体
7、进行受力分析；（2）根据平衡条件画出平行四边形；（3）根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化；（4）确定未知量大小、方向的变化。【题 4】半圆柱体 P 放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板 MN.在半圆柱体 P 和 MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体 Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图。现使 MN 保持竖直并且缓慢地向右平移，在 Q 滑落到地面之前，发现 P 始终保持静止。则在此过程中，下列说法中正确的是A MN 对 Q 的弹力逐渐减小B地面对 P 的摩擦力逐渐增大C P、 Q 间的弹力先减小后增大D Q 所受的合力逐渐增大【答案】B【题 5】 （多选）
8、如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为 60的光滑斜面OA，光滑挡板 OB 可绕转轴 O 在竖直平面内转动，现将一质量为 m 的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角 60，下列说法正确的是A若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动 60，则球对斜面压力逐渐增大B若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动 60，则球对挡板的压力逐渐减小C若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为 mgD若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零【答案】CD 在处理动态平衡问题时，注意图解法和解析法的适用特征。图解法适用于“两个不变”类问题，且仅限于定性分析，此法直观、简单。解
9、析法多用于定量计算或用图解法不易解决的问题。此法对数学能力要求较高，且繁琐。但分析问题严谨。需特别提醒的是图解法作图一定要规范，且不可随意乱画。【题 6】如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜面平行。现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜面，则有A轻绳对小球的拉力逐渐增大B小球对斜劈的压力先减小后增大C竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小D对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大【答案】AD【解析】设斜面倾角为 ，斜面对小球的支持力为 FN1，绳对小球的拉力为 FT，小球的重
10、力大小为G1，小滑块的重力大小为 G2，竖直杆对小滑块的弹力大小为 FN2。由于小滑块沿杆缓慢上升，所以小球沿斜面缓慢向上运动，小球处于动态平衡状态，受到的合力为零，作小球受力矢量三角形如图甲所示，绳对小球的拉力 FT逐渐增大，所以选项 A 正确；斜面对小球的弹力 FN1逐渐减小，故小球对斜面的压力逐渐减小，选项 B 错误；将小球和小滑块看成一个整体，对其进行受力分析如图乙所示，则由力的平衡条件可得：FN2 FN1sin ， F G1 G2 FN1cos ，因 FN1逐渐减小，所以 FN2逐渐减小， F 逐渐增大，故选项 C 错误，D 正确。方法三：相似三角形法1在三力平衡问题中，如果有一个力
11、是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。2相似三角形法分析动态平衡问题的步骤物体受三个力平衡时，将物体受的这三个力通过平移可以组成封闭的三角形，这个三角形是矢量三角形，如果通过画辅助线可以得到一个几何三角形，并且这两个三角形相似，则可以用相似三角形法解答这类平衡问题。【题 7】 （多选）如图所示，质量均为 m 的小球 A、 B 用劲度系数为 k1的轻弹簧相连， B 球用长为 L 的细绳悬于 O 点， A 球固定在 O 点正下方，当小球 B 平衡时，绳子所受的拉力为 T1，弹簧的弹力为 F1；现把
12、A、 B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为 k2（ k2k1）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为 T2，弹簧的弹力为 F2，则下列关于 T1与 T2、 F1与 F2大小之间的关系，正确的是A T1T2 B T1 T2 C F1F2 D F1 F2【答案】BC【题 8】如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的 A 端用铰链固定，光滑轻小滑轮在 A 点正上方， B 端吊一重物 G，现将绳的一端拴在杆的 B 端，用拉力 F 作用在绳的另一端将 B端缓慢上拉，在 AB 杆达到竖直前（均未断） ，关于绳子的拉力 F 和杆受的弹力 FN的变化，判断正
13、确的是A F 变大 B F 变小 C FN变大 D FN变小【答案】B【题 9】如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设球对墙面的压力大小为 FN1，球对木板的压力大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中A FN1始终减小， FN2始终增大 BB FN1始终减小， FN2始终减小C FN1先增大后减小， FN2始终减小 D FN1先增大后减小， FN2先减小后增大【答案】B【解析】法一（解析法）：如图甲所示，因为 FN1 FN1 ， FN2 FN2 ，随 逐渐增mgtan mgsin 大到 90，tan 、sin 都
14、增大， FN1、 FN2都逐渐减小，所以选项 B 正确。法二（图解法）：如图乙所示，把 mg 按它的两个效果进行分解如图所示。在木板缓慢转动时， FN1的方向不变， mg、 FN1、 FN2应构成一个闭合的三角形。 FN2始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时， FN2变小， FN1也变小，选项 B 正确。5带电体在复合场中的动态平衡带电体在复合场中的平衡除了受重力、弹力和摩擦力之外，还涉及电磁学中的静电力、安培力和洛伦兹力.带电体的平衡问题也遵从物体的平衡条件，既要服从力学规律，又要服从电磁学规律，这是解决此类问题的两条主线。方法：（1）电场和重力场内的平衡问题，与力学中
15、的平衡问题处理方法一样，可以用图解法和正交分解法。（2）当涉及多个研究对象时，一般采用整体法和隔离法结合的方法来求解。【题10】如图所示，相互垂直的固定绝缘光滑挡板 PO、 QO竖直放置在重力场中， a、 b为两个带有同种电荷的小球（可以近似看成点电荷），当用水平向左的力 F作用于 b球时， a、 b两球紧靠挡板且处于静止状态.现稍改变 F的大小，使 b球稍向左移动一小段距离，则当 a、 b两球重新处于静止状态后A a、 b两球间的库仑力增大B作用力 F将减小C地面对 b球的支持力变大D地面对 b球的支持力变小【答案】B二、临界问题1定义：由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化
16、为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。在问题的描述中常用“刚好” 、 “刚能” 、 “恰好”等语言叙述。解题的关键是确定“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。2求解平衡问题中的临界问题常用的方法（1）解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（画出函数图象） ，用数学方法求极值（如求二次函数极值、讨论分式求极值、公式极值、三角函数求极值以及几何法求极值等） 。（2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。（3）极限
17、法：极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端（“极大” 、 “极小” 、 “极右” 、 “极左”等） ，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。常见的临界状态有：（1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为 0（主要体现为两物体间的弹力为 0） ；（2）绳子断与不断的临界条件为绳中的张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为 0；（3）存在摩擦
18、力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大值。研究的基本思维方法：采用假设推理法。【题 11】如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为 m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与板间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将33板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为 ，最后直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小 F 随夹角 的变化关系可能是图中的【答案】C。三、极值问题1定义：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问
19、题。2解决极值问题和临界问题的方法（1）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。（2）数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系 或画出函数图象 ，用数学方法求极值 如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值 ，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。（3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行
20、四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。【题 12】质量为 M 的木楔倾角为 ，在水平面上保持静止，当将一质量为 m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。 如果用与木楔斜面成 角的力 F 拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止） 。（1）当 时，拉力 F 有最小值，求此最小值；（2）求在（1）的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？【答案】 （1） （2） mgsin 4mgsin 2cos( ) 123临界与极值问题的分析技巧（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停
21、留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。【题 13】如图所示，质量为 m 的球放在倾角为 的光滑斜面上，用挡板 AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为 ，则（重力加速度为 g）A当 30时，挡板 AO 所受压力最小，最小值为 mgsinB当 60时，挡板 AO 所受压力最小，最小值为 mgcosC当 60时，挡板 AO 所受压力最小，最小值为 mgsinD当 90时，挡板 AO 所受压力最小，最小值为 mgsin【答案】D【题 14】物体 A 的质量为 2 kg，两根轻细绳 b 和 c 的一端连接于竖
22、直墙上，另一端系于物体 A 上，在物体 A 上另施加一个方向与水平线成 角的拉力 F，相关几何关系如图所示， 60。若要使两绳都能伸直，求拉力 F 的取值范围。 （ g 取 10 m/s2）【答案】 N F N2033 4033【解析】当 c 刚好伸直时， F 有最小值；当 b 刚要松弛时， F 有最大值。法一 c 绳刚好伸直时，拉力 F 最小，物体 A 受力如图甲所示。由平衡条件得Fminsin Fbsin mg0 Fmincos Fbcos 0 解得 Fmin Nmg2sin 2033b 绳刚好伸直时，拉力 F 最大，物体 A 受力如图乙所示。法二 作出物体 A 的受力分析图如图丙所示，由平衡条件得Fsin F1sin mg0 Fcos F2 F1cos 0 由式得 F F1 mgsin由式得 F mg2sin F22cos要使两绳都伸直，则有 F10， F20，所以由式得 Fmax Nmgsin 4033
