1、1高考大题专项练四 高考中的立体几何1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点 .(1)证明: PB平面 AEC;(2)设 AP=1,AD= ,三棱锥 P-ABD 的体积 V= ,求点 A 到平面 PBC 的距离 .33422.如图,四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ABC=60的菱形, M 为 PC 的中点 .(1)求证: PC AD;(2)证明在 PB 上存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面;(3)求点 D 到平面 PAM 的距离 .3.如图所示, ABC 为正
2、三角形, CE平面 ABC,BD CE,CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点 .求证:(1) DE=DA.(2)平面 BDM平面 ECA.34.如图,在底面是菱形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=2 ,点 E 在 A1D 上 .2(1)证明: AA1平面 ABCD;(2)当 为何值时 ,A1B平面 EAC,并求出此时三棱锥 D-AEC 的体积 .145.(2017 山东,文 18)由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示 .四边形ABCD 为正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, E
3、为 AD 的中点, A1E平面 ABCD.(1)证明: A1O平面 B1CD1;(2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM平面 B1CD1.6.5如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形, PA=6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连结 PE 并延长交 AB 于点 G.(1)证明: G 是 AB 的中点;(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积 .7.(2017 天津,文 17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, AD平面 PDC,AD BC,PD PB,AD
4、=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值;(2)求证: PD平面 PBC;(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 .6参考答案高考大题专项练四 高考中的立体几何1.(1)证明设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.因为四边形 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点 .又 E 为 PD 的中点,所以 EO PB.又 EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.(2)解 V= PAABAD= AB,由 V= ,可得 AB= .16 36 34 32作 AH PB 交 PB 于 H,由题设知 BC平面 PAB,所以
5、BC AH.故 AH平面 PBC.又 AH= .=31313所以点 A 到平面 PBC 的距离为 .313132.7(1)证法一取 AD 中点 O,连接 OP,OC,AC,依题意可知 PAD, ACD 均为正三角形,所以 OC AD,OP AD.又 OC OP=O,OC平面 POC,OP平面 POC,所以 AD平面 POC.又 PC平面 POC,所以 PC AD.证法二连接 AC,依题意可知 PAD, ACD 均为正三角形,又 M 为 PC 的中点,所以 AM PC,DM PC.又 AM DM=M,AM平面 AMD,DM平面 AMD,所以 PC平面 AMD.又 AD平面 AMD,所以 PC A
6、D.(2)证明当点 Q 为棱 PB 的中点时, A,Q,M,D 四点共面,证明如下:取棱 PB 的中点 Q,连接 QM,QA,又 M 为 PC 的中点,所以 QM BC,在菱形 ABCD 中 AD BC,所以 QM AD,所以 A,Q,M,D 四点共面 .(3)解点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离,由(1)可知 PO AD,又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO平面 PAD,所以 PO平面 ABCD,即 PO 为三棱锥 P-ACD 的体高 .在 Rt POC 中, PO=OC= ,PC= ,在 PAC 中, PA=AC=2,PC= ,边
7、 PC 上的高 AM=3 6 6,所以 PAC 的面积 S PAC= PCAM= ,设点 D 到平面 PAC 的2-2=102 12 126102=152距离为 h,由 VD-PAC=VP-ACD,得 S PACh= S ACDPO,又 S ACD= 22= ,所以 h=13 13 34 3 13152,解得 h= ,所以点 D 到平面 PAM 的距离为 .1333 2155 21553.证明(1)取 CE 的中点 F,连接 DF.CE 平面 ABC,CE BC.BD CE,BD= CE=CF=FE,128 四边形 FCBD 是矩形, DF EC.又 BA=BC=DF, Rt DEFRt AD
8、B,DE=DA.(2)取 AC 中点 N,连接 MN,NB,M 是 EA 的中点, MN CE.12由 BD CE,且 BD平面 ABC,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM MN.12DE=DA ,M 是 EA 的中点, DM EA.又 EA MN=M,DM 平面 ECA,而 DM平面 BDM, 平面 BDM平面 ECA.4.(1)证明因为底面 ABCD 是菱形, ABC=60,所以 AB=AD=AC=2.在 AA1B 中,由 A +AB2=A1B2,知 AA1 AB.21同理, AA1 AD.又因为 AB AD 于点 A,所以 AA1平面 ABCD.(2)解当 =1 时, A1B平面
9、EAC.1证明如下:连接 BD 交 AC 于 O,当 =1,即点 E 为 A1D 的中点时,连接 OE,则 OE A1B,所以 A1B1平面 EAC.设 AD 的中点为 F,连接 EF.则 EF AA1,所以 EF平面 ACD,且 EF=1,可求得 S ACD= .3所以 VE-ACD= 1 ,即 VD-AEC=VE-ACD= .13 3=33 335.证明(1)取 B1D1的中点 O1,连接 CO1,A1O1,由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以 A1O1 OC,A1O1=OC,因此四边形 A1OCO1为平行四边形,所以 A1O O1C.又 O1C平面 B1CD1,A1O平面 B1
10、CD1,9所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点,所以 EM BD,又 A1E平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 A1E BD,因为 B1D1 BD,所以 EM B1D1,A1E B1D1.又 A1E,EM平面 A1EM,A1E EM=E,所以 B1D1平面 A1EM,又 B1D1平面 B1CD1,所以平面 A1EM平面 B1CD1.6.(1)证明因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 AB PD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E,所以 AB DE.所以 AB平面 PED,故 AB PG.又由已知可得, PA=PB
11、,从而 G 是 AB 的中点 .(2)解在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 .理由如下:由已知可得 PB PA,PB PC,又 EF PB,所以 EF PA,EF PC.因此 EF平面 PAC,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 .连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心 .由(1)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD= CG.23由题设可得 PC平面 PAB,DE平面 PAB,所以 DE PC,因此 PE= PG,DE= PC.23
12、13由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PE=2 .2在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2.所以四面体 PDEF 的体积 V= 222= .1312 437.(1)解如图,由已知 AD BC,故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 .因为 AD平面 PDC,所以 AD PD.在 Rt PDA 中,由已知,得 AP= ,2+2=5故 cos DAP= .=55所以,异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .5510(2)证明因为 AD平面 PDC,直线 PD平面 PDC,所以 AD PD.又因为 BC AD,所以 PD BC.又 PD PB,所以 PD平面 PBC.(3)解过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连接 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 .因为 PD平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影,所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 .由于 AD BC,DF AB,故 BF=AD=1,由已知,得 CF=BC-BF=2.又 AD DC,故 BC DC,在 Rt DCF 中,可得 DF= =2 ,在 Rt DPF 中,可得 sin DFP= .2+2 5=55所以,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .55
