1、茶陵三中 2019届高三第 4次月考试题数学（理科）考试时量：120 分钟；总分：150 分注意事项：1请在答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，每小题仅有一个答案是正确的）1. 已知全集 ， 集合 ， ， 则20Axylgx1)B（ ） )UCAB（A. B. (,0(2,)(1,2)C. D. 1 1,22. 已知 （ 为虚数单位) ，则复数 的虚部为（ ） -)5iz（A. B. 1 C. D. 23下列命题中正确的是（ ）A若 p q为真命题，则 p q为真命题B “a0， b0”是“ ”的充要条件
2、2baC命题“ x23 x+2=0，则 x=1或 x=2”的逆否命题为“若 x1 或 x2，则 x23 x + 2 0”D命题 p： ，使得 x2+ x1 0，则p： ，使得 x2 + x 1 0RxRx4. 已知 F1 ， F2是双曲线 E： 的左、右焦点，点 M在 E上， MF1与 x轴垂直，122byax且 sin MF2F1= ，则 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 235. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则满足 的最大自然annS10a149Sn0S数 为（ ） A. 12 B. 13 C. 22 D. 236. 函数 （其中 为自然对数的底数）图象的大致形状是（
3、xxfxecos)1()2） 7. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，且 过点 ， 在抛物2(0)Cyp： )3,2(A线 上，若点 ，则 的最小值为（ ） (1,)NMFA. 2 B. 3 C. 4 D. 58. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. B. C. D. 9. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方法的种数是（ ） XYAXyBXyCXyDXYAXyBXyCXyDXYAXyBXyCXyD6xyzA. 16 B. 24 C. 8 D. 1210. 函数 （ ）的图象恒过定点
4、，若点 在直线 1)2(logxya上，其中 ，则 的最小值为（ ） 01nmxA. B. C. D. 35 2311. 已知数列 的前 n项和为 ，且满足 ， ，anS1a=2，记 ，数列 的前 n 项12()nnSN12()()nnaabb和为 ，若对 ， 恒成立，TkT则 k 的取值范围为（ ）A. B. 1+， 1+，C. D. 0， 2，12. 已知四面体 AB CD 的外接球球心 O恰好在棱 AD上，且 ， 2BCAA， ，3DC则这个四面体的体积为（ ） A. 23B. C. 53 43D. 23二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分）13. 若 满足不等式 ,
5、 103yx则 的最大值为_. 14. 已知向量 与 的夹角为 ， ab ， ，则2a3b_. 2315. 已知函数 )(xfy， D，若存在常数 C，对 Dx1， 唯一的 x2，使得Cxf)(21，则称常数 是函数 )(xf在 D上的“几何平均数”.已知函数 x， 3,1，则 在 3,1上的“几何平均数”是 16. 已知函数 ，函数 )0(2)(34f有三个零点，则实数 的取值范围为_ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答题需要写出必要的解答过程）17. （本小题满分 12分）设 的内角 的对边分别为 a,b,c 且 . ABC BaAbcos3sin（1）求角 B 的大小; （2
6、）若 ， , 求边 a 和 c 的值. 3bAsin2i18. （本小题满分 12分）某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于 70分者为“成绩优良”分数 50,59) 60,69) 70,79) 80,89) 90,100甲班频数 5 6 4 4 1乙班频数 1 3 6 5 5（1）由以上统计数据填写下面 22列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班 乙班 总计成绩优良成绩不优良总计（2）甲乙两班成绩未达优良的同学共 15位，
7、老师现从中任意抽取 3人进行谈话，以便了解学习情况在这 3人中，记乙班成绩不优良的人数为 ，求 的分布列及数学期望附： 临界值表如下：dcbadcanK2)(2)(02kP1.05. 2. 0.01076 8413 635.19.（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ADB2A3，且 .ABCDP底 面（1）证明： ； P平 面平 面（2）若 为 的中点，且 ，1ABQ求二面角 的大小. 20 . （本小题满分 12分）已知椭圆 : ( ) , 过点 ，离心率为 .122byax 0ba)2,(P（）求椭圆 的方程；（） ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交
8、圆 于 ， 两点，DQPCBA交椭圆 于另一个点 ，求 面积取得最大值时直线 的方程. ABD21. （本小题满分 12分）已知函数 ，曲线 在 x = 1处的切线方程为 。2)(axef()yf 1bxy（1）求 a 和 b的值；（2）求函数 在 上的最大值；()fx0,1（3）证明：当 x 0时， .01ln)(xex22. （本小题满分 10分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原xoy1C3cos1inxy点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，其中 .220（）求 的极坐标方程；1C（）若 与 交于不同两点 A和 B ，且 ，求 的最大
9、值. 2 O1OBA2019届高三第一次联考数学（理科）参考答案一、单选题(每小题 5分，共 60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D D A C B B C A B A D11.【答案】A 【解答】由 ，得 ，两式作差得 121nnaS1231nnSa32na又 ， ，可求得 a3=4,所以数列 是等比数列，且 ，代入 1a2 1，所以 11122()()2bnn nn223 111 22()nnT而 恒成立，所以 ，故选 Ankk1【分析】 ,得到 两式子一减得到 ,进而21naSn123nSa32na求出 的通项，将其通项代入 ,裂项得到 ，求其前
10、n项和 可以采用裂项an b12n相消法，最后便可以计算出 k的范围。12.【答案】D 【解答】 ， AC = 2，BCA AB 2 + BC 2 = AC 2 ， AB BC ， ABC外接圆的直径为 AC, 圆心 O为 AC的中点球心 O恰好在侧棱 DA上, ，又外接球球心 O恰好在棱 AD上，所以 O为 AD中点，所以 /BC.ABC面 O即 ， ，D面 32四面体的体积为 .23113=ABCVSD故答案为：D.【分析】 由数据得到 ABBC,则直角 ABC外接圆的直径为 AC,圆心 O为 AC的中点,得到 DC 面 A B C ,再由体积公式求体积.二、填空题(每小题 5分，共 20
11、分）13.【答案】 14.【答案】6 2115.【答案】 16.【答案】 1416.【解答】由题得 有三个零点，所以 有三个零点，所以函数 h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点.所以 MBAka由题得 , .)1(34),(543所以 , 9421034MAk 13420534MBk所以 a的取值范围为 .【分析】本题的突破口是研研究 结构特征，从而将 g(x)=0的零点问题转化为 ,于是可以通过作图加以研究解决。三、解答题（本大题共 6小题，共 70分)17.【解答】（1）解: bsinA= acosB,由正弦定理可得 .
12、2分即得 0.4分,5分6分（2）解: sinC =2sinA,由正弦定理得c=2a,.8分由余弦定理 ,解得 .10分12分 【分析】（1）利用正弦定理边化角，得 B角的正切，求得 B.（2）利用正弦定理角化边，再用余弦定理解得 a和 c.18.【解答】（1）解：根据题意得 22列联表如下：甲班 乙班 总计成绩优良 9 16 25成绩不优良 11 4 15总计 20 20 402分根据 22列联表中的数据，得 的观测值为，.4 分在犯错概率不超过 0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.6 分（2）由题可知 的可能取值为0,1,2,3.7分； ； 3415()CPX的分布列为：X 0
13、 1 2 3P 391496454510分所以 .12分【分析】 （1）将列联表填写完整，结合 K2的计算公式，计算结果，即可得出答案。（2）分别计算出 X=0，1，2，3 的概率，列出分布列，计算期望，即可得出答案。19. 【解答】（1）证明： ， ， 1分又 底面 ， 2分 ， 平面 .3分平面 ，.4分平面 平面 .5分（2）解：由（1）知，DA,DB,DP 两两垂直 ，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，设 AD=1得 AB=2, ，令 ，则 ， ， ， ， ， .6分12cos,mn .312(1,0)(,)tAPtBQ ， 2t.7分故 ， 33112
14、2(,)(,)DB.8分设平面 的法向量为 ，n(,)xyz则 ，311220nQxB令 ，得 ，即 ,yz(,n， ）9分易知平面 的一个法向量为 (0,1)m，10 分则 .11分二面角 的大小为 . 12分【分析】（1）根据勾股定理得出 BCBD，结合 PDBC 可得 BC平面 PBD，利用平面与平面垂直的判定得出平面 PBD平面 PBC；（2）建立坐标系，求出平面 QBD和平面 BCD的法向量，用空间向量求平面间的夹角，得出二面角的大小（注：由于命题出现失误，此题第 2问存在问题，应该没有固定结果，为使评价近似合理，建议阅卷作如下标准记分：学生采用“设 AD=1”方法所得出参考答案中结
15、果的记满分，学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分，如果学生考虑周密认为只能设 AD为字母参数而算不出结果也得满分。命题组给大家带来麻烦还敬请谅解）20. 【解答】解：（1）由题意得 22cba.2分解得 4分2cb所以椭圆方程为 .5分方法二：由 得 1分21acecab2.2分由椭圆经过点 P（0，2）得 .3分2cb所以 .a.4分所以椭圆方程为 5分2841yx（2）由题知直线 的斜率存在，不妨设为 ，则 ： . 6分若 时，直线 的方程为 ， 的方程为 ，易求得 ，此时 . .7分若 时，则直线 ： .圆心 到直线 的距离为 .直线 被圆 截得的弦长为. 8分.由 ，得 ，故
16、 . 9分所以 . 10分当 时上式等号成立. .11分因为 ，所以 面积取得最大值时直线 的方程应该是 .12分 【分析】（1）结合椭圆的基本性质列方程，即可得出答案。（2）分 k=0和 k不为 0两种情况讨论，结合直线 l1的方程和圆方程，用 k表示| AB|的长，结合直线 l2和椭圆方程，利用所截的弦长为 ,表示线段 PD，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。21 【解答】解：（1） ()2xfea，.1 分由题设得， ()fb， 11fb，.2 分解得， ,2abe 3 分（2）法 1：由（1）知， ， .4分2)(xeff()2xe因为当 时 ，所以当 时，0x1xe1,0，2)(
17、 xf故 x在 ,上单调递增，.5 分 所以 ma()(1)ffe6 分法 2：由（1）知， 2,()2,()2xxxfefe，.4 分()fx在 0,ln上单调递减，在 ln,上单调递增，所以， (2)0f所以 在 上单调递增，.5 分 )(xf1,所以， .6 分 1)(maef（3）因为 0f，又由（2）知， ()fx过点 1,)e，且 在 处的切线方程为 ，)(xfy12y故可猜测：当 时， 的图象恒在切线 的上方7 分 ,0)(xf 1)2(xey下证：当 x时， ()1fe设 ()2,0gfx，则 ()2(),(2x xgege，由（2）知， ()gx在 0,ln2上单调递减，在
18、ln2,上单调递增，又 (0)3,1,l1,(l)0eg，所以存在 x，使得 0)(xg所以当 0,1,时， ；当 0(,1)x， (0gx，故 ()gx在 0,上单调递增，在 0,1上单调递减，在 ,上单调递增 又 21,()()0xgex（当且仅当 1x时取等号） 故 (2),0xe.10分 因为当 时 ，故当 时 ln(1),lnxx，0x1xe当且仅当 时取等号， 所以当 时 2l1xe0即 (2)1lnxex，所以 ()1lnxex，即 ()l0x 成立（当 时等号成立） 12 分22【答案】解：（）消去参数 得到 的普通方程为 .1C22(x3)(1)y.2分 再将 ， 代入 的普
19、通方程中，得到 的极坐标方程为 cosxysin11C.232)30（4分 （）将 代入 ，=2cos2in)30（得 .23cos2in)30（6分 令 ，得 ，2=si)1（ 126sin()1已知 ，解得 20307分 设 ，则1212(,)AB（ ， ） 和，123cosin12=3则 212116=+-48si()4（ ）8分 所以 9分 612218sin(2)41 3OBA 又 ，所以当 126sin()6si()=即 时 的最大值为 6=1OBA23.10 分 【解析】（1）将参数方程化成普通方程，再利用 代入，化简，即可得出答案;cosinxy（2）把题目所求的式子转化成三角函数的形式，再求三角表达式的最大值，即可得出答案。
