1、1周周测 11 直线与圆的方程综合测试一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2018广西柳州月考)已知直线 2x y30 的倾斜角为 ，则 sin2 的值是( )A. B.14 34C. D.45 25答案：C解析：由直线方程 2x y30，得直线的斜率 k2.直线 2x y30 的倾斜角为 ，tan 2，sin2 .故选 C.2sin cossin2 cos2 2tan1 tan2 221 22 452(2018河南新乡一中周考)若 m， n满足 m2 n10，则直线 mx3 y n0 过定点( )A. B.(12， 1
2、6) (12， 16)C. D.(16， 12) ( 16， 12)答案：B解析： m2 n10， m2 n1. mx3 y n0，( mx n)3 y0，当 x 时，12mx n m n ，3 y ， y ，故直线过定点 .故选 B.12 12 12 16 (12， 16)3直线 l经过点 M(2,1)，若点 P(4,2)和 Q(0，4)到直线 l的距离相等，则直线 l的方程为( )A3 x2 y40B x2 或 3x2 y40C x2 或 x2 y0D x2 或 3x2 y80答案：B解析：解法一 当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x2，符合题意当直线l的斜率存在时，依题意可设直
3、线 l的方程为 y1 k(x2)，即 kx y12 k0，因为P(4,2)和 Q(0，4)到直线 l的距离相等，故|4 k212 k|52 k|，故2k152 k，解得 k ，则直线 l的方程为 3x2 y40，选 B.32解法二 由题意，所求直线经过 P(4,2)和 Q(0，4)的中点或与过 P(4,2)和 Q(0，4)的直线平行当所求直线经过 P(4,2)和 Q(0，4)的中点(2，1)时，所求直线为 x2；当所求直线与过 P(4,2)和 Q(0，4)的直线平行时，由 kPQ ，得所求的直线方程 4 20 4 32为 y1 (x2)，即 3x2 y40.324若直线 l1： y kx k1
4、 与直线 l2： ky x2 k的交点在第二象限，则 k的取值范围是( )A. B.(12， 1) (0， 12)C. D.(12， 0) ( 1， 12)答案：B2解析： l1， l2有交点， k1.由Error!可得Error!即交点坐标为 ，(kk 1， 2k 1k 1)因为交点在第二象限，故Error!得Error!所以 0 k ，故选 B.125若两平行直线 l1： x2 y m0( m0)与 l2：2 x ny60 之间的距离是 ，则5m n( )A0 B1C2 D1答案：C解析：因为 l1， l2平行，所以 1n2(2)，解得 n4，即直线l2： x2 y30.又 l1、 l2之
5、间的距离是 ，所以 ，得 m2 或 m8(舍去)，5|m 3|1 4 5所以 m n2，故选 C.6(2018四川成都崇州崇庆中学期中)已知圆 C的圆心是直线 x y10 与 y轴的交点，且圆 C与直线 x y30 相切，则圆的标准方程为( )A x2( y1) 28B x2( y1) 28C( x1) 2( y1) 28D( x1) 2( y1) 28答案：A解析：在 x y10 中，令 x0，解得 y1.圆心 C(0,1)设圆的半径为 r，圆 C与直线 x y30 相切， r 2 ，圆的标准方程为 x2( y1) 28.故|1 3|2 2选 A.7(2018广州一模)已知圆 C： x2 y
6、2 kx2 y k2，当圆 C的面积取最大值时，圆心 C的坐标为( )A(0,1) B(0，1)C(1,0) D(1,0)答案：B解析：圆 C的方程可化为 2( y1) 2 k21，所以当 k0 时圆 C的面积最(xk2) 34大故圆心 C的坐标为(0，1)8(2018长春三模)直线 kx3 y30 与圆( x1) 2( y3) 210 相交所得弦长的最小值为( )A2 B.5 5C2 D.10 10答案：A解析：易知直线 kx3 y30 恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为 ，当圆心到直线 kx 3y30 的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，
7、所5得弦长最小，因此最短弦长为 2 2 .故选 A.10 5 59(2018山东济宁期中)已知圆 M：( x a)2 y24( a0)与圆 N： x2( y1) 21外切，则直线 x y 0 被圆 M截得线段的长度为( )2A1 B. 3C2 D2 3答案：D解析：由题意， 21， a2 ，圆心 M(2 ，0)到直线 x y 0 的距a2 1 2 2 2离 d 1， 直线 x y 0 被圆 M截得线段的长度为 2 2 ，故|22 0 2|2 2 4 1 3选 D.10过原点 O作圆 x2 y26 x8 y t0 的两条切线，切点分别为 P， Q若| PQ|4，3则 t的值为( )A5 B20C
8、10 或 20 D20 或 5答案：D解析：由题意知，圆的标准方程为( x3) 2( y4) 2 t25，设圆心为 E(3,4)，则|OE|5，圆的半径为 (t25)，所以| OP| .所以25 t 52 25 t 2 tsin OEP ，故| PQ|2| PE|sin OEP2 4，得|OP|OE| t5 25 t t5t225 t1000，解得 t20 或 t5，故选 D.11若圆 O： x2 y24 与圆 C： x2 y24 x4 y40 关于直线 l对称，则直线 l的方程是( )A x y0 B x y0C x y20 D x y20答案：D解析：圆 C的标准方程为( x2) 2( y
9、2) 24，故圆心 C的坐标为(2,2)因为圆O与圆 C关于直线 l对称，所以直线 l过 OC的中点(1,1)，且垂直于 OC，又 kOC1，故直线 l的斜率为 1，直线 l的方程为 y1 x(1)，即 x y20.故选 D.12若直线 l： y k(x4)与曲线 C： 2 y2 只有一个交点，则 k(x32) 94(53 x 3)的取值范围为( )A. 34， 34 ( 257， 257)B.257， 257C. 34， 34 257， 257D.257， 257)答案：C解析：曲线 C： 2 y2 是以 C 为圆心， r 为半径的劣弧(x32) 94(53 x 3) (32， 0) 32E
10、F(如图所示，不包括两端点)，且 E ， F ，又直线 l： y k(x4)过定点(53， 253) (53， 253)D(4,0)，当直线 l与 C相切时，由 得 k ，又 kDE kDF |k(32 4)|k2 1 32 340 ( 253)4 53，结合图形可知当 k 时，直线 l： y k(x4)与曲线 C：275 34， 34 257， 2572 y2 只有一个交点(x32) 94(53 x 3)二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在相应题号后的横线4上13(2018长春二模)已知点 A(1,0)， B(3,0)，若直线 y kx1 上存在一点 P，满足PA
11、 PB，则 k的取值范围是_答案： 43， 0解析：解法一 设 P(x0， kx01)，依题意可得 kPAkPB1，即 1，即( k21) x (2 k4) x040，则 (2 k4) 216( k21)kx0 1x0 1 kx0 1x0 3 200，化简得 3k24 k0，解得 k0，故 k的取值范围是 .43 43， 0解法二 若直线 y kx1 上存在点 P，满足 PA PB，则直线 y kx1 与以 AB为直径的圆( x2) 2 y21 有公共点，故 1，即 3k24 k0，故 k0， k的取值范|2k 1|1 k2 43围为 .43， 014(2018长沙一模)已知入射光线经过点 M
12、(3,4)，被直线 l： x y30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案：6 x y60解析：设点 M(3,4)关于直线 l： x y30 的对称点为 M( a， b)，则反射光线所在直线过点 M，所以Error!解得 a1， b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为 ，即 6x y60.y 06 0 x 12 115(2018福建福州文博中学月考)直线 x y2 0 截圆 x2 y24 得劣弧对应3 3的圆心角的大小为_答案：3解析：圆心到直线的距离为 d ，弦长为 2 2，弦与两个半| 23|2 3 4 3径构成的三角形为正三角形，直线
13、x y2 0 截圆 x2 y24 得劣弧对应的圆心角3 3的大小为 .316(2017江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中， A(12,0)， B(0,6)，点 P在圆O： x2 y250 上若 20，则点 P的横坐标的取值范围是_PA PB 答案：5 ，12解析： 因为点 P在圆 O： x2 y250 上，方 法 1：所以设 P点坐标为( x， )(5 x5 )50 x2 2 2因为 A(12,0)， B(0,6)，所以 (12 x， )或 (12 x， )， ( x,6 )PA 50 x2 PA 50 x2 PB 50 x2或 ( x,6 )PB 50 x2因为 20，先取 P(x， )进行
14、计算，PA PB 50 x2所以(12 x)( x)( )(6 )20，即 2x5 .50 x2 50 x2 50 x2当 2x50，即 x 时，上式恒成立；52当 2x50，即 x 时，(2 x5) 250 x2，解得5 x1，故 x1.52同理可得 P(x， )时， x5.50 x2又5 x5 ，所以5 x1.2 2 2故点 P的横坐标的取值范围为5 ，125设 P(x， y)，则 (12 x， y)， ( x,6 y)方 法 2： PA PB 20， (12 x)( x)( y)(6 y)20，PA PB 即 2x y50.如图，作圆 O： x2 y250，直线 2x y50 与 O交于
15、 E， F两点， P在圆 O上且满足 2x y50， 点 P在 EDF上由Error! 得 F点的横坐标为 1.又 D点的横坐标为5 ，2 P点的横坐标的取值范围为5 ，12三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10分)过点 M(0,1)作直线，使它被两条直线 l1： x3 y100， l2：2 x y80 所截得的线段恰好被 M所平分，求此直线方程解：过点 M且与 x轴垂直的直线是 x0，它和直线 l1， l2的交点分别是 ，(0,8)，(0，103)显然不符合题意，故可设所求直线方程为 y kx1，又设该直线与直线 l1， l2分别
16、交于A， B两点，则有Error!Error!由解得 xA ，73k 1由解得 xB .7k 2因为点 M平分线段 AB，所以 xA xB2 xM，即 0，解得 k .73k 1 7k 2 14故所求的直线方程为 y x1，14即 x4 y40.18(本小题满分 12分)已知圆 M经过 A(1，2)， B(1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2.(1)求圆 M的方程；(2)若 P 为圆内一点，求经过点 P被圆 M截得的弦长最短时的直线 l的方程(2，12)解：(1)设圆 M的方程为 x2 y2 Dx Ey F0.令 y0，得 x2 Dx F0，则圆在 x轴上的截距之和为 x1 x2
17、D；令 x0，得 y2 Ey F0，则圆在 y轴上的截距之和为 y1 y2 E.由题意有 D E2，即 D E2.又 A(1，2)， B(1,0)在圆上，Error! 解得Error!故所求圆 M的方程为 x2 y22 x30.6(2)由(1)知，圆 M的方程为( x1) 2 y24，圆心为 M(1,0)当直线 l过定点 P 且与过此点的圆的半径垂直时， l被圆截得的弦长最短，此时(2，12)kPM ，0 121 2 12 kl 2，于是直线 l的方程为 y 2( x2)，即 4x2 y90.1kPM 1219(本小题满分 12分)(2018黑龙江鸡西虎林一中第一次月考)已知圆 C：( x1)
18、 2 y29 内有一点 P(2,2)，过点 P作直线 l交圆 C于 A， B两点(1)当 l经过圆心 C时，求直线 l的方程；(2)当弦 AB被点 P平分时，写出直线 l的方程；(3)当直线 l的倾斜角为 45时，求弦 AB的长解：(1)已知圆 C：( x1) 2 y29 的圆心为 C(1,0)，因为直线 l过点 P， C，所以直线 l的斜率为 2，直线 l的方程为 y2( x1)，即 2x y20.(2)当弦 AB被点 P平分时， l PC，直线 l的方程为 y2 ，即12(x 2)x2 y60.(3)当直线 l的倾斜角为 45时，斜率为 1，直线 l的方程为 y2 x2，即 x y0.圆心
19、到直线 l的距离为 ，圆的半径为 3，所以弦 AB的长为 .12 3420(本小题满分 12分)已知点 P(0,5)及圆 C： x2 y24 x12 y240.(1)若直线 l过 P点且被圆 C截得的线段长为 4 ，求 l的方程；3(2)求过 P点的圆 C的弦的中点的轨迹方程解析：(1) C的标准方程为( x2) 2( y6) 216，圆心坐标为(2,6)，半径 r4.设 l： y kx5，由直线 l被 C截得的弦长为 4 及 C的半径 r4 知 C的圆心到3直线 l的距离 d2， 2， k ；当 k不存在时，直线 l为 x0，满足| 2k 6 5|1 k2 34题意 l的方程为 y x5 或
20、 x0.34(2)设弦的中点为 M(x， y)，将 y kx5 代入 C的方程中，得(1 k2)x22(2 k)x110.设弦两端点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ，2k 41 k2 y1 y2 k(x1 x2)10 10 .2k2 4k1 k2 12k2 4k 101 k2 M为 AB的中点， x ， y ，x1 x22 k 21 k2 y1 y22 6k2 2k 51 k2消去 k，得 x2 y22 x11 y300.当 k不存在时，过点 P的弦所在的直线为 x0，代入 C的方程，得y212 y240，此时点 M的坐标为(0,6)点 M(0,6)满足方程x2
21、y22 x11 y300，过点 P的 C的弦的中点的轨迹方程为x2 y22 x11 y300.21(本小题满分 12分)已知圆 C1： x2 y22 x10 y240 与圆 C2： x2 y22 x2 y80.7(1)求两圆公共弦长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程解析：(1)两圆方程相减得 x2 y40，此即两圆公共弦所在直线方程又圆 C1的圆心 C1(1，5)到公共弦的距离 d 3 ，|1 10 4|5 5圆 C1的半径 r1 5 ，50 2由 d2( )2 r (L为公共弦长)，得 L2 2 ，即公共弦长为 2 .L2 21 r21 d2 5 5(2)直线 C1C2的方程为 2x y
22、30，直线 C1C2与相交弦所在直线 x2 y40 的交点为(2,1)，即为所求圆的圆心又因为所求圆的半径为 ，L2 5所以以相交弦为直径的圆的方程为( x2) 2( y1) 25.22(本小题满分 12分)(2018江苏宿迁调研)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 O： x2 y264，圆 O1与圆O相交，圆心为 O1(9,0)，且圆 O1上的点与圆 O上的点之间的最大距离为 21.(1)求圆 O1的标准方程；(2)过定点 P(a， b)作动直线 l与圆 O，圆 O1都相交，且直线 l被圆 O，圆 O1截得的弦长分别为 d， d1.若 d与 d1的比值总等于同一常数 ，求点 P的坐标及 的值
23、解析：(1)圆 O： x2 y264，圆 O1与圆 O相交，圆 O1上的点与圆 O上的点之间的最大距离是 21，圆 O1的半径为 4.圆心为 O1(9,0)，圆 O1的标准方程为( x9)2 y216.(2)当直线 l的斜率存在时，设方程为 y b k(x a)，即 kx y ka b0. O， O1到直线 l的距离分别为 h ， h1 ，|ka b|1 k2 | 9k ka b|1 k2 d2 ，64 (|ka b|21 k2)2d12 .16 (| 9k ka b|1 k2 )2 d与 d1的比值总等于同一常数 ，64 2 2 ，(|ka b|21 k2) 16 (| 9k ka b|1
24、k2 )264 a216 2 2(a9) 2k22 ba 2(a9) k64 b2 2(16 b2)0.由题意，上式对任意实数 k恒成立，64 a216 2 2(a9)20,2 ba 2(a9)0,64 b2 2(16 b2)0 同时成立如果 b0，则 6416 20， 2(舍去负值)，从而 a6 或 18； 2， P(6,0)， P(18,0)如果 a 2(a9)0，显然 a9 不满足，则 2 ，代入aa 964 a216 2 2(a9) 20，从而得3a243 a1920， 43 2431924550，故方程无解，舍去当点 P的坐标为(6,0)时，若直线 l的斜率不存在，此时 d4 ， d12 ， 27 7dd1也满足当点 P的坐标为(18,0)，若直线 l的斜率不存在，此时直线 l与两圆都相等，故不满足综上，满足题意的 2，点 P有两个，坐标分别为(6,0)，(18,0)
