1、 1 机器人学教案 第一章 绪论 一、学科门类 13 个学科门类：哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、 工学 、农学、医学、管理学、军事学、艺术学， 13 个学科总共包含 110 个一级学科。 机械工程 (Mechanical Engineering) (0802) 机械制造及其自动化 (Machinery Manufacturing and Automation) (080201) 机械电子工程 (Mechanical and Electronic Engineering)(080202) 机械设计及理论 (Mechanical Design and Theory)(080203
2、) 车辆工程 (Vehicle engineering ) (080204) 机械工程与科学 是研究机械系统和产品的性能、设计及制造的理论、方法和技术的科学，包括 机械学 和 制造科学 两大领域。 机械学 是研究各类机械产品功能综合、定量描述、性能控制，以及应用机械系统相关知识和技术发展新的设计理论与方法的基础技术科学。主要包括 机构学与机器人 、驱动与传动机械学、机械动力学、机械结构强度学、机械摩擦学与表面技术、机械设计理论和方法学、机械仿生学、微 /纳机 械学等。 制造科学 主要研究产品高效、低成本、智能、高性能制造所涉及的各种制造理论、方法、技术、工艺、装备和系统等。主要包括零件成形制造
3、、零件加工制造、制造系统与自动化、机械测试理论与技术、微 /纳机械系统、绿色制造和智能制造等。 机 械 工 程 （ M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ）机 械 学 （ M e c h a n o l o g y ） 制 造 科 学 （ M a n u f a c t u r i n g ）机 构 学 与 机 器 人 （ M e c h a n i s m s & R o b o t i c s ）传 动 机 械 学 （ M e c h a n i c a l T r a n s m i s s i o n ）机 械 动 力 学 （ M e c
4、h a n i c a l D y n a m i c s ）机 械 结 构 强 度 学 （ M e c h a n i c a l S t r e n g t h ）摩 擦 学 与 表 面 技 术 （ T r i b o l o g y & S u r f a c e T e c h n o l o g y ）机 械 设 计 学 （ D e s i g n M e t h o d o l o g y ）机 械 仿 生 学 （ M e c h a n i c a l B i o n i c s ）微 / 纳 机 械 学 （ M c r i o / N a n o M e c h a n o l
5、 o g y ）零 件 成 形 制 造 （ M a c h i n i n g ）零 件 加 工 制 造 （ F o r m i n g ）制 造 系 统 与 自 动 化 （ M a n u f a c t u r i n g S y s t e m & A u t o m a t i o n ）机 械 测 试 理 论 与 技 术 （ M e t r o l o g y & M e a s u r e m e n t ）微 纳 制 造 （ M i c r o / M e s o / N a n o M a n u f a c t u r i n g ）微 机 电 系 统 与 生 物 制 造 （
6、 M E M S & B i o - M a n u f c t u r i n g ）制 造 系 统 及 管 理 运 作 （ M a n u f a c t u r i n g S y s t e m s & O p e r a t i o n ）二、概述 2 1. 机器人的发展历史 1920 年 ， K. apek(捷克 )在小说 “Rossums Universal Robots”中首次提出“robot”。 1942 年 ， I. Asimov 在小说 “Run Around”中提出 Three Laws of Robotics。 机 器人不得伤害人类，或因不作为使人类受到伤害； 除非违
7、背第一法则，机器人必须服从人类的命令； 在不违背第一及第二法则下，机器人必须保护自己。 控制论的诞生： 1948 年 MIT 的 N. Wiener 教授 发表了控制论：或关于在动物和机器中控制和通信的科学 (Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine)一书。 1954 年机器人先驱 G. Devol 发明了世界上第一台可编程机器人 Unimate，并于 1961 年被投入通用 汽车公司 (GM)的一条装配生产线正式开始工作。 2. 机器人定义 : 美国机器人协会 (RIA)定义：一种用于移动各
8、种材料、零件、工具或专用装置的，通过可编程序动作来执行种种任务的，并具有编程能力的多功能机械手(manipulator)。 日本工业机器人协会 (JIRA)定义：一种装备有记忆装置和末端执行器 (end effector)的，能够转动并通过自动完成各种移动来代替人类劳动的通用机器。 机器人学（ Robotics）：是关于机器人技术的一门综合性学科，研究内容包括机构学、机械设计、自动控制、传感技术、计算机 科学、人工智能等。 机器人机构学 是机器人学中最重要的基础科学内容。涉及机器人本体机构的设计、运动学、动力学、工作空间、运动规划、奇异特性、刚度表示等内容。 现代机器人的特点：高技术集成、高度
9、智能化、微型化。 3. 机器人的分类及应用 按代划分为： （ 1）第一代机器人：示教式机器人 （ 2）第二代机器人：可编程机器人 （ 3）第三代机器人：智能机器人 按对环境的自主程度分为： 固定操作机器人、可行走机器人、可行走自主机器人。 按结构形式分： 串联机器人、并联机器人 机器人的用途 4. 参考教材： 3 1 L-W. Tsai “ Robot Analysis” JohnWiley&Sons Inc. 1999 2 J.J. Graig “ Introduction to Robotics: Mechanics and control” ,Addison-Wesley,1986 3
10、孙增昕编“机器人智能控制”，山西教育出版社 1995 年 4 熊有伦“机器人技术基础” 华中理工大学出版社， 1995 5 熊有伦编“机器人学” 机械工业出版社 ,1993 年 6 K.S.Fu etc.“ Robotics-control, sensing, vision, and intelligence” McGraw-Hill, 1987 7 R.P.Paul “ Robot Manipulators: Mathematics, Programming and control” ,The MIT Press,1981 4 第二章 机器人的结构 机器人的机构是指机器人的主机结构， 通常它
11、是由手臂、手腕、手爪和行走机构组成的。本章介绍机器人机构的基础知识 ,概述机械的总体结构。内容有： 2-l 操作臂的坐标形式与外形结构 2-2 手腕的传动与结构 2-3 手爪的型式和机构 2-4 机器人结构的基本要求 2.1 操作臂的坐标形式与外形结构 机器人的外形结构可以有多种形式，通常是由关节把连杆串连起来的开链机构。最常用的机器人关节有两种形式： 旋转关节 和 移动关节 。 机器人手臂的 3 个关节连接 3 个连杆，形成定位机构，可分成以下几种最简单的类型。 一、直角坐标式 直角坐标式的手臂构形最简单，如图 2-1 所示，关节 1 3 是移动关节，关节轴线相互垂直，相当于笛卡儿坐标的 X
12、、 Y 和 Z 方向。 这种构形的主要特点是： 1)结构刚度高，多做成大型龙门式的机器人。 2)三个关节的运动是相互独立的，没有耦合，不影响手爪的姿态，运动简单，不产生奇异状态。 3)使用这种机器人时，它的进料装置和夹具等必须装在机器人中间，因此对这些装置有一定限制。 4)占地面积大，动作范围小。 5)它的控制方案和数控机床类似。 6)操作灵活性较差。 二、关节式 5 图 2-2 关节式机器人 这种构形的主要特点是： 1)动作灵活。 2)在作业空间内手臂的干涉最小，工作空间大。 3)关节上的相对运动部位容易密封防尘。 4)结构紧凑，占地面积小。 5)进行控制时，计算量比较大，确定末端件的位姿不
13、直现。 三、 SCARA 机器人 图 2-3 SCARA 和 5 连杆式机器人 图 2-3a、 b 是 SCARA 机器人，它有三个轴线平行的旋转关节。可以在一个平面内运动并定向。第四个关节是移动关节，完成末端件在垂直平面内的运动。它以旋转关节的角位移 1、 2和移动关节的位移工作为坐标系的坐标 P=f( 1,2,z)。 6 这种机器人主要特点是： 结构轻便，响应快，运动速度可达 10m/s，比一般机器人大约快 10 倍。它最适用于在垂 直方向完成零件的装配任务。 四、球坐标式 球坐标式机器人如图 2-4 所示。它与关节式机器人很相似，只是用移动关节代替了肘关节，移动关节可以伸缩。这种机器人的
14、运动所形成的最大的轨迹表面是半径为 Rm 的半球面。规定以 、 和 r 作为坐标系，点的坐标， P=f( , ,r)。 这种机器人主要特点是： 占地面积小，工作空间较大，但移动关节不易防护。 五、圆拄坐标式 圆柱坐标式机器人如图 2-5 所示。这种结构形式是以 、 Z 和 r 作为坐标系，空间一点的位置 P=f( ,Z,r)。其中， r 是手臂的径向长度， 是手臂 绕垂直轴的角位移， z 是在垂直方向上手臂的位置。如果 r 不变，手臂的运动将形成一个圆柱7 表面。它在空间定位比较直观。手臂收回后，其后端可能碰到工作范围内的其它物体。不宜防护。 2-2 手腕的传动与结构 机器人的手腕前后分别与手
15、臂和手爪相连接。用于改变手爪在空间的方位，有时，腕部力传感器也装在这里，因此结构比较复杂，手腕的结构直接影响机器人的灵巧性。最普通的手腕是由两或三个互相垂直的关节轴组成的，手腕的第一个关节就是机器人的第四个关节。 一、三轴垂直相交的手腕 图 2-6 三轴垂直相交的手腕 图 2-6 是一种 3 自由度手腕的传动图。它是由安装在远距离的驱动装置，带动几组伞齿旋转。如图示，设输人的转角是 1、 2、和 3，相互啮合的齿轮齿数相等，则输出转角 (即关节角 )等于 1=1 2= 1 2 3=2 1+ 2 3 三轴垂直相交的手腕，在理论上 (即关节角可转 360 度的情况下 )，可以达到任意的姿态，但是，
16、出于关节角通常受到结构的限制，并非能够达到任意姿态。 8 二、可连续转动的手腕 图 2-7 可连续转动的手腕 图 2-7 所示的手腕，有三个相交的关节轴，但是不相互垂直，该手腕的特点是三个关 节：不受限制，可以转 360 度，即可连续转动。但是，这种非正交轴的手腕，不可能使末端件 (如图 2-7c 的箭头所指 )达到任意的姿态。手腕的第三个轴不能达到的方位在空间是一个轴，可以用这个锥形空间来描述手腕的不可达方位。图 2-7a 是这种可连续转动的手腕的外现图。 上面介绍的两种 3 向由度的手腕的共同特点是三轴相交于一点。这个交点通常取为腕坐标系的原点。 2-3 手爪的型式和机构 机器人的功能主要
17、是由手爪抓取物体，并对它进行操作来体现的。因此，对手爪的研究在整个机器人技术中有极其重要的地位。 人的五个手指有 20 个自 由度，通过手指关节的曲伸，可以进行各种复杂的动作，如使用剪刀、筷子之类的非常灵巧的动作。如果将日常生活中常见的手拿物体时的动作，大致加以区分，抓取方式可分为 捏 、 握 和 夹 三大类。由此可知，不同的抓取方式决定着手爪的结构和和自由度。 一、吸着型手爪 9 二 、 承托型与悬挂式手爪 所谓承托是指将物体放置在托架上，不需要握住，靠自重和托架的构形， 就可使物体里定位并搬运到指定位置。如堆货用的叉车的叉子，浇注用的各种料斗，都是靠重力和摩擦力来约束物体的自由度的。 悬挂
18、式手爪如起重机械用的吊钩，它仅在重力方向上约束物体 的一个自由度，因此定位困难。这种手爪是目前使用最广泛的一种。它即可用手指的内侧面夹持物体的外部，也可指伸入到物体的孔内后，张开手指，用用外侧面卡住物体。这种手爪多数是相对配置成二个手指的，或是相隔 120 度。配置成三个手指的。按手指运动形式，这种手爪可分为以下三种形式： 1.回转型 图 2-9 是这种手爪的传动机构。由图中可以看出，当手爪夹紧和松开物体时，手指作回转运动。当被夹持物体的大小变化时，要调整手爪的位置才能保持物体的位置不变。 2.平动型 如图 2-10 所示，当手爪夹紧和松开物体时，手指由平行四杆机构 传动，作10 平动，它的姿
19、态不变，和回转型手爪一样，夹持中心随被夹物体的大小变化。 3.平移型 图 2-11 平移型手抓传动机构 如图 2-11 所示，当手爪来紧或松开工件时，手指只作平移运动。它的夹持中心不受工件直径变化的影响。 图 2-11 a 所示是靠连杆和导槽保持手指作平移运动。 图 2-11b 所示是由齿轮齿条推动手指平移。 图 2-11c 所示是双向螺杆驱动手指平移。 四、多关节手爪 11 五、顺应型手爪机构 所谓顺应型手爪就是手爪机构的动作能顺应工作环境，而不需要复杂的控制系统。图 2-13 所示为装配 作业中，把销轴插入孔内的被动顺应机构，又称 RCC (Remote Center Compliance
20、)机构。 它的特点是：在销轴远离夹持部位的顶端形成一个顺应中心。 12 第三章 位姿描述和齐次变换 3-1 概述 机器人操作手通常是由一系列连杆和相应的运动副组合而成的空间开式链，实现复杂的运动，完成规定的操作。 描述刚体的位置和姿态 (简称位姿 )的方法是这样的，首先规定一个坐标系，相对于该坐标系，点的位置可以用 3 维列向量表示；刚体的方位可用 3 3 的旋转矩阵来表示。而 4 4 的齐次变换矩阵则可将刚体位 置和姿态 (位姿 )的描述统一起来，它具有以下优点： (1)它可描述刚体的位姿，描述坐标系的相对位姿 (描述 )。 (2)它可表示点从一个坐标系的描述转换到另一坐标系的描述 (映射
21、)。 (3)它可表示刚体运动前、后位姿描述的变换 (算子 )。 因此，齐次变换在研究空间机构动力学，机器人控制算法的综合中得到广泛应用。此外，在计算机图学，机器视觉的信息处理，机器人外部环境的构型等方面也都得到广泛应用。 3-2 刚体位姿的描述 我们需要一种描述刚体位姿、速度和加速度的有效而又简便的方 法。除了齐次变换之外，还有矢量法、旋量法和四元数等数学描述方法。本章着重介绍 齐次变换 ，以后，我们还会用到矢量法。 一、位置描述 位置矢量 对于选定的直角坐标系 A，空间任一点 P 的位置可用 3 1 的列矢量 Ap 表示，即用位置矢量 , ( 3- 1)xAyzPPPP 表示。其中， PX、
22、 PY 、 PZ是点 P 在坐标系 A中的三个坐标分量。 AP 的上标A 代表选定的参考坐标系 A。除了直角坐标系外，我们也可采用圆柱坐标系或球 (极 )坐标系来描述点的位置。 二、方位的描述 旋转矩阵 为了规定空间某刚 体 B 的方位，另设一直角坐标系 B与此刚体固接。我们用坐标系 B的三个单位主矢量 XB、 YB、 ZB相对于坐标系 A的方向余弦组成的 3 3 矩阵 ( 3 - 2 )A A A AB B B BR X Y Z 或 13 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3r rABrR r r rr r r来表示刚体 B 相对于坐标系 A的方位。 ABR 称
23、为旋转矩阵， ABR 有 9 个元素，只有 3 个元素是独立的。因为 ABR 的三个列矢量 AXB、 AYB和 AZB都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的 9 个元素满足 6 个约束条件（称正交条件） ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 )A A A A A AB B B B B BA A A A AB B B B B BX X Y Y Z Z 1 X Y Y Z Z X 0 因此，旋转矩阵 ABR 是单位正交的，并且 ABR 的逆与它的转置相同；其行列式等于 1。即 ( 3 - 5 )A 1 A T AB B BR R R 1 以后经常用到的旋转变换矩阵是绕 X 轴、绕 Y 轴或绕 Z
24、轴转一角度 。它们是 1 0 0( ) 0 c o s s in ( 3 - 6 )0 s in c o sR x , c o s 0 s in( , ) 0 1 0 ( 3 - 7 )s in 0 c o s R y c o s sin 0( , ) sin c o s 0 ( 3 - 8 )0 0 1 Rz 总之，我们采用位置矢量描述点的位置，而用旋转矩阵描述物体的方位。 三、坐标系的描述 为了完全描述刚体 B 在空间的位姿，需要规定它的位置和姿态。因此，我们将物体 B 与坐标系 B固联。坐标系 B的原点一般选在物体的特征点上，如质心或对称中心等。相对参考坐标系 A，用位置矢量 APB0
25、描述坐标系 B的位置，而用旋转矩阵 ( ABR )描述坐标系 B的方位 (姿态 )。因此，坐标系 B完全由 APB0 和 ABR 描述。即 ( 3 - 9 )AAB B OB R , P 坐标系的描述概括了刚体位置和方位的描述。当表示位置时，式 (3-9)中的旋转矩阵 ABRI (单位矩阵 )；当表示方位时，式 (3-9)中的位置矢量 APB0=0。 14 为了描述它的位置和姿态 (位姿 )，选定一个参考坐标系 A。另规定一坐标系与手爪固联，称手爪坐标系 T，此 坐标系的 Z 轴设在手指接近物体的方向，称接近矢量 (approach )； Y 轴设在两手指的联线方向；称方位矢量 (orient
26、ation)； X 轴根据右手法则确定： n=o， n 称为法向矢量 (normal)。因此，手爪的方位由旋转矩阵 ( 3 - 1 0 )AT R n o a 所规定，三个单位正交列矢量 n、 o、描述了手爪的姿态方位。而手爪的位置由其坐标系的原点所规定，用位置矢量 P 来描述。手爪的位姿则由四个矢量 (n，o，； P)来描述。即 B T n o a p 3-3 点的映射 空间中任一点 P 在不同坐标系中的描述是不同的。下面讨论点 P 从一个坐标系的描述到另一坐标系的描述之间的映射关系。 一、坐标平移 设二坐标系 B与 A具有相同的方位，但是 B的坐标原点与 A的不重合，用位置矢量 APBO描
27、述它相对于 A的位置，如图 3-2 所示。 15 把 APBO称为 B相对于 A的平移矢量。如果点 p 在坐标系 B中的位置为 BP，则它相对于坐标系 A的位置 AP 可由矢量相加得出 (3 - 1 1 )A B A BOP P P 上式称坐标平移，或平移映射。 二、坐标旋转 设坐标系 B与 A有共同的坐标原点，但是两者的方位不同，如图 3-3 所示。 我们用旋转矩阵 ABR 描述 B相对于 A的方位。同一点 P在两个坐标系 A和 B中的描述 AP 和 BP 具有以下映射关系 (3 - 1 2 )A A BBP R P 上式称为坐标旋转，或旋转映射。 我们用旋转矩阵 ABR 表示坐标系 B相对
28、于 A的方位。同样，用 BAR 描述坐标系 A，即 A相对于 B的方位。 ABR 和 BAR 都是正交矩阵，两者互逆；根据正交矩阵的性质 (3-5)，我们得出 B A 1 A TA B BR R R 三、一般映射 最一般的情形是，坐标系 B的原点与坐标系 A的既不重合， B的方位与 A的也不相同。我们用位置矢量 APB0 描述 B的坐标原点相对于 A的位置；用旋转矩阵 ABR 描述 B相对于 A的方位，如图 3-4 所示。 16 ( 3 - 1 3 )A A B AB B OP R P P 上式可以看成是坐标旋转和坐标平移的复合映射。实际上，我们规定一个过渡坐标系 C(如图 3-4 中虚线所示
29、 )， C的坐标原点与 B的重合，而 C的方位与 A的相同。根据式 (3-12)，得到向过渡坐标系的映射 C C B A BBBP R P R P 再由式（ 3-11），得到复合映射 A C A A B AC O B B OP P P R P P 3-4 齐次坐标和齐次变换 复合映射式 (3-13)对于 BP 而言是非齐次的，可以将它表示成齐次变换的形式 ( 3 - 1 4 )1 0 0 0 1 1AAABB B O R PPP 或矩阵的形式 (3 - 1 5 )A A BBP T P 式中，位置矢量 AP 和 BP 表示成 4 1 的列矢量，与式 (3-13)中的位置矢量不同，加入了第 4
30、个分量 1，称为点 P 的齐次坐标。变换矩阵 ABT 是 4 4 的方阵，具有下面的形式 ( 3 - 16 )AAB B OABR PT 0 0 0 1 ABT 的特点是最后一行元素为 0 0 0 1，称为齐次变换矩阵。它综合地表示了平移变换和旋转变换两者的复合。齐次变换式 (3-15)的优点在于书写简单紧凑，表达方便，但是用它来编写程序并不简便，因为乘 1 和 0 会耗费大量无用机时。 我们规定：列向量 a， b， c， 0T（其中 2 2 2 0abc ）表示空间的无穷远点，包括无穷远点的空间称为扩大空间。而把第 4 个元素非零的点称为非无穷远点。无穷远点 a,b,c,0T 的三个元素 a
31、、 b、 c 称为它的方向数 。下面三个无穷远点 1 0 0 0T， 0 1 0 0T， 0 0 1 0T分别代表 OX、 OY、 OZ 轴上的无穷远点，用它们分别表示这三个坐标轴的方向。而非无穷远点 0 0 0 1T 代表坐标原点。 3-6 变换矩阵的运算 一、变换矩阵相乘 对于给定的坐标系 A、 B和 C，已知 B相对于 A的描述为 ABT ， (C)相对于B的描述为 BCT 。 变换矩阵 BCT 将 CP 映射为 BP，即 17 (3 - 2 8 )B B CCP T P 变换矩阵 ABT 又将 BP 映射为 AP，即 (3 - 2 9 ) A A BBP T P 合并上面两次映射的结果
32、 (3 - 3 0 )A A B CBCP T T P 由上式我们可以规定复合变换 (3 - 3 1 )A A BC B CT T T 将 CP 映射为 AP。 图 3-6 描述了所代表的坐标系 B相对于 A的位置和方位。式（ 3-35）表明，坐标系 B可以认为是经过三次变换得到的：首先绕 A的轴转 90 度，再绕 A的 Y轴转 90 度，最后相对于 A移动 1i-3j+4k。如图 3-6，运动是 相对于固定坐标系 A的。变换 ABT 可以看成是经过三次变换复合而成的，即 ( ) ( ) ( ) ( 3 - 3 5 )A 0 0B T T r a n s 1 3 4 R o t Y , 9 0
33、 R o t Z , 9 0 式（ 3-35）所描述的坐标系 B也可通过另外的运动方式得到。即 相对于运动坐标系 ，从左至右依次进行一下变换：坐标系 B原点与坐标系 A相重合，首先相对于坐标 B移动 1i-3j+4k，然后绕 B的 Y 轴转 900，最后绕 B的 Z 轴转 900，如图 3-7 所示。 两种解释得到相同的结果。由此得出以下结论 : 1)变换顺序从右至左时，运动是相对于 固定 参考系而言的，如图 3-6 所示。 2)变换顺序从左至右时，运动是相对于 运动 坐标系而言的，如图 3-7 所示。 二、变换矩阵求逆 如果坐标系 B相对于 A的齐次变换矩阵已知，为 ABT ，希望得到 A相
34、对于 B18 的描述 BAT ，显然，这是变换矩阵 求逆问题。 一种求解办法 是直接对 4 4 的齐次变换矩阵求逆； 另一办法 是利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算，下面采用这种方法。 为了由 ABT 求出 BAT ，只需从 ABR 和 APBO 计算出 BAR 和 BPAO 即可。首先，利用旋转矩阵的正交性质可得出： ( 3 - 3 6 )B A 1 A TA B BR R R 然后，利用复合映射公式 (3-13)，求出 APBo 在坐标系 B的描述 ()BOB A B A BA B O A OP R P P 上式表示坐标系 B的原点 O 相对于 B的描述， 因此上式左端为 0 矢量，
35、从而得到 ( 3 - 3 7 )B B A A T AA O A B O B B OP R P R P 综合上面所得结果式 (3-36)和（ 3-37），可以写出的表达式 ( 3 - 3 8 )0 0 0 1A T A T AB B B OBAR R PT 3-7 变换方程 为了描述机器人的操作，必须建立机器人本身各连杆之间，机器人与周围环境之间的运动关系。为此要规定各种坐标系来描述机器人本身以及与环境 的相对位姿关系。如图 3-8 所示。 如果其它变换矩阵均为已知，则可计算出 GT ( 3 - 4 1 )G S 1 B 1 B WT G S W TT T T T T 19 为了简单起见，我们
36、可以将上述的位姿关系表示成空间尺寸链的形式，如图3-9 所示。 则工具框 T相对于基座框 B的描述可用两种变换矩阵的乘积来表示 BT (3 - 4 2 )BWWTT T T (3 - 4 3 )B B S GT S G TT T T T 令上面两式相等，则得变 换方程 ( 3 - 4 4 )B W B S GW T S G TT T T T T 变换方程 (3-44)中的任一变换矩阵都可用其余的变换矩阵来表示。例如，为了对目标物进行有效操作，工具框 T相对子目标框 G的位姿 GT 是预先规定的，需要改变 BWT 以达到这一目的，根据变换方程 (3-42)，我们可以立即求出 ( 3 - 4 5
37、)B B S G W 1W S G T TT T T T T 3-8 欧拉角与 RPY 角 前面我们采用 3 3 的旋转矩阵 R 描述物体的 方位，本节讨论方位的其它描述方法。下面介绍欧拉角方法和 RPY 方法，这两种方法广泛地应用在航海和天文学中，描述运动物体的方位。 一、绕固定轴 X-y-Z 旋转 (RPY 角 ) RPY 角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。将船的行驶方向取为 Z 轴，则绕 Z 轴的旋转 ( 角 )称为 滚动 (Roll)；把绕 Y 轴的 旋转 ( 角 )称为 俯仰 (Pitch)；而把铅直方向取为 X 轴，将绕 X 轴的旋转 ( 角 )称为偏转 (Yaw)，如图 3
38、-10 所示。操作臂手爪姿态的规定方法类似。习惯上称为 RPY 角方法。 20 这种描述坐标系 B的方位的法则 如下： B的初始方位与参考系 A重合。首先将 B绕 XA 转 角，再绕 YA 转 角，最后绕 ZA 转 角，如图 3-11 所示。 因为三次旋转都是相对于固定坐标系 A而言的，按照“从右向左”的原则，得相应的旋转矩阵。 , , , , , ( 3 - 4 6 )AB X Y Z A A AR R Z R Y R X 0 0 1 0 0 ( , , ) 0 0 1 0 0 0 0 1 - 0 0 BA X Y Zc s c sR s c c s s c s c 其中 c =cos ,
39、s =sin 。将矩阵相乘得 ( , , ) ( 3 - 4 7 )AB X Y Zc c c s s s c c s c s sR s c s s s c c s s c c ss c s c c 它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的旋转矩阵，因此称为绕固定轴X-Y-Z 旋转的 RPY 角法。 二、 Z-Y-X 欧拉角 这种描述坐标系 B的方位的法则如下 : B的初始方位与参考系 A相同，首先使 B绕 ZB转 角，然后绕 YB转 角，最后绕 XB轴转 角，如图 3-12 所示。 21 这种描述法中的各次转动都是相对于运动坐标系某轴进行的，而不是相对于固定的参考系 A。这样的三次转动称为欧
40、拉角，又因转动的顺序是绕 Z、 Y 轴和X 轴，故称这种描述法为 Z-Y-X 欧拉角。 图 3-12 所示为坐标系 B沿欧拉角转动的情况。由于所有的转动都是相对运动坐标系进行的，根据“从左至右”的原则来安排各次旋 转对应的矩阵，从而得到 AB ZYXR , , 的表达式 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 BA X Y ZR R Z R Y R Xc s c sscs c ( 3 5 3 )0 cs s c 式中， c =cos , s =sin 。矩阵相乘得 ( , , ) ( 3 - 5 4 )AB Z Y Xc c c
41、 s s s c c s c s sR s c s s s c c s s c c ss c s c c 这一结果与绕固定轴 X-Y-Z 旋转的结果完全相同。 三、 Z-Y-Z 欧拉角 这种描述坐标系 B的方位的法则如下 : 最初坐标系 B与参考系 A重合，首先使 B绕 ZB转 角，然后绕 YB转 角，最后绕 ZB 转 角。因为转动都是相对于运动坐标系 B来描述的，又因为这 三次转动的顺序是：绕 ZB，再绕 YB，最后绕 ZB，所以称为 Z-Y-Z 欧拉角描述法。根据“从左至右”的原则，可以求得与之等价的旋转矩阵 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )AB Z Y XR R Z R
42、 Y R Zc c c s s c c s s c c ss c c c s s c s c c s ss c s s ( 3 - 5 5 )c 3-9 旋转变换通式 一、旋转矩阵通式 令 K=kxi+kyj+kzk 是过原点的单位矢量，求绕 K 转 角的旋转矩阵 R(K， )。我们把 R(K, )当成坐标系 B的方位相对于参考系 A的表示，即 ( , ) (3 - 6 3 )AB R R K 对此，再定义两个坐标系 A和 B，分别与 A和 B固连，但 是 A和 B的 Z轴与单位矢量 K 重合，在旋转之前 B与 A重合， B和 A重合，因此可以表示为 22 ( 3 - 62 )x x xABA
43、 B y y yz z zn o kR R n o kn o k 坐标系 B绕 K 轴相对于 A旋转 角相当于坐标系 B相对于 A的 Z 轴旋转 角，保持其它关系不变，则由图 3-13 所示。 可以看出 ( ) ( 3 - 6 3 )A A A BB A B BR R K , R R R 于是得到相似变换 ( ) ( ) ( 3 - 6 4 )( ) ( ) ( 3 - 6 5 )A B 1ABA B TR K , R R Z , RR K , R R Z , R 将上式展开并化简，就可以得出 R(K， )的表达式。它只与矢量 K 有关，即只和 A的 Z 轴有关，与其它两轴的选择无关。实际上由
44、式 (3-62)和式（ 3-65）得 c o s sin 0( ) sin c o s 0 ( 3 - 60 0 1 x y zx x xy y y x y zz z z x y zn n n n o k R K, n o k o o on o k k k k 6) 把上式右端三矩阵相乘，并运用旋转矩阵的正交性质 10 ( 3 - 6 7 )n n o o a an o o a a n a n o 进行化简整理后，可以得到 ( , ) ( 3 - 6 8 )x x y x z z x yx y z y y z y xx z y y z x z zk k v e rs c k k v e rs k s k k v e rs k sR k k k v e rs k s k k v e rs c k k v e rs k sk k v e rs k s k k v e rs k s k k v e rs c 式中， s =sin ， c =cos , vers=(1-cos) 23 式（ 3-68）称为旋转矩阵通式，它概括了各种特殊情况，例如 当 1, 0x y zk k k 时 ，则由式 (3-68)可以得到 (
