1、1周周测 10 立体几何综合测试一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2018山西太原模拟)如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是( )答案：C解析：若棱锥为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面为直角三角形，A，B，D是可能的；若棱锥为四棱锥，其底面为正方形，C 对角线位置错误，故选 C.2(2018广东揭阳质检)设 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( )A若 l m， m ，则 l B若 l ， l m，则 m C若 l ， m ，则 l
2、mD若 l ， m ，则 l m答案：B解析：对于选项 A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；对于选项 B，由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故正确；对于选项 C， l ， m ，则 l m 或两线异面，故不正确；对于选项 D，平行于同一平面的两直线可能平行、异面或相交，不正确故选 B.3(2018唐山一模)下列命题正确的是( )A若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面垂直于同一个平面，则
3、这两个平面平行答案：C解析：A 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于 B 选项，如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面 ABB1A1和平面 BCC1B1与 B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交C 正确4(2018山东泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于( )2A4 B.2 34C. D541 2答案：C解析：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，有两个侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥，最长的棱长等于 ，故选 C.25 16 415(2018山东临汾模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体
4、的表面积为( )A8( 1) B8( 1)23 3C8( 1) D8( 1)3 3答案：A解析：由三视图可知原几何体是长方体中间挖掉一个圆锥得到的几何体，圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则几何体的表面积为 S42 2221 21283 8 .故选 A.36(2018湖南湘中名校)已知 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， m ，则 C若 ， ，则 D若 m ， n ，则 m n答案：D解析：A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的
5、性质定理可知结论正确，故选 D.7(2018青岛质量检测)设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则能得出 a b 的是( )A a ， b ， B a ， b ， C a ， b ， D a ， b ， 答案：C解析：A 中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B 中，两直线平行，故不正确；C 中，由 ， a 可得 ，又 b ，得 a b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确8(2018长沙一模)如图所示，在直角梯形 BCEF 中， CBF BCE90， A、 D 分别是 BF、 CE 上的点， AD BC，且 AB DE2 BC2 AF(如图 1)将四边形
6、 ADEF 沿 AD 折起，连接 AC、 CF、 BE、 BF、 CE(如图 2)，在折起的过程中，下列说法错误的是( )3A AC平面 BEFB B、 C、 E、 F 四点不可能共面C若 EF CF，则平面 ADEF平面 ABCDD平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直答案：D解析：A 选项，连接 BD，交 AC 于点 O，取 BE 的中点 M，连接 OM， FM，易证四边形AOMF 是平行四边形，所以 AO FM，因为 FM平面 BEF， AC平面 BEF，所以 AC平面BEF；B 选项，若 B、 C、 E、 F 四点共面，因为 BC AD，所以 BC平面 ADEF，可推出BC EF，又
7、BC AD，所以 AD EF，矛盾；C 选项，连接 FD，在平面 ADEF 内，易得EF FD，又 EF CF， FD CF F，所以 EF平面 CDF，所以 EF CD，又 CD AD， EF 与 AD相交，所以 CD平面 ADEF，所以平面 ADEF平面 ABCD；D 选项，延长 AF 至 G，使AF FG，连接 BG、 EG，易得平面 BCE平面 ABF，过 F 作 FN BG 于 N，则 FN平面 BCE，若平面 BCE平面 BEF，则过 F 作直线与平面 BCE 垂直，其垂足在 BE 上，矛盾综上，选D.9(2017新课标全国卷，4)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是
8、某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63C42 D36答案：B解析：本题考查三视图和空间几何体的体积由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直线为 6，高为 14 的圆柱，所以该几何体的体积 V 321463.故12选 B.10(2018河南百校联盟质检)如图，在空间四边形 ABCD(A， B， C， D 不共面)中，一个平面与边 AB， BC， CD， DA 分别交于 E， F， G， H(不含端点)，则下列结论错误的是( )A若 AE ： BE CF ： BF，则 AC平面 EFGHB若 E， F， G， H 分别为各边中点，则
9、四边形 EFGH 为平行四边形C若 E， F， G， H 分别为各边中点且 AC BD，则四边形 EFGH 为矩形D若 E， F， G， H 分别为各边中点且 AC BD，则四边形 EFGH 为矩形4答案：C解析：将四个点连接，得到一个四边形 EFGH.若 E， F， G， H 分别为各边中点，则由中位线的性质知， EH FG， EF HG，故四边形 EFGH 是平行四边形又若 AC BD，则HG AC BD EH，故四边形 EFGH 是菱形，C 错故选 C.12 1211(2018贵阳市监测考试)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则以下命题正确的是( )A m ， n
10、， m n B ， m ， n m nC ， m ， n m nD ， m， n mn 答案：B解析：由于 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则当m ， n ， m n 时， ， 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正确；当 ， m ， n 时， m 与 n 一定垂直，故 B 正确；当 ， m ， n 时， m与 n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故 C 不正确；当 ， m 时，若n m， n ，则 n ，但题目中无条件 n ，故 D 不正确故选 B.12(2018运城一模)在 ABC 中， C90， B30， AC1， M 为 AB 的中点，将 BCM 沿 CM
11、 折起，使点 A， B 间的距离为 ，则点 M 到平面 ABC 的距离为( )2A. B.12 32C1 D.32答案：A解析：在平面图形中，由已知得 AB2， AM BM MC1， BC ， AMC 为等边三3角形，取 CM 的中点 D，连接 AD，则 AD CM，设 AD 的延长线交 BC 于 E，则 AD ， DE32， CE .根据题意知，折起后的图形如图所示，由 BC2 AC2 AB2，知 BAC90，又36 33cos ECA ，连接 AE，则 AE2 CA2 CE22 CACEcos ECA ，于是33 23AC2 AE2 CE2， AEC90， AE BC. AD2 AE2 E
12、D2， AE DE，又 BC， DE平面BCM， BC DE E， AE平面 BCM，即 AE 是三棱锥 A BCM 的高，设点 M 到平面 ABC 的距离为 h， S BCM ， AE ，所以由 VA BCM VM ABC，可得34 63 1h， h ，故选 A.13 34 63 13 12 2 12二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13(2018河南质检)已知 m， n 是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 ， m ， n ，则 m n；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n
13、 ， ，则 m n.5其中所有正确命题的序号是_答案：解析：对于，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此不正确对于，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知正确对于，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此不正确对于，由 n 得，在平面 内必存在直线 n1平行于直线 n；由 m ， 得 m ， m n1；又 n1 n，因此有 m n，正确综上所述，所有正确命题的序号是.14(2018定州二模)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2， E 为 AD 的中点，点F
14、 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则 EF_.答案： 2解析：根据题意，因为 EF平面 AB1C，所以 EF AC.又 E 是 AD 的中点，所以 F 是 CD的中点因为在 Rt DEF 中， DE DF1，故 EF .215(2018河北衡水故城高中月考)已知正三棱锥 P ABC，点 P， A， B， C 都在半径为 的球面上，若 PA， PB， PC 两两垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_3答案：33解析：正三棱锥 P ABC， PA， PB， PC 两两垂直，此正三棱锥的外接球为以PA， PB， PC 为三条棱的正方体的外接球 O.球 O 的半径为 ，正方体的棱长为 2，即3P
15、A PB PC2.球心到截面 ABC 的距离，即正方体的中心到截面 ABC 的距离设 P 到截面ABC 的距离为 h，则正三棱锥 P ABC 的体积 V S ABCh S PABPC 22213 13 13 12.43 ABC 为边长为 2 的正三角形， S ABC (2 )22 ，234 2 3 h .3VS ABC 233球心 O 到截面 ABC 的距离为 .3233 3316(2018许昌一模)如图，在棱长均相等的四棱锥 P ABCD 中， O 为底面正方形的中心， M， N 分别为侧棱 PA， PB 的中点，有下列结论： PC平面 OMN；平面 PCD平面 OMN； OM PA；直线
16、PD 与 MN 所成角的大小为 90.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)答案：6解析：如图，连接 AC，易得 PC OM，所以 PC平面 OMN，结论正确同理PD ON，所以平面 PCD平面 OMN，结论正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2 BC2 PA2 PC2 AC2，所以 PC PA，又 PC OM，所以 OM PA，结论正确由于M， N 分别为侧棱 PA， PB 的中点，所以 MN AB，又四边形 ABCD 为正方形，所以 AB CD，所以直线 PD 与 MN 所成的角即直线 PD 与 CD 所成的角 PDC，又三角形 PDC 为等边三角形，所以 PDC60，故错误故正
17、确的结论为.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)(2018湖南师大附中模拟)如图，已知 AB平面 ACD， DE AB， ACD 是正三角形，AD DE2 AB，且 F 是 CD 的中点(1)求证： AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE.证明：(1)取 CE 的中点 P，连接 FP， BP. F 为 CD 的中点， FP DE，且 FP DE.12又 AB DE，且 AB DE. AB FP，且 AB FP，12四边形 ABPF 为平行四边形， AF BP.又 AF平面 BCE， BP平面 BCE
18、， AF平面 BCE.(2) ACD 为正三角形， AF CD. AB平面 ACD， DE AB， DE平面 ACD.又 AF平面 ACD， DE AF.又 CD DE D， AF平面 CDE.又 BP AF， BP平面 CDE.又 BP平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.18(本小题满分 12 分)(2018陕西西安八校联考)如图， AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， BAC30，AC BM，交 AC 于点 M， EA平面 ABC， CF AE， AE3， AC4， CF1.(1)证明： BF EM；(2)求三棱锥 B EFM 的体积7解析：(1)证明： EA平面 ABC，
19、EA BM，又 BM AC， AC EA A， BM平面 ACFE， BM EM. CF AE， CF平面 ABC， CF AC， FM ，又 EM3 ， EF 2 ，MC2 FC2 2 2 42 22 5 FM2 EM2 EF2， EM FM.由并结合 FM BM M，得 EM平面 BMF， BF平面 BMF EM BF.(2)由(1)可知 EM平面 BMF， VB EFM VE BMF S BMFEM ( )3 .13 13 12 2 3 2 319(本小题满分 12 分)(2018长沙一模)如图，在三棱锥 P ABC 中， E， F 分别为 AC， BC 的中点(1)证明： EF平面 P
20、AB；(2)若平面 PAC平面 ABC，且 PA PC， ABC90，求证： BC平面 PEF.解析：(1)因为 E， F 分别为 AC， BC 的中点，所以 EF AB，又 EF平面 PAB， AB平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)在三角形 PAC 中，因为 PA PC， E 为 AC 的中点，所以 PE AC.因为平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC AC， PE平面 PAC，所以 PE平面 ABC，因为 BC平面 ABC，所以 PE BC.又 EF AB， ABC90，所以 EF BC.又 EF平面 PEF， PE平面 PEF， EF PE E，所以 BC平面 P
21、EF.20(本小题满分 12 分)(2017新课标全国卷)如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD， BAD ABC90.12(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD 的面积为 2 ，求四棱锥 P ABCD 的体积7解析：(1)证明：在平面 ABCD 内，因为 BAD ABC90，所以 BC AD.又 BC平面 PAD， AD平面 PAD，故 BC平面 PAD.(2)取 AD 的中点 M，连接 PM， CM.由 AB BC AD 及 BC AD， ABC90得四边形12ABCM 为正方形，则 CM AD.8因为侧面 PAD
22、 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以PM AD， PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM.设 BC x，则CM x， CD x， PM x， PC PD2 x.取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN CD，所以 PN2 3x.142因为 PCD 的面积为 2 ，所以 x x2 ，712 2 142 7解得 x2(舍去)， x2.于是 AB BC2， AD4， PM2 .3所以四棱锥 P ABCD 的体积 V 2 4 .13 2 2 42 3 321(本小题满分 12 分)(2018山西临汾三模)如图，梯形 ABCD 中， BA
23、D ADC90，CD2， AD AB1，四边形 BDEF 为正方形，且平面 BDEF平面 ABCD.(1)求证： DF CE；(2)若 AC 与 BD 相交于点 O，那么在棱 AE 上是否存在点 G，使得平面 OBG平面 EFC？并说明理由解析：(1)证明：连接 EB.在梯形 ABCD 中， BAD ADC90，AB AD1， DC2， BD ， BC ， BD2 BC2 CD2， BC BD.2 2又平面 BDEF平面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCD BD， BC平面 ABCD， BC平面 BDEF， BC DF.又正方形 BDEF 中， DF EB，且 EB， BC平面 BCE，
24、EB BC B， DF平面 BCE.又 CE平面 BCE， DF CE.(2)在棱 AE 上存在点 G，使得平面 OBG平面 EFC，且 .理由如下：连接 OG， BG，AGGE 12在梯形 ABCD 中， BAD ADC90， AB1， DC2， AB DC， .AOOC ABDC 12又 ， OG CE.AGGE 12又正方形 BDEF 中， EF OB，且 OB， OG平面 EFC， EF， CE平面 EFC， OB平面EFC， OG平面 EFC.又 OB OG O，且 OB， OG平面 OBG，平面 OBG平面 EFC.922(本小题满分 12 分)(2018四川成都第一次诊断)如图
25、1，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， BC 的中点， BD 与 EF 交于点 H，点 G， R 分别在线段 DH， HB 上，且 .将 AED， CFD， BEFDGGH BRRH分别沿 DE， DF， EF 折起，使点 A， B， C 重合于点 P，如图 2 所示(1)求证： GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 P DEF 的内切球的半径解析：(1)证明：在正方形 ABCD 中， A， B， C 为直角在三棱锥 P DEF 中， PE， PF， PD 两两垂直 PD平面 PEF. ，即 ，在 PDH 中， RG PD.DGGH BRRH DGGH PRRH GR平面 PEF.(2)正方形 ABCD 边长为 4.由题意知， PE PF2， PD4， EF2 ， DF2 .2 5 S PEF2， S DPF S DPE4.S DEF 2 6.12 2 25 2 2 2设三棱锥 P DEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 VP DEF 224 (S PEF2 S DPF S DEF)r，解得 r .13 12 13 12三棱锥 P DEF 的内切球的半径为 .12
