1、1,6 重因式,主要内容,k重因式,多项式的导数及其基本公式,目录 下页 返回 结束,利用导数研究多项式的重因式,2,一、 k重因式,首页 上页 下页 返回 结束,3,于是, 如果 f (x)的标准分解式为:,首页 上页 下页 返回 结束,4,二、多项式的微商(导数)及其基本公式,首页 上页 下页 返回 结束,5,注: 在数域P上的n次多项式的微商是一个n-1次多项式, 它的n阶微商是一个常数多项式, 它的n+1阶微商等于零多项式.,首页 上页 下页 返回 结束,6,三、利用导数研究多项式的重因式,1. 重因式基本定理,证 由题设有,于是,首页 上页 下页 返回 结束,7,所以,又因,而p(x
2、)不可约, 于是有,从而,首页 上页 下页 返回 结束,8,证 用数学归纳法.,由定理6, p(x)不是 的因式.,设命题对于k-1时成立.,那么当p(x)是 f (x)的k重,因式时,由定理6, p(x)是 的k-1重因式.,对 由归纳假设,又p(x)是 f (x)的因式,当k=1时, p(x)是 f (x)的单因式,故命题对于k时仍成立.,首页 上页 下页 返回 结束,9,首页 上页 下页 返回 结束,10,2. 重因式判定定理,证 若 f (x)有重因式p(x),则p(x)是 f (x)与,的公因式, 故,反之, 若,则有不可约多项式 p(x)|d(x),从而,由推论2, p(x)是 f (x)的重因式.,首页 上页 下页 返回 结束,11,3. 去掉重因式的方法,由定理6,首页 上页 下页 返回 结束,12,这样把有重因式的多项式f (x)变成没有重因式的多项式h(x)的方法叫做分离重因式法.,首页 上页 下页 返回 结束,13,首页 上页 下页 返回 结束,14,首页 上页 下页 返回 结束,15,解,故 f (x)有唯一的重因式 x +1, 重数是3.,首页 上页 返回 结束,
