2018-2019学年高中物理 第5章 万有引力与航天学案（打包7套）沪科版必修2.zip

15.1 从托勒密到开普勒[学习目标] 1.了解地心说和日心说两种不同的观点.2.理解开普勒行星运动三定律，并能初步运用开普勒行星运动定律解决一些简单问题．一、两种对立的学说1．地心说(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密．2．日心说(1)太阳是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动；(2)地球是绕太阳旋转的行星；月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳旋转；(3)太阳静止不动，因为地球每天自西向东自转一周，造成太阳每天东升西落的现象；(4)日心说的代表人物是哥白尼．3．局限性哥白尼沿袭着古希腊天文学家的思想，被束缚在“匀速” 、 “正圆”的框架内．二、开普勒三定律1．第一定律(轨道定律)：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上．2．第二定律(面积定律)：对于每一颗行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．第三定律(周期定律)：所有行星轨道的半长轴的立方与公转周期的平方的比值都相等．其表达式为 ＝ k，其中 a 是行星椭圆轨道的半长轴， T 是行星公转的周期， k 是一个与a3T2行星无关(填“有关”或“无关”)、而与太阳有关(填“有关”或“无关”)的常量．[即学即用]1．判断下列说法的正误．(1)太阳是整个宇宙的中心，其他天体都绕太阳运动．(×)(2)太阳系中所有行星都绕太阳做匀速圆周运动．(×)(3)太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动，且它们到太阳的距离各不相同．(√)2(4)太阳系中越是离太阳远的行星，运行周期就越大．(√)(5)围绕太阳运动的各行星的速率是不变的．(×)(6)在中学阶段可近似认为地球围绕太阳做匀速圆周运动．(√)2．如图 1 所示是某行星围绕太阳运行的示意图，则行星在 A 点的速率____在 B 点的速率．图 1答案 大于一、对开普勒定律的理解1．开普勒第一定律解决了行星的轨道问题．图 2 图 3行星的轨道都是椭圆，如图 2 所示，不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图 3 所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．因此开普勒第一定律又叫轨道定律．2．开普勒第二定律解决了行星绕太阳运动的速度大小问题．(1)如图 4 所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积 SA＝ SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．图 4(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．3．开普勒第三定律解决了行星周期的长短问题．3(1)如图 5 所示，由 ＝ k 知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，因此第三定律a3T2也叫周期定律．常数 k 与行星无关，只与太阳有关．图 5(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，其中常数 k 与卫星无关，只与地球有关，也就是说 k 值大小由中心天体决定．例 1 (多选)关于行星绕太阳运动的说法正确的是( )A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点B．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直答案 AC解析 太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个公共焦点上，选项 A 正确，B 错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项 C 正确；行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于 90°，行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，选项 D 错误．例 2 (多选)关于卫星绕地球的运动，根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有( )A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上B．卫星绕地球运动的过程中，其速率与卫星到地心的距离有关，距离小时速率小C．卫星运行轨道的半长轴越长，周期越大D．同一卫星绕不同的行星运动， 的值都相同a3T2答案 AC解 析 由 开 普 勒 第 一 定 律 知 ： 所 有 地 球 卫 星 的 轨 道 都 是 椭 圆 ， 且 地 球 位 于 所 有 椭 圆 的 公 共 焦点 上 ， A 正 确 ； 由 开 普 勒 第 二 定 律 知 ： 卫 星 离 地 心 的 距 离 越 小 ， 速 率 越 大 ， B 项 错 误 ； 由 开 普勒 第 三 定 律 知 ： 卫 星 运 行 轨 道 的 半 长 轴 越 长 ， 周 期 越 大 ， C 正 确 ； 开 普 勒 第 三 定 律 成 立 的 条件 是 对 同 一 行 星 的 不 同 卫 星 ， 有 ＝ 常 量 ， 对 于 绕 不 同 行 星 运 动 的 卫 星 ， 该 常 数 不 同 ， D 错a3T2误 ．二、行星运动的近似处理由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中可以按圆周运4动处理，这样，开普勒三定律就可以这样表述：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动；(3)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即 ＝ k.r3T2例 3 长 期 以 来 “卡 戎 星 (Charon)”被 认 为 是 冥 王 星 唯 一 的 卫 星 ， 它 的 公 转 轨 道 半 径r1＝ 19 600 km，公转周期 T1＝6.39 天.2006 年 3 月，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径 r2＝48 000 km，则它的公转周期 T2最接近于( )A．15 天 B．25 天 C．35 天 D．45 天答案 B解析 据开普勒第三定律得： ＝ ，因此 T2＝ 天≈24.5 天．r13T12 r23T22 6.392×48 000319 6003开普勒第三定律揭示的是不同行星运动快慢的规律，应用时要注意以下两个问题：(1)首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立．(2)明确题中给出的周期关系或半径关系之后，根据开普勒第三定律列式求解．针对训练 木星和地球都绕太阳公转，木星的公转周期约 12 年，地球与太阳的距离为 1 天文单位，则木星与太阳的距离约为( )A．2 天文单位 B．4 天文单位C．5.2 天文单位 D．12 天文单位答案 C解析 根据开普勒第三定律 ＝ k，得 r＝ ，设地球与太阳的距离为 r1，木星与太阳的r3T2 3kT2距离为 r2，则得 ＝ ＝ ≈5.2，所以 r2≈5.2 r1＝5.2 天文单位，选项 C 正确．r2r1 3T木 2T地 2 3122121．(对开普勒第三定律的认识)(多选)开普勒关于行星运动规律的表达式为 ＝ k，以下理解a3T2正确的是( )A． k 是一个与行星无关的常量B． a 代表行星的球体半径5C． T 代表行星运动的自转周期D． T 代表行星绕太阳运动的公转周期答案 AD解析 开普勒第三定律中的公式 ＝ k， k 是一个与行星无关的常量，与中心天体有关，选a3T2项 A 正确； a 代表行星椭圆运动的半长轴，选项 B 错误； T 代表行星绕太阳运动的公转周期，选项 C 错误，D 正确．2．(开普勒第二定律的应用)如图 6 所示是行星 m 绕恒星 M 运动情况的示意图，下列说法正确的是( )图 6A．速度最大点是 B 点 B．速度最小点是 C 点C． m 从 A 到 B 做减速运动 D． m 从 B 到 A 做减速运动答案 C3．(开普勒第三定律的应用)1980 年 10 月 14 日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001 年 12 月 21 日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星” ，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献．若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看做匀速圆周运动，它们的运行轨道如图 7 所示．已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为 3.4 年，设地球绕太阳运行的轨道半径为 R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )图 7A. R B. R C. R D. R33.4 3.4 311.56 11.56答案 C解析 根据开普勒第三定律，有 ＝R钱 3T钱 2 R3T2解得： R 钱 ＝ R＝ R3T钱 2T2 311.56故 C 正确．6一、选择题考点一 对开普勒定律的理解1．物理学发展历史中，在前人研究基础上经过多年的尝试性计算，首先发表行星运动的三个定律的科学家是( )A．哥白尼 B．第谷 C．伽利略 D．开普勒答案 D【考点】开普勒定律的理解【题点】开普勒定律物理学史的理解2．关于对开普勒第三定律 ＝ k 的理解，以下说法中正确的是( )r3T2A． T 表示行星运动的自转周期B． k 值只与中心天体有关，与行星无关C．该定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕行星的运动D．若地球绕太阳运转的半长轴为 r1，周期为 T1，月球绕地球运转的半长轴为 r2，周期为T2，则 ＝r13T12 r23T22答案 B解析 T 表示行星运动的公转周期，不是自转周期，A 错误． k 是一个与行星无关的量， k 只与中心天体有关，B 正确．开普勒第三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，C 错误．地球绕太阳转动，而月球绕地球转动，二者不是同一中心天体，故对应的 k 不同，因此 ≠ ，D 错误．r13T12 r23T22【考点】开普勒第三定律的理解与应用【题点】开普勒第三定律的理解3．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图 1 所示， F1和 F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在 A 点的速率比在 B 点的大，则太阳是位于( )图 1A． F2 B． A C． F1 D． B答案 A7解析 根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在 A 点的速率比在 B 点的速率大，所以太阳在离 A 点近的焦点上，故太阳位于 F2.【考点】开普勒第二定律的理解与应用【题点】开普勒第二定律的理解4．如图 2 所示，海王星绕太阳做椭圆轨道运动， P 为近日点， Q 为远日点， M、 N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P经 M、 Q 到 N 的运动过程中( )图 2A．从 P 到 M 所用的时间等于T04B．从 Q 到 N 所用时间等于T04C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小D．从 M 到 N 所用时间等于T02答案 C解析 由开普勒第二定律知，从 P 至 Q 速率在减小，C 正确．由对称性知， P→ M→ Q 与Q→ N→ P 所用的时间为 ，故从 P 到 M 所用时间小于 ，从 Q→ N 所用时间大于 ，从 M→ NT02 T04 T04所用时间大于 ，A、B、D 错误．T02【考点】开普勒第二定律的理解及应用【题点】开普勒第二定律的理解考点二 开普勒定律的应用5．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的 ，设月球19绕地球运动的周期为 27 天，则此卫星的运动周期是( )A. 天 B. 天 C．1 天 D．9 天19 13答案 C解析 由于 r 卫 ＝ r 月 ， T 月 ＝27 天，由开普勒第三定律 ＝ ，可得 T 卫 ＝1 天，故选19 r卫 3T卫 2 r月 3T月 2项 C 正确．【考点】开普勒第三定律的理解与应用8【题点】开普勒第三定律的应用6．太阳系八大行星绕太阳运行的轨道可粗略地视为圆，下表是各行星的半径和轨道半径.行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星行星半径/×106 m2.44 6.05 6.37 3.39 69.8 58.2 23.7 22.4轨道半径/×1011 m0.579 1.08 1.50 2.28 7.78 14.3 28.7 45.0从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )A．80 年 B．120 年C．165 年 D．200 年答案 C解析 设海王星绕太阳运行的轨道半径为 r1，公转周期为 T1，地球绕太阳运行的轨道半径为 r2，公转周期为 T2(T2＝1 年)，由开普勒第三定律有 ＝ ，故 T1＝ ·T2≈164 年，r13T12 r23T22 r13r23最接近 165 年，故选 C.【考点】开普勒第三定律的理解与应用【题点】开普勒第三定律的应用二、非选择题7．(开普勒第三定律的应用)月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的 60 倍，运行周期约为 27 天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(结果保留三位有效数字，取 R 地 ＝6 400 km)答案 3.63×10 4 km解析 月球和人造地球卫星都环绕地球运动，故可用开普勒第三定律求解．当人造地球卫星相对地球不动时，则人造地球卫星的周期与地球自转周期相同．设人造地球卫星轨道半径为 R、周期为 T.根据题意知月球轨道半径为 60R 地 ，周期为 T0＝27 天，则有： ＝ .整理得R3T2 60R地 3T02R＝ ×60R 地 ＝ ×60R 地 ≈6.67 R 地．3T2T02 31272卫星离地高度 H＝ R－ R 地 ＝5.67 R 地 ＝5.67×6 400 km≈3.63×10 4 km.【考点】开普勒第三定律的理解及应用【题点】开普勒第三定律的应用15.2 万有引力定律是怎样发现的[学习目标] 1.了解万有引力定律得出的思路和过程.2.理解万有引力定律的含义，并能利用万有引力公式进行有关计算.3.知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律．一、万有引力发现的过程1．解决引力问题存在三大困难：困难之一：无数学工具解决变化的曲线运动问题．困难之二：缺乏理论工具计算天体各部分对行星产生的力的总效果．困难之三：众多天体的引力相互干扰的问题无法解决．2．牛顿对问题的解决方法：(1)牛顿利用他发明的微积分方法，越过了变速运动的障碍．(2)运用模型方法，提出了质点的概念，并通过微积分运算的论证，把庞大天体的质量集中于球心．(3)撇开其他天体的作用不计，只考虑太阳对行星的作用．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比．2．表达式： F＝ G .m1m2r23．引力常量 G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的相互吸引力．(2)引力常量测定的意义2卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，测出 G 的数值及验证了万有引力定律的正确性．引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．4．万有引力的特性(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．5．万有引力公式的适用条件(1)两个质点间．(2)两个质量分布均匀的球体间，其中 r 为两个球心间的距离．(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间， r 为球心到质点的距离．[即学即用]1．判断下列说法的正误．(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．(√)(2)引力常量是牛顿首先测出的．(×)(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比．(×)(4)根据万有引力表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大．(×)2．两个质量都是 1 kg 的物体(可看成质点)，相距 1 m 时，两物体间的万有引力 F＝_____ N，一个物体的重力 F′＝________ N，万有引力 F 与重力 F′的比值为________．(已知引力常量 G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2，重力加速度 g＝10 m/s 2)．答案 6.67×10 －11 10 6.67×10 －12一、万有引力定律[导学探究] 如 图 1 所 示 ， 天 体 是 有 质 量 的 ， 人 是 有 质 量 的 ， 地 球 上 的 其 他 物 体 也 是 有 质 量 的 .图 1(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？3(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力．但由于地球上物体的质量一般很小(相比较天体质量)，地球上两个物体间的万有引力是远小于地面对物体的最大静摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用．(2)相等．它们是一对相互作用力．[知识深化]1．万有引力定律表达式 F＝ G ，式中 G 为引力常量． G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2，由英m1m2r2国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出．测定 G 值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值．2．万有引力定律的适用条件(1)在以下三种情况下可以直接使用公式 F＝ G 计算：m1m2r2①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的 r 表示两质点间的距离．②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的 r 为两个球心间的距离．③一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力： r 指质点到球心的距离．(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据 F＝ G 得出 r→0 时 F→∞的结论而违背公式的物理含义．因为，此时由于 r→0，物体m1m2r2已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用．(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力．例 1 (多选)下列说法正确的是( )A．万有引力定律 F＝ G 适用于两质点间的作用力计算m1m2r2B．据 F＝ G ，当 r→0 时，物体 m1、 m2间引力 F 趋于无穷大m1m2r2C．把质量为 m 的小球放在质量为 M、半径为 R 的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝ GMmR2D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用 F＝ G 计算， r 是两球体m1m2r2球心间的距离答案 AD4解析 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力．故 A、D 项正确；当 r→0 时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B 项错误；大球 M 球心周围物体对小球 m 的引力合力为零，故 C 项错误．针对训练 如图 2 所示，两球间的距离为 r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、 m2，半径大小分别为 r1、 r2，则两球间的万有引力大小为( )图 2A． G B． G C． G D． Gm1m2r2 m1m2r12 m1m2r1＋ r22 m1m2r1＋ r2＋ r2答案 D解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为 G ，故选 D.m1m2r1＋ r2＋ r2二、 “挖补”法分析质点和球壳之间的引力例 2 有一质量为 M、半径为 R、密度均匀的球体，在距离球心 O 为 2R 的地方有一质量为m 的质点．现从 M 中挖去半径为 R 的球体，如图 3 所示，则剩余部分对 m 的万有引力 F 为( )12图 3A. B.7GMm36R2 7GMm8R2C. D.GMm18R2 7GMm32R2答案 A解析 质量为 M 的球体对质点 m 的万有引力F1＝ G ＝ GMm2R2 Mm4R2挖去的球体的质量 M′＝ M＝43π R2343π R3 M85质量为 M′的球体对质点 m 的万有引力F2＝ G ＝ GM′ mR＋ R22 Mm18R2则剩余部分对质点 m 的万有引力F＝ F1－ F2＝ G － G ＝ .故选项 A 正确．Mm4R2 Mm18R2 7GMm36R21．万有引力公式 F＝ G 的适用条件是质点或质量均匀的球体，只有把挖去的小球补上才m1m2r2成为质量均匀的球体．2．注意本题的基本思想：挖—补—挖．求剩余部分对质点的作用力即是大球(补全)对 m 的作用力减去小球对 m 的作用力．1．(对太阳与行星间的引力的理解)(多选)对于太阳与行星间的引力及其表达式 F＝ G ，m1m2r2下列说法正确的是( )A．公式中 G 为比例系数，与太阳、行星有关B．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等C．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零， m1、 m2都处于平衡状态D．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力答案 BD解析 太阳与行星间引力表达式 F＝ G 中的 G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系，m1m2r2A 错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B、D 正确，C 错误．2．(对万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用 F＝ 计算Gm1m2r2C．由 F＝ 知，两物体间距离 r 减小时，它们之间的引力增大Gm1m2r2D．万有引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且约等于 6.67×10－11 N·m2/kg26答案 CD解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用 F＝ 来计算，B 错；物体间的万有引力与它们间距离 r 的二次方成Gm1m2r2反比，故 r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量 G 是由卡文迪许首先精确测出的，D对．3．(万有引力定律的简单应用)设地球表面重力加速度为 g0，物体在距离地心 4R(R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为 g，则 为( )gg0A．1 B.19C. D.14 116答案 D解析 地球表面处的重力加速度和离地心高 4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：地面上： G ＝ mg0①mMR2离地心 4R 处： G ＝ mg②mM4R2由①②两式得 ＝( )2＝ ，故 D 正确．gg0 R4R 1164．(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为 F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球 2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )A．2 F B．4 F C．8 F D．16 F答案 D解析 两个小铁球之间的万有引力为 F＝ G ＝ G .实心小铁球的质量为mm2r2 m24r2m＝ ρV ＝ ρ · π r3，大铁球的半径是小铁球的 2 倍，则大铁球的质量 m′与小铁球的质量43m 之比为 ＝ ＝ .故两个大铁球间的万有引力为 F′＝ G ＝16 F，故选 D.m′m r′ 3r3 81 m′ m′r′ 2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算7一、选择题考点一 万有引力定律的理解1．(多选)下列关于万有引力的说法，正确的有( )A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力B．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的C．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力D． F＝ G 中， G 是一个比例常数，没有单位m1m2r2答案 BC解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，选项 A 错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，选项 B 正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，选项 C 正确；国际单位制中质量 m、距离 r、力 F 的单位分别是 kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律 F＝ G，得到 G 的单位是 N·m2/kg2，选项 D 错误. m1m2r22．依据牛顿的理论，两物体之间万有引力的大小，与它们之间的距离 r 满足( )A． F 与 r 成正比 B． F 与 r2成正比C． F 与 r 成反比 D． F 与 r2成反比答案 D解析 万有引力定律的表达式为 F＝ G ，所以 F 与 r2成反比，选项 D 正确，A、B、C 错m1m2r2误．3．某实心匀质球半径为 R，质量为 M，在球外离球面 h 高处有一质量为 m 的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为( )A． G B． G C． G D． GMmR2 MmR＋ h2 Mmh2 MmR2＋ h2答案 B解析 万有引力定律中 r 表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以 r＝ R＋ h.4．2015 年 7 月 14 日， “新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星，如图 1 所示．在此过程中，冥王星对探测器的引力( )8图 1A．先变大后变小，方向沿两者的连线指向冥王星B．先变大后变小，方向沿两者的连线指向探测器C．先变小后变大，方向沿两者的连线指向冥王星D．先变小后变大，方向沿两者的连线指向探测器答案 A解析 根据万有引力定律 F＝ G ，万有引力与物体之间的距离的二次方成反比，故在探m1m2r2测 器 飞 掠 冥 王 星 的 过 程 中 ， 随 着 它 与 冥 王 星 间 的 距 离 r 先 减 小 后 增 大 ， 那 么 冥 王 星 对 探 测 器的 引 力 先 变 大 后 变 小 ， 而 引 力 的 方 向 沿 两 者 的 连 线 指 向 冥 王 星 ， 选 项 A 正 确 ， B、 C、 D 错 误 ．考点二 万有引力定律的简单应用5．要使两物体(可视为质点)间的万有引力减小到原来的 ，下列办法不正确的是( )14A．使两物体的质量各减小一半，距离不变B．使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离不变14C．使两物体间的距离增大到原来的 2 倍，质量不变D．两物体的质量和距离都减小到原来的14答案 D解析 万有引力定律的表达式为 F＝ G ，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，Mmr2距离不变，则万有引力变为原来的 ，A 正确；使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离14 14不变，则万有引力变为原来的 ，B 正确；使两物体间的距离增大到原来的 2 倍，质量不变，14则万有引力变为原来的 ，C 正确；两物体的质量和距离都减小到原来的 ，则万有引力大小14 14不变，D 错误．【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算6．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为 F.若此物体受到的引力减小到 ，则此物体F49距离地面的高度应为( R 为地球半径)( )A．2 R B．4 R C． R D．8 R答案 C解析 根据万有引力定律有 F＝ G ， F＝ G ，解得 h＝ R，选项 C 正确．MmR2 14 MmR＋ h2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算7． 地 球 质 量 大 约 是 月 球 质 量 的 81 倍 ， 一 飞 行 器 位 于 地 球 与 月 球 之 间 ， 当 地 球 对 它 的 引 力 和 月球 对 它 的 引 力 大 小 相 等 时 ， 飞 行 器 距 月 球 球 心 的 距 离 与 月 球 球 心 距 地 球 球 心 的 距 离 之 比 为 ( )A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1答案 C解析 设月球质量为 m，则地球质量为 81m，地月间距离为 r，飞行器质量为 m0，当飞行器距月球球心的距离为 r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G ＝ G ，所以 ＝9， r＝10 r′， r′∶ r＝1∶10，故选项 C 正确．mm0r′ 2 81mm0r－ r′ 2 r－ r′r′【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算8．某未知星体的质量是地球质量的 ，直径是地球直径的 ，则一个质量为 m 的人在未知星14 14体表面受到的引力 F 星 和地球表面所受引力 F 地 的比值 为( )F星F地A．16 B．4C. D.116 14答案 B解析 根据万有引力定律 F＝ G ∝ 故 ＝ · ＝ ×( )2＝4，B 项正确．MmR2 MR2 F星F地 M星M地 R地 2R星 2 14 419．如图 2 所示，一个质量均匀分布的半径为 R 的球体对球外质点 P(图中未画出)的万有引力为 F.如果在球体中央挖去半径为 r 的一部分球体，且 r＝ ，则原球体剩余部分对质点 PR2的万有引力变为( )图 210A. B.F2 F8C. D.7F8 F4答案 C解析 利用填补法来分析此题．原来物体间的万有引力为 F，挖去的半径为 的球体的质量R2为原来球体质量的 ，其他条件不变，故剩余部分对质点 P 的万有引力为 F－ ＝ F.18 F8 78【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】填补法计算引力二、非选择题10．(万有引力定律的应用)一个质量均匀分布的球体，半径为 2r，在其内部挖去一个半径为 r 的球形空穴，其表面与球面相切，如图 3 所示．已知挖去小球的质量为 m，在球心和空穴中心连线上，距球心 d＝6 r 处有一质量为 m2的质点，求：图 3(1)被挖去的小球对 m2的万有引力为多大？(2)剩余部分对 m2的万有引力为多大？答案 (1) G (2) Gmm225r2 41mm2225r2解析 (1)被挖去的小球对 m2的万有引力为F2＝ G ＝ Gmm25r2 mm225r2(2)将挖去的小球填入空穴中，由 V＝ π r3可知，大球的质量为 8m，大球对 m2的引力为43F1＝ G ＝ G8m·m26r2 2mm29r2m2所受剩余部分的引力为 F＝ F1－ F2＝ G .41mm2225r2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】填补法计算引力15.3 万有引力定律与天文学的新发现[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的应用，知道海王星、冥王星等天体的发现过程.2.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路．一、笔尖下发现的行星——海王星的发现根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星 ——海王星．二、哈雷彗星的预报1．英国天文学家哈雷断言，1682 年天空中出现的彗星与 1531 年、1607 年出现的彗星是同一颗星．并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发现它的周期约为 76 年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星．2．1759 年 3 月 13 日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的．三、称量天体的质量——太阳质量的估算1．称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．(2)关系式： mg＝ G .MmR2(3)结果： M＝ ，只要知道 g、 R、 G 的值，就可计算出地球的质量．gR2G22．太阳质量的计算(1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．(2)关系式： ＝ m r.GMmr2 4π 2T2(3)结论： M＝ ，只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质4π 2r3GT2量．(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M.[即学即用]1．判断下列说法的正误．(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．(×)(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．(×)(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(×)(4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(×)(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(×)(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)2．已知引力常量 G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2，重力加速度 g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×10 6 m，则可知地球的质量约为( )A．2×10 18 kg B．2×10 20 kgC．6×10 22 kg D．6×10 24 kg答案 D一、天体质量和密度的计算[导学探究]1．卡文迪许在实验室测出了引力常量 G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人” ．(1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度 g，地球半径 R，求地球的质量和密度．答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．(2)由 mg＝ G ，得： M＝MmR2 gR2G3ρ ＝ ＝ ＝ .MV M43π R3 3g4π GR2．如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由 ＝ m 地 r 知 M 太 ＝ ，可以求出太阳的质量．由密度公式 ρ ＝Gm地 M太r2 4π 2T2 4π 2r3GT2可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．M太43π R太 3[知识深化] 天体质量和密度的计算方法“自力更生法” “借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径 R 和天体(如地球)表面的重力加速度 g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力： mg＝ GMmR2 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G ＝ m( )2rMmr2 2πT(G ＝ m )Mmr2 v2r(G ＝ mω 2r)Mmr2天体质量 天体(如地球)质量： M＝gR2G中心天体质量： M＝ (M＝4π 2r3GT2 rv2G或 M＝ )r3ω 2G天体密度ρ ＝ ＝M43π R3 3g4π RG ρ ＝ ＝ (以 T 为例)M43π R3 3π r3GT2R3说明 利用 mg＝ 求 M 是忽略了天体自转，GMmR2且 g 为天体表面的重力加速度由 F 引 ＝ F 向 求 M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量例 1 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常量为 G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又是多少？4答案 (1) (2)3πGT12 3π R＋ h3GT22R3解析 设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.(1)卫星贴近天体表面运动时有 G ＝ m R， M＝MmR2 4π 2T12 4π 2R3GT12根据数学知识可知天体的体积为 V＝ π R343故该天体的密度为 ρ ＝ ＝ ＝ .MV 4π 2R3GT12·43π R3 3πGT12(2)卫星距天体表面的高度为 h 时，忽略自转有G ＝ m (R＋ h)MmR＋ h2 4π 2T22M＝4π 2R＋ h3GT22ρ ＝ ＝ ＝MV 4π 2R＋ h3GT22·43π R3 3π R＋ h3GT22R3注意区分 R、 r、 h 的意义：一般情况下， R 指中心天体的半径， r 指行星或卫星的轨道半径，h 指卫星距离星球表面的高度， r＝ R＋ h.针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕． “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 .该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )120A. B．1 110C．5 D．10答案 B解析 由 G ＝ m r 得 M∝Mmr2 4π 2T2 r3T2已知 ＝ ， ＝ ，则 ＝( )3×( )2≈1，B 项正确．r51r地 120 T51T地 4365 M51M地 120 3654例 2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的 4倍，求：(1)星球半径与地球半径之比；(2)星球质量与地球质量之比．答案 (1)4∶1 (2)64∶15解析 (1)由 ＝ mg 得 M＝ ，所以 ρ ＝ ＝ ＝ ， R＝ ， ＝ ·GMmR2 gR2G MVgR2G43π R3 3g4π GR 3g4π Gρ RR地 3g4π Gρ＝ ＝ .4π Gρ 地3g地 gg地 41(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的 4 倍．根据 M＝ 得 ＝ · ＝ .gR2G MM地 gR2G Gg地 R地 2 641二、物体所受地球的引力与重力的关系1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图 1，万有引力为 F 引 ，重力为 G，自转向心力为 F′.当然，真实情况不会有这么大偏差．图 1(1)物体在一般位置时F′＝ mrω 2， F′、 F 引 、 G 不在一条直线上，重力 G 与万有引力 F 引 方向有偏差，重力大小mgG .MmR2(2)当物体在赤道上时， F′达到最大值 Fmax′，Fmax′＝ mRω 2，此时重力最小；Gmin＝ F 引 － Fmax′＝ G － mRω 2.Mmr2(3)当物体在两极时 F′＝0G＝ F 引 ，重力达最大值 Gmax＝ G .Mmr2可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力．(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力， mg≈ G ， g 为地球表面的重力加速度．MmR22．重力与高度的关系若距离地面的高度为 h，则 mg′＝ G (R 为地球半径， g′为离地面 h 高度处的重力加MmR＋ h26速度)．所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．例 3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为 h 处，沿水平方向以初速度 v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为 R，引力常量为 G.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的平均密度．答案 (1) (2)2hv2L2 3hv22π GRL2解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有 L＝ vt， h＝ gt2，解得 g＝ .12 2hv2L2(2)在星球表面满足 G ＝ mgMmR2又 M＝ ρ · π R3，解得 ρ ＝ .43 3hv22π GRL21．(天体质量的计算)(多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人” ．若已知引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R，地球上一昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2，能计算出( )A．地球的质量 M 地 ＝gR2GB．太阳的质量 M 太 ＝4π L23GT22C．月球的质量 M 月 ＝4π 2L13GT12D．月球、地球及太阳的密度答案 AB解析 由 G ＝ mg 解得地球的质量 M 地 ＝ ，选项 A 正确；根据地球绕太阳运动的万有M地 mR2 gR2G引力等于向心力 G ＝ M 地 L2，可得出太阳的质量 M 太 ＝ ，选项 B 正确；不M太 M地L22 4π 2T22 4π 2L23GT22能求出月球的质量和月球、太阳的密度，选项 C、D 错误．【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题2．(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星7的密度，仅仅需要( )A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度答案 A解析 取飞船为研究对象，由 G ＝ mR 及 M＝ π R3ρ ，知 ρ ＝ ，故选 A.MmR2 4π 2T2 43 3πGT23．(地球表面的万有引力与重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B．赤道处的角速度比南纬 30°大C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力答案 A解析 由 F＝ G 可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都MmR2相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对．地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错．4．(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度 g＝10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度 g 星 的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为 ＝ ，求该星球的质量与地球质量之比 .R星R地 14 M星M地答案 (1)2 m/s 2 (2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度 v0竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处，根据运动学公式可有 t＝ .2v0g同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间 5t 小球落回原处，则5t＝2v0g星根据以上两式，解得 g 星 ＝ g＝2 m/s 215(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即8mg＝ ，所以 M＝GMmR2 gR2G由此可得， ＝ · ＝ × ＝ .M星M地 g星g R星 2R地 2 15 142 180一、选择题考点一 天体质量和密度的计算1．已知引力常量 G、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )A．月球的质量 B．地球的质量C．地球的半径 D．地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知 G ＝ m R 可得，地球质量 M＝ ，由于不知地球的半径，MmR2 4π 2T2 4π 2R3GT2无法求地球的密度，故选项 B 正确．【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量2．若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为( )A. B.R3t2r3T2 R3T2r3t2C. D.R3t2r2T3 R2T3r2t3答案 A解析 由万有引力提供向心力得 ＝ m ，即 M∝ ，所以 ＝ .GMmR20 4π 2R0T02 R03T02 M日M地 R3t2r3T2【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量3．如图 1 所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 ρ的表达式正确的是( )9图 1A． M＝ ， ρ ＝4π 2R＋ h3Gt2 3π R＋ h3Gt2R3B． M＝ ， ρ ＝4π 2R＋ h2Gt2 3π R＋ h2Gt2R3C． M＝ ， ρ ＝4π 2t2R＋ h3Gn2 3π t2R＋ h3Gn2R3D． M＝ ， ρ ＝4π 2n2R＋ h3Gt2 3π n2R＋ h3Gt2R3答案 D解析 设“卡西尼”号的质量为 m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供， G ＝ m(R＋ h)( )2，其中 T＝ ，解得 M＝ .又土星体积MmR＋ h2 2πT tn 4π 2n2R＋ h3Gt2V＝ π R3，所以 ρ ＝ ＝ .43 MV 3π n2R＋ h3Gt2R3【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度4．2015 年 7 月 23 日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为 385 天(约 3.3×107 s)，轨道半径约为 1.5×1011 m，已知引力常量G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )A．1.8×10 30 kg B．1.8×10 27 kgC．1.8×10 24 kg D．1.8×10 21 kg答案 A解析 根据万有引力充当向心力，有 G ＝ mr ，则中心天体的质量 M＝ ≈mMr2 4π 2T2 4π 2r3GT2kg≈1.8×10 30 kg，故 A 正确．4×3.142×1.5×101136.67×10－ 11×3.3×1072【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量5．某火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为 T，则火星的平均密度 ρ 的表达式为( k 为某个常量)( )10A． ρ ＝ kT B． ρ ＝kTC． ρ ＝ kT2 D． ρ ＝kT2答案 D解析 根据万有引力定律得 G ＝ mR ，可得火星的质量 M＝ ，又火星的体积MmR2 4π 2T2 4π 2R3GT2V＝ π R3，故火星的平均密度 ρ ＝ ＝ ＝ ，选项 D 正确．43 MV 3πGT2 kT2【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度6． “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 θ (弧度)，如图 2 所示．已知引力常量为 G，由此可推导出月球的质量为( )图 2A. B. l3Gθ t2 l3θGt2C. D.lGθ t2 l2Gθ t2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径 r＝ ，根据转过的角度和lθ时间，可得 ω ＝ ，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的θ t向心力，可得 G ＝ mω 2r，由以上三式可得 M＝ .Mmr2 l3Gθ t2考点二 重力与万有引力7．地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，若高空中某处的重力加速度为 ，则该处距g2地球表面的高度为( )A．( －1) R B． R2C. R D．2 R2答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为 M，物体质量为 m，物体距地面的高度为11h，分别列式 ＝ mg， G ＝ m ，联立得 2R2＝( R＋ h)2，解得 h＝( －1) R，选项 A 正GMmR2 MmR＋ h2 g2 2确．8．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为 960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为( )A．0.5 B．2 C．3.2 D．4答案 B解析 若地球质量为 M0，则“宜居”行星质量为 M＝6.4 M0，由 mg＝ G 得Mmr2＝ · ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝2，选项 B 正确．m0gm0g′ M0r02 r2M 600960 rr0 600M960M0 600×6.4M0960M09．火星的质量和半径分别约为地球的 和 ，地球表面的重力加速度为 g，则火星表面的重110 12力加速度约为( )A．0.2 g B．0.4 gC．2.5 g D．5 g答案 B解析 在星球表面有 mg＝ ，设火星表面的重力加速度为 g 火 ，则 ＝ ＝0.4，GMmR2 g火g M火 R地 2M地 R火 2故 B 正确．10．(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为 r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转，则地球的质量可表示为( )A. B. 4π 2r3GT2 4π 2R3GT2C. D.gR2G gr2G答案 AC解析 根据 G ＝ m r 得， M＝ ，选项 A 正确，选项 B 错误；在地球的表面附近有Mmr2 4π 2T2 4π 2r3GT2mg＝ G ，则 M＝ ，选项 C 正确，选项 D 错误．MmR2 gR2G二、非选择题11．(重力与万有引力)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落，12经时间 t 落到月球表面．已知引力常量为 G，月球的半径为 R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小 g 月 ；(2)月球的质量 M；(3)月球的密度．答案 (1) (2) (3)2ht2 2hR2Gt2 3h2π RGt2解析 (1)月 球 表 面 附 近 的 物 体 做 自 由 落 体 运 动 h＝ g 月 t2， 月 球 表 面 的 自 由 落 体 加 速 度 大 小12g 月 ＝ .2ht2(2)因不考虑月球自转的影响，则有 G ＝ mg 月 ，月球的质量 M＝ .MmR2 2hR2Gt2(3)月球的密度 ρ ＝ ＝ ＝ .MV2hR2Gt243π R3 3h2π RGt2