1、1专题突破练 17 5.15.3 组合练(限时 90分钟,满分 100分)一、选择题(共 9小题,满分 45分)1.(2018河北衡水中学考前仿真,文 3)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )2.(2018宁夏银川一中一模,理 4)已知正三角形 ABC的边长为 a,那么 ABC的平面直观图ABC的面积为 ( )A. a2 B. a2C. a2 D. a23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )A. B. C. D.34.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3
2、 cm,高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )2A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示,记 A为此几何体所有棱的长度构成的集合,则( )A.3 A B.5 AC.2 A D.4 A6.(2018河北唐山三模,理 7)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为( )A.4 B.8 C. D.7.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为 ,D为 BC的中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为( )A.3 B. C.1 D.8.(2018河南濮阳一模,理 7)已知三棱锥 A-BCD中, ABD与 BCD是边长为 2的等边三角形且二面
3、角 A-BD-C为直二面角,则三棱锥 A-BCD的外接球的表面积为( )A. B.5 C.6 D.9.(2018山西吕梁一模,文 12)已知点 A,B,C,D在同一个球的球面上, AB=BC= ,AC=2,若四面体 ABCD的体积为 ,球心 O恰好在棱 DA上,则这个球的表面积为 ( )A. B.4 C.8 D.163二、填空题(共 3小题,满分 15分)10.(2018江苏卷,10)如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.(2018天津卷,文 11)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则四棱锥 A1-BB1D1D的体积为 . 12
4、.已知三棱锥 A-BCD,AB=AC=BC=2,BD=CD= ,点 E是 BC的中点,点 A在平面 BCD上的射影恰好为 DE的中点 F,则该三棱锥外接球的表面积为 . 三、解答题(共 3个题,分别满分为 13分,13 分,14 分)13.(2018江苏南京、盐城一模,15)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, CA=CB,点 M,N分别是 AB,A1B1的中点 .(1)求证: BN平面 A1MC;(2)若 A1M AB1,求证: AB1 A1C.14.(2018河南六市联考一,文 19)如图,已知四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD是边长为 2的菱形, BAD=60,SA=SD=
5、 ,SB= ,点 E是棱 AD的中点,点 F在棱 SC上,且 = ,SA平面 BEF.(1)求实数 的值;(2)求三棱锥 F-EBC的体积 .415.如图 1,在边长为 2的正方形 ABCD中,点 E是 AB的中点,点 F是 BC的中点 .将 AED,DCF分别沿 DE,DF折起,使 A,C两点重合于点 A,连接 EF,AB,如图 2.(1)求异面直线 AD与 EF所成角的大小;(2)求三棱锥 D-AEF的体积 .参考答案专题突破练 17 5.15.3 组合练1.A 解析 四棱锥的正视图和俯视图可知几何体的直观图如图所示,其侧视图为选项 A.52.D 解析 如图 所示的平面图形和直观图 .由
6、可知, AB=AB=a,OC= OC= a,在图 中作 CD AB于 D,则 CD= OC= a.S ABC= ABCD= a a= a2.3.B 解析 由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面 AED平面 BCDE,四棱锥 A-BCDE的高为 1,四边形 BCDE是边长为 1的正方形,则 S AED= 11= ,S ABC=S ABE= 1,S ACD= 1 ,故选 B.4.C 解析 由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示 .切削掉部分的体积 V1= 326- 224- 322=20(cm 3),原来毛坯体积 V2= 326=54(cm 3).故所求比值为 .5.D 解析
7、 根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥,如图所示,四边形 ABCD是一个边长为 4的正方形,且 AF面 ABCD,DE AF,DE=4,AF=2,AF AB,DE DC,DE BD,EC= =4 ,EF=FB= =2 ,BE=6=4 .A 为此几何体所有棱的长度构成的集合, A= 2,4,4 ,4 ,2 .6.C 解析 由三棱锥的三视图得其直观图如下:几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥A-BCD,BC=CD=2,三棱锥的高为 2,所以三棱锥的体积为 V= 222= .7.C 解析 D 是等边三角形 ABC的边 BC的中点, AD BC.又 ABC-A1B1C1为正三棱柱,AD 平面
8、 BB1C1C. 四边形 BB1C1C为矩形, 2 .又 AD=2 , AD= =1.故选 C.8.D 解析 如图所示 . ABD与 BCD是边长为 2的等边三角形,且二面角 A-BD-C为直二面角,设 F,E分别为 ABD和 BCD的中心,则球心 O为 ABD和 BCD的过中心的垂线的交点,所以 OF=OE=FG= 2= .ED= 2= ,则球半径 r= ,则 S=4 .9.D 解析 如图所示,设 AC的中点为 M,由已知得 AB BC,所以底面三角形 ABC外接圆的圆心为 M,所以 OM平面 ABC,又 OM DC,所以 DC平面 ABC,由四面体的体积为 ,得 DC=27.所以 DA=4
9、,球的半径为 2,由球的表面积公式得球的表面积为 16 .选 D.10. 解析 由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为 1,底面正方形的边长为 ,所以该多面体的体积为 2 ( )21= .11. 解析 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1, =V 正方体 - =1-111- 111= .12. 解析 由题意,得 BCD为等腰直角三角形, E是外接圆的圆心 . 点 A在平面 BCD上的射影恰好为 DE的中点 F,BF= ,AF= .设球心 O到平面 BCD的距离为 h,则 1+h2= ,解得 h= ,r=,故该三棱锥外接球的表面积为 4 .13.证明 (1)
10、因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱,8所以 AB A1B1,且 AB=A1B1,又点 M,N分别是 AB,A1B1的中点,所以 MB=A1N,且 MB A1N.所以四边形 A1NBM是平行四边形,从而 A1M BN.又 BN平面 A1MC,A1M平面 A1MC,所以 BN面 A1MC.(2)因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 AA1底面 ABC,而 AA1侧面 ABB1A1,所以侧面 ABB1A1底面 ABC.又 CA=CB,且 M是 AB的中点,所以 CM AB.则由侧面 ABB1A1底面 ABC,侧面 ABB1A1底面 ABC=AB,CM AB,且 CM底面 ABC,得CM侧面
11、ABB1A1.又 AB1侧面 ABB1A1,所以 AB1 CM.又 AB1 A1M,A1M,MC平面 A1MC,且 A1M MC=M,所以 AB1平面 A1MC.又 A1C平面 A1MC,所以 AB1 A1C.14.解 (1)连接 AC,设 AC BE=G,则平面 SAC平面 EFB=FG, GEA GBC, . .SF= SC,= .(2)连接 SE,SA=SD= ,SE AD,SE=2.AB=AD= 2, BAD=60,BE= .SE 2+BE2=SB2,SE BE.SE 平面 ABCD.所以 VF-BCE= VS-EBC= VS-ABCD= 22sin 602= .15.解 (1)在正方形 ABCD中, AD AE,CD CF,AD AE,AD AF.AE AF=A,AE,AF平面 AEF,AD 平面 AEF.而 EF平面 AEF,AD EF, 异面直线 AD与 EF所成角的大小为 90.(2) 正方形 ABCD的边长为 2,点 E是 AB的中点,点 F是 BC的中点, 在 Rt BEF中,BE=BF=1,得 EF= ,而 AE=AF=1,AE 2+AF2=EF2,AE AF,S AEF= 11= .由(1)得 AD平面 AEF,且 AD=2,V D-AEF= S AEFAD= 2= .
