1、78生物统计学教案第九章 两因素及多因素方差分析教学时间：5 学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。 。讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1 两因素方差分析中的一些基本概念9.1.1 模型类型交叉分组设计： A 因素的 a 个水平和 B 因素的 b 个水平交叉配合，共构成 ab个组合，每一组合重复 n 次，全部实验共有 abn 次。固定模型： A、 B 两因素均为固定因素。随机模型： A、 B 两因素均为随机因素。混合模型： A、 B 两因素中，一个是固定因素，一个是随机因
2、素。9.1.2 主效应和交互作用主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。A1 A2 A1 A2B1 18 24 B1 18 28B2 38 44 B2 30 22先看左边的表。 A 因素的主效应应为 A2水平的平均效应减 A1水平的平均效应，B 的主效应类似。当 A1B1 A2B2 A1B2 A2B1时， A、 B 间不存在交互作用。这里A1B1 A2B262， A1B2 A2B162，因此 A、 B 间不存在交互作用。交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。2041824326311221 211212 79现在看右边的表。A（在 B1水
3、平上） A2B1 A1B1281810A（在 B2水平上） A2B2 A1B222308显然 A 的效应依 B 的水平不同而不同，故 A、 B 间存在交互作用。交互作用的大小为AB（ A1B1 A2B2）（ A1B2 A2B1）9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式假设 A 因素有 a 水平， B 因素有 b 水平，则每一次重复包含 ab 次实验，实验重复 n 次，总的实验次数为 abn 次。以 xilk表示 A 因素第 i 水平， B 因素第 j 水平和第 k 次重复的观测值。一般格式见下表。因 素 B j=1,2,bB1 B2 Bb 总计A1 x111 x121 x1b1x112 x
4、122 x1b2x11n x12n x1bn x1. .因素 A2 x211 x221 x2b1A x212 x222 x2b2x21n x22n x2bn x2. .Aa xa11 xa21 xab1xa12 xa22 xab2xa1n xa2n xabn xa. .总计 x.1. x.2. x.b. x. . .80上表中的各种符号说明如下：A 因素第 i 水平的所有观察值的和，其平均数为ix .ixB 因素第 j 水平所有观察值的和， 其平均数为.j .jA 因素第 i 水平和 B 因素的第 j 水平和所有观察值的和，.ijx其平均数为 .ijx所有观察值的总和， 其平均数为.关于实验重
5、复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。9.2 固定模型9.2.1 线性统计模型对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的 ijk是相互独立且服从 N(0 , 2)的随机变量。固定模型方差分析的零假设为：abnxxx bjaiaibjnkij ijijnkijij , ,2,1,111 nkbjaix ijijjiijk ,2,1, bjjaii 11 0,0 ai bjijij1 10,0bjaiHij ,210: 0:032120819.2.2 平方和与自由度的分解与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量
6、平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。上述各项分别为 A 因素、 B 因素、 AB 交互作用和误差平方和，即：自由度可做相应的分解：由此得出各因素的均方：9.2.3 均方期望与统计量 F的确定 aibjnkijijai bj aibj jiijjiaibjnk ijijkjiijjiaibjkij xxxnxaxx 12111 2221 212 aibjnkijijkeaibj jiijABbjjaiixSxSn1121 2121211nabdfbadf fneAB BAT 1,1 nabSMSMSaSM
7、 eeABABBA2122 1212, eaibjijAB bjjBaii SEnSEb82对上式 E(MSA)、 E(MSB)和 E(MSe)中的第二项，分别记为：于是：这时，零假设还可以写为：用 F 作为检验统计量，以对 A 因素的检验为例：当 F F 时拒绝 H01。对 B 因素和 AB 交互作用的推断类似。两因素固定模型的方差分析表如下：9.2.4 平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的其中 称为校正项，用 C 表示。abnx2变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe 2+bn 2B 因素 SSB b
8、-1 MSB MSB/MSe 2+an 2AB 交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 2+n 2误差 SSe ab(n-1) MSe 2总和 SST abn-1 aibjijbjjaii a122122122 , 222222 , nMSEnMSEbnMSE ABBA 0:,0:,0: 203202201 H22ebnMS的 估 计的 估 计abnxanSabnxS bxSbjjBaiiAaibjnkijT 2122121122, 83不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方
9、和减去 A 因素、 B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和：例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有 4 次重复。将每一数据都减去 30，列成表 9-1。原料( A) 温度( B) xij1 xij2 xij3 xij4 xij. xij.2 412kijx30 11 19 -7 -5 18 324 5
10、561 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 71140 -24 -8 -4 -12 -48 2304 80030 17 29 20 10 76 5776 16302 35 13 8 3 6 30 900 27840 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948原 料 种 类 1 2 3温 3035度 4041 49 23 25 47 59 50 40 43 35 53 5011 13 25 24 43 38 33 36 55 38 47 446 22 26 18 8 22 18 14 30 33 26 19aibjnkaibjijijke xxS11122 aibj
11、BAij eBATAB SanxnSS1228430 13 5 23 20 61 3721 11233 35 25 8 17 14 64 4096 117440 0 3 -4 -11 -12 144 146和 84 22838 7366 利用 xij.列，列成表 92温 度 (B)30 35 40 xi . . xi . .2原 1 18 47 48 77 5929料 2 76 30 58 48 2304(A) 3 61 54 12 113 12769x.j. 155 47 118 84 21022x.j.2 24025 2209 13924 40158从表 91 中可以计算出：及由表 92
12、中可以计算出：0.1964382abnxC0.7171122 ijkijTS5.628341361122aibjnkaibjijije xx17.5419620431122 abnxbnSaiiA 8.3058212xajjB 75.805.1658.3017.540.7 eBATAB SS85列成方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方 F原料 A 1554.17 2 777.09 12.67*温度 B 3150.58 2 1575.29 25.68*AB 808.75 4 202.19 3.30*误 差 1656.50 27 61.35总 和 7170.00 359.2.5 无重复实验时的
13、两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（ n = 1） 。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的 n 都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。9.3 随机模型9.3.1 线性统计模型对于随机模型：因此，任何观察值的方差 2222var ijkx零假设为： 0:,0:,0: 20320201 HHH9.3.2 均方期望与统计量 F的确定 nkbjaix ijijjiijk ,2,1,2222 ,0:,0:,0:,0: NIDNIDNIDNID ijkijji86随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。
14、但均方期望不同，因此检验统计量也不同。从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若 MSAB不显著，表明它也是误差的估计，应与 MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。合并的方法是 若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。随机模eABedffSMS型的方差分析表如下：随机模型的方差分析表如下：变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SSA a-1 MSA MSA/MSAB 222bnB 因素 SSB b-1 MSB MSB/MSAB aAB SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 22误 差 SSe ab(n-1) MSe总 和 SST abn
15、-1例 为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下：地 块 B一号地 二号地 三号地100Kg 8.69 8.47 8.80 8.74 9.49 9.37200Kg 8.88 8.72 9.68 9.54 9.39 9.59300Kg 10.82 10.86 11.00 10.92 11.07 11.01施肥量A 400Kg 11.16 11.42 10.97 11.13 11.00 10.9022222eABAMSEnabSE87解： xijk9.5 , 列成表 9.1：施肥量 地 块 1ijx2ijxijx2ij21kijkx一 -0.81
16、-1.03 -1.84 3.3856 1.7170100 二 -0.70 -0.76 -1.46 2.1316 1.0676三 -0.10 -0.13 -0.04 0.0196 0.0170一 -0.62 -0.78 -1.40 1.9600 0.9928200 二 0.18 0.04 0.22 0.0484 0.0340三 -0.11 0.09 -0.02 0.0004 0.0202一 1.32 1.36 2.68 7.1824 3.5920300 二 1.50 1.42 2.92 8.5204 4.2664三 1.57 1.51 3.08 9.4864 4.7450一 1.66 1.92
17、3.58 12.8164 6.4420400 二 1.47 1.63 3.10 9.6100 4.8178三 1.50 1.40 2.90 8.4100 4.210013.62 63.5772 32.9218利用 xij列，列成表 9.2地 块一 二 三ix 2ix100 -1.84 -1.46 -0.14 -3.44 11.8336200 -1.40 0.22 -0.02 -1.20 1.4400300 2.68 2.92 3.08 8.68 75.3424施肥量400 3.58 3.10 2.90 9.58 91.7764jx3.02 4.78 5.82 13.62 180.39242j9
18、.1204 22.8484 33.8724 65.841288由表 9.1 计算出由表 9.2 计算出方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方 F施肥量 A 22.3360 3 7.4453 36.63*地 块 B 0.5008 2 0.2504 1.23AB 1.2224 6 0.2037 2.16误 差 1.1332 12 0.0944总 和 25.1924 23* = 0.019.4 混合模型9.4.1 线性统计模型一个因素是固定的（如 A） ，另一因素是随机的（如 B） ，该模型称为混合模型。132.257.63918.32194.77294.346.11121222 aibjijai
19、bjnkijeaibjnkijT xxSCxC 24.1508.79.48.651 36.24.23.022 eBATABbjjaiiA SSCxaSn nkbjaixijijjiijk ,21,89其中 i是固定效应， j是随机效应，( )ij是随机效应。, j: NID(0, 2) , ( )ij: NID(0, 2)aii109.4.2 均方期望与统计量 F的确定各均方期望如下：相应的检验统计量为：混合模型的方差分析表为：变差来源 平方和 自由度 均 方 F 均方期望A 因素 SSA a1 MSA ABMS22bnB 因素 SSB b1 MSB eaAB SSAB (a-1)(b-1)
20、MSAB eABS2n误 差 SSe ab(n-1) MSe 2总 和 SST abn-19.5 两个以上因素的方差分析9.5.1 平方和与自由度分解的一般规律平方和的分解，可根据两因素方差分析平方和分解方法，推展出来。如一个三因素固定模型实验，线性统计模型为：222 22eABAMSEnabS eABABeBBABA SSFSF 90各因素的平方和如下：残余项为三因素交互作用SSABC SST SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC SSE自由度的分解：主效应自由度是其水平数减 1交互作用自由度是相关因素自由度的乘积误差自由度各因素水平数乘以重复数减 1。由三因素平方和与自由度
21、的分解的规律，可以很容易得到更多因素时的平方和与自 nlckbjaix ijlijkjkikijkjiijkl ,21,21aibjcknl aibjckijkijklebjck CBjkBCaick AkiAaibj BijBckCbjjBaiiAaibkjclnijklT xxS ScnxS SabcnnxScnnbxcSacn11112212212212221221221211 291由度。不过，在实际应用时，三个因素实验基本上可以满足需要了。9.5.2 均方期望的表格化推演方法平方和与自由度的分解并不很困难，困难的是需要得到可靠的检验统计量，也就是说需要得到各个分量的均方期望。表格法推
22、演是简单可靠的，下面以两因素为例，说明其方法。几个规定：误差 ijk写成 (ij)k，括号内的下标称为死下标，没有括号的下标都是活下标。固定模型中各因素的效应分量，分别用 表示。22,随机模型中各因素的方差分量，分别用 表示。混合模型中，交互作用的两个因素中只要有一个是随机因素，则交互作用即被认为是随机的。误差方差记为 2。以固定模型为例，说明其推演步骤：首先列出右表，线性统计模型中的每个分量占据一行，每个下标占一列。表头上写上因素的类型，固定型记为 F，随机型记为 R，重复属于随机的，记为 R。写上各因素的水平数 a、 b、 n 以及每一分量的下标i、 j、 k。在行分量中，若某个死下标与列
23、中的该下标一致，则写上“1” 。若每一行分量上的一个活下标与列上的下标一致，且列是以固定因素为表头的，则写上“0” ，列是以随机因素为表头的，则写上“1”。在其余空白行位置上写上各列表头所标明的水平数。为了求某一模型分量（因素）的的均方期望，用纸条盖上以其活下标为表头的那一列，然后找出包含该下标的那些行。把未盖上的字母和数字相乘，再乘上相应的固定因素的效应分量或随机模F F R因素 a b ni j k i 0 j 0() ij 0 0 (ij)k 1 1 1F F R因素 a b ni j k i j() ij (ij)k 1 1F F R因素 a b ni j k i 0 b n j a
24、0 n() ij 0 0 n (ij)k 1 1 192型的方差分量。这些乘积的和，即为该因素的均方期望。例如求 E（ MSA） ，盖上列 i，剩下的列是列 j 和列 k，包含 i 的行是4、3、1。这三行中未盖上的数字和（或）字母的乘积为 1、0、和 bn，由此得出因素 A 的均方期望：同理可以推出：一个完整的两因素混合模型（ A 固定， B 随机）的例子如下：F R R因 素 a b n 均方期望i j k i 0 b n 222bn j a 1 n a( )ij 0 1 n 22 (ij)k 1 1 1 9.5.3 统计量 F的确定一个混合模型 A、C 固定，B 随机，均方期望的推演如下
25、：F R F R因 素 a b c n 均方期望i j k l i 0 b c n 22bcn j a 1 c n a 222201 bnbnMSA 22222 , eB MSESEanE nlckbjaix ijlijkjkikijkjiijkl ,21,93 k a b 0 n 22abn() ij 0 1 c n c() ik 0 b 0 n () jk a 1 0 n 2() ijk 0 1 0 n (ijk)l 1 1 1 1根据均方期望可以得出各因素的检验统计量：9.7 变换有些实验数据不能满足方差分析的三个条件，这时需要进行坐标变换，使变换后的数据满足上述条件，用变换后的数据进行方差分析。9.7.1 平方根变换属于泊松分布的数据，它们的平均数与方差等值，满足方差齐性要求，各处理平均数间的差异必然不显著；反之，当处理平均数之间差异显著时，方差齐性条件必不能满足。这时可以使用平方根变换，即将每一数据取其平方根，用平方根作方差分析。9.7.2 反正弦变换对于以百分数表示的二项分布数据，需要作这种变换。方法是：取每个观测值平方根的反正弦值，使之变成一个角度，用该角度作方差分析。9.7.3 对数变换当方差与平均数的平方成正比时需作对数变换，变换后的方差具齐性。eABCABC eBCBCAAeABAB CCeBAMSF MSFSFSSSMF, ,78
