1、高考大题增分专项一高考中的函数与导数,-2-,从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值问题.,-3-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一差函数法证明函数不等式f(x)g(x),可证明f(x)-g(x)0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为f(x)-g(x)表达式的某一部分,利用导数证明h(x)min0;如果h(x)没有最
2、小值,那么可利用导数确定出h(x)的单调性,例如h(x)0,则h(x)在(a,b)内是增函数,同时若h(a)0,则当x(a,b)时,有h(x)0,即f(x)g(x).,-4-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例1设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.解(1)(导数与函数的单调性)令f(x)=0解得x=1.当00,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.,-5-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-6-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练1已知函
3、数f(x)=ax+ln x,函数g(x)的导函数g(x)=ex,且g(0)g(1)=e,其中e为自然对数的底数.(1)若x(0,+),使得不等式 成立,试求实数m的取值范围;(2)当a=0时,对于x(0,+),求证:f(x)g(x)-2.,-7-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(1)解: 因为函数g(x)的导函数g(x)=ex,所以g(x)=ex+c(c为常数).因为g(0)g(1)=e,所以(1+c)e=e,可得c=0,即g(x)=ex.因为x(0,+),使得不等式g(x)m,可将该不等式转化为g(x)h(x)的形式,再证明g(x)minh(x)max.,-10-,题型一,
4、题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-11-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-12-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练2(2017河北武邑中学一模)已知函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR.(1)若a=1,求f(x)的递增区间;(2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;,-13-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-14-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略三求导函数零点法若使用策略一或策略二解答时,遇到令f(x)=0,但无法解出导函数的零点x0时,可利用函数零点存在性定理,
5、试出导函数在区间(a,b)内的零点x0,再判断导函数在区间(a,x0),(x0,b)的正负情况,从而判断f(x)在x0处取得最值,求出最值并通过对最值的处理消去x0使问题得到解决.,-15-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例3设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;,-16-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-17-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练3设函数f(x)=ax-2-ln x(aR).(1)若f(x)在点(e,f(e)处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间
6、;(3)若g(x)=ax-ex,求证:当x0时,f(x)g(x).,-18-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-19-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-20-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-21-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一分离参数法已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围,一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解.即f(x)g(k)f(x)ming(k),f(x)g(k)f(x)maxg(k).,-22-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例4已知函数f(x)=a(tan
7、 x+1)-ex.(1)若f(x)在x=0处的切线经过点(2,3),求a的值;(2)当x 时,f(x)0,求a的取值范围.,-23-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练4已知函数f(x)=aln x+bx(a,bR)在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y-2=0.(1)求a,b的值;,-24-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-25-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二分类讨论法当不等式中的参数无法分离,或含参数不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为
8、问题的解决提供新的条件.因此,求参数的取值范围转换成了讨论参数在哪些取值范围能使不等式成立.,-26-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例5已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x(1,+)时,-27-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,()当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x
9、)0,g(x)在(1,+)内单调递增,因此g(x)0;()当a2时,令g(x)=0得由x21和x1x2=1得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)内单调递减,因此g(x)0.综上,a的取值范围是(-,2.,-28-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练5(2017福建莆田一模)已知函数f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-ln x.(2)若过点P(a,-4)恰有三条直线与曲线y=f(x)相切,求a的取值范围.,减,g(x)的最大值为g(1)=k+1.当k0,g(e)=ke0,g(x)在1,+)内有1个零点;综上所述,k-1时,h(x)有
10、1个零点;-1kg(x2)恒成立,则f(x)ming(x)max.若对x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)min.若对x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)max0,解得0x2m,此时函数f(x)单调递增;令f(x)0,解得2m0时,解不等式f(x)0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在t,t+1上有解.解(1)因为ex0,所以不等式f(x)0等价于ax2+x0.,-41-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-42-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,对点训练7(2017宁夏中卫二模)设函数f(x)=x2
11、-aln x,g(x)=(a-2)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2,求满足条件的最小正整数a的值;,-43-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-44-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-45-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,t0,m(t)0,当且仅当t=1时,m(t)=0,m(t)在(0,+)内是增函数.又m(1)=0,当t(0,1)时,m(t)0),讨论h(x)零点的个数.,-52-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-53-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-54-,题型一,题型二,题型
12、三,策略一,策略二,-55-,1.不等式的恒成立问题常常转化为函数的最值问题求解;证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题进行证明;方程解的问题常常转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题求解.2.关于二次求导问题:(1)在讨论函数单调性时,如果导函数值的符号不容易确定,那么一般是对导函数再次求导判断出导函数的单调性,通过导函数的零点来确定导函数值的符号,从而判断出原函数的单调性;(2)利用求导的方法可求出某一函数的最值,如果求出的最值仍然是含有变量的表达式,那么在确定这一表达式的最值时仍然需要求导.,-56-,3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.4.所求问题如何转化成能利用导数解决的问题是关键.直接利用导数解决的问题一个是函数的单调性,一个是函数的极值或最值,所以应将具体问题通过等价转换(或构造函数),使所求问题转化成与函数的单调性或极值、最值有关的问题.,
