1、- 1 -河北省临漳县第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 实数集 R，设集合 P=x|x2-4x+30， Q=x|x2-40，则 P（ RQ）=（ ）A. B. C. D. 2. ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知 a= ， c=2，cos A= ，则 b=（ ）A. B. C. 2 D. 33. 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 .若sinBsinC=sin2A,则 ABC 的形状是（）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形 D. 等腰直角
2、三角形4. 已知数列 an满足 a1=1， an+1=an+2n，则 a10=（ ）A. 1024 B. 1023 C. 2048 D. 20475. ABC 中， a b c 分别为 A B C 的对边，如果 a b c 成等差数列， B=30， ABC 的面积为 ，那么 b 等于（ ）A. B. C. D. 6. 在 ABC 中， ， A=75， B=45，则 ABC 的外接圆面积为（ ）A. B. C. 2 D. 47. 设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 设 x， y 满足约束条件 ，目标函数 的最大值为2，则 的最
3、小值为（ ）- 2 -A. B. C. D. 9. 给出如下四个命题：若“ p 且 q”为假命题，则 p、 q 均为假命题；命题“若 a b，则 2a2 b-1”的否命题为“若 a b，则 2a2 b-1”；“ x R， x2+11”的否定是 “x R， x2+11”；在 ABC 中，“ A B”是“sin Asin B”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 410. 方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. -3 m0 B. -3 m2 C. -3 m4 D. -1 m311. 若曲线 表示椭圆，则 k 的取值范围是 A. B. C. D. 或12
4、. 已知双曲线 =1（ a0， b0），点 A、 F 分别为其右顶点和右焦点， B1（0， b），B2（0，- b），若 B1F B2A，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 在 ABC 中， a= ， b=1， A= ，则 cosB= _ 14. 若等差数列 an满足 a7+a8+a90， a7+a100，则当 n= _ 时， an的前 n 项和最大15. 若命题“ t R， t2-2t-a0”是假命题，则实数 a 的取值范围是_16. 点 P 是椭圆 + =1 上一点， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，若| PF1|
5、PF2|=12，则 F1PF2的大小_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）- 3 -17. 已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边，且满足（ b-c） 2=a2-bc（1）求角 A 的大小；（2）若 a=3，sin C=2sinB，求 ABC 的面积18. 设数列 an满足 a1+3a2+（2 n-1） an=2n（1）求 an的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和19. 设集合 A=x|x29， B=x|（ x-2）（ x+4）0（1）求集合 A B；（2）若不等式 2x2+ax+b0 的解集为 A B，求 a、 b 的值20. 设 p：实数 x
6、 满足 x2+2ax-3a20（ a0）， q：实数 x 满足 x2+2x-80，且 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围- 4 -21. 已知椭圆 C： （ a b0）的两个焦点分别为 F1， F2，离心率为 ，过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，且 MNF2的周长为 8（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 y kx b 与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，且 OA OB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结论22. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，左焦点为 F，过 A（ a，0），B（0，- b）的直线为 l，原点到直线 l 的距离是 （1
7、）求双曲线的方程；（2）已知直线 y=x+m 交双曲线于不同的两点 C， D，问是否存在实数 m，使得以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由- 5 -答案和解析1.【答案】 D【解析】【分析】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题解不等式求得集合 P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可【解答】解：实数集 R，集合 P=x|x2-4x+30=x|1x3，Q=x|x2-40=x|-2x2， RQ=x|x-2 或 x2，P（ RQ）=x|x-2 或 x1=（-，-21，+）故选 D2.【答案】 D【解析】解：a= ，c=2，cosA= ，由余弦定
8、理可得：cosA= = = ，整理可得：3b 2-8b-3=0，解得：b=3 或- （舍去）故选：D由余弦定理可得 cosA= ，利用已知整理可得 3b2-8b-3=0，从而解得 b 的值本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题3.【答案】 C【解析】【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得 cosA= ，可得 由 sin BsinC=sin2A，利正弦定理可得：bc=a 2，代入 b2+c2=a2+bc，可得 b=c本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题本题主要考查了正余弦定理的
9、应用，运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系，属于简单题.【解答】解：在ABC 中，b 2+c2=a2+bc，cosA= = = ，- 6 -A（0，）， ，bc=a 2，代入 b2+c2=a2+bc，（b-c） 2=0，解得 b=cABC 的形状是等边三角形故选：C4.【答案】 B【解析】解：数列a n满足 a1=1，a n+1=an+2n，a n=a1+（a 2-a1）+（a n-an-1）=1+2 1+22+2n-1= =2n-1（nN *）a 10=210-1=1023故选：B由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前 n 项和公式即可求出正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等
10、比数列的前 n 项和公式是解题的关键5.【答案】 B【解析】【分析】由题意可得 2b=a+c平方后整理得 a2+c2=4b2-2ac利用三角形面积可求得 ac 的值，代入余弦定理可求得 b 的值本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题【解答】解：a，b，c 成等差数列，2b=a+c平方得 a2+c2=4b2-2ac又ABC 的面积为 ，且B=30，由 SABC = acsinB= ac sin30= ac= ，解得 ac=6，代入式可得 a2+c2=4b2-12，由余弦定理 cosB= = = = 解得 b2=4+2 ，又b 为边长，b=1+ 故选 B6.【答案】 B【解析
11、】【分析】本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题- 7 -【解答】解：在 中， ， ， ， ，设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 = ，解得 ，故 的外接圆面积 ，故选 7.【答案】 D【解析】【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数的最优解是解题的关键.解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：z=x+y 即 y=-x+z，当直线过点 A 时，直线 y=-x+z 的截距最大，z 的值最大.由 解得 A（3，0），所以 z=x+y 的最大值为 3.故选 D.8.【答案】 C【解析】【分析】先根据条件画出可行域，设 ，
12、再利用几何意义求最值，将最大值转化为 y 轴上的截距，只需求出直线 ，过可行域内的点（1，4）时取得最大值，从而得到一个关于a，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 过直线 与 的交点 时，目标函数 取得最大 ，即 ，- 8 -则 ；当且仅当 时等号成立；故选：C9.【答案】 C【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档.根据复合命题真假判断的真值表，可判断；根据四种命题的
13、定义，可判断；根据全称命题的否定，可判断；根据充要条件的定义，可判断.【解答】解：若“p 且 q”为假命题，则 p、q 存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；命题“若 ab，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，故正确；“ ， ”的否定是“ ， ”，故正确；在 中，“ ”“ab”“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”,故“AB”是“sinAsinB”的充要条件，故正确.故选 C.10.【答案】 A【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件【解答】解：根据题意，方程 表示双曲线，则有（m-2）（m+3）0，解可得-3m2
14、，要求方程 表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是m|-3m2的真子集；依次分析选项：A 符合条件，故选 A11.【答案】 D【解析】- 9 -【分析】曲线 表示椭圆，可得 ，解出即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题【解答】解：曲线 表示椭圆， ，解得-1k1，且 k0故选：D12.【答案】 C【解析】【分析】根据题意，设 A（a，0），F（c，0），由向量的坐标计算公式可得 =（c，-b），=（a，b），进而分析可得 =ac-b2=0，结合双曲线的几何性质，可得 c2-a2-ac=0，由离心率公式变形可得 e2-e-1=0，解可得
15、e 的值，即可得答案本题考查双曲线的几何性质，关键是由 B1FB 2A 分析 a、b、c 的关系【解答】解：根据题意，已知双曲线 =1（a0，b0），点 A、F 分别为其右顶点和右焦点，设 A（a，0），F（c，0），则 =（c，-b）， =（a，b），若 B1FB 2A，则有 =ac-b2=0，又由 c2=a2+b2，则有 c2-a2-ac=0，变形可得：e 2-e-1=0，解可得 e= 或 （舍）故 e= ，故选 C13.【答案】【解析】- 10 -解：a= ，b=1，A= ， 由正弦定理可得：sinB= = = ， ba，B 为锐角， cosB= = 故答案为： 由已知利用正弦定理可求
16、sinB，利用大边对大角可求 B 为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求 cosB 的值 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14.【答案】8【解析】解：由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a80， a 80，又 a7+a10=a8+a90，a 90， 等差数列a n的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数， 等差数列a n的前 8 项和最大， 故答案为：8 可得等差数列a n的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论 本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题15.【答案】（-，-1【解析】解：命题“ t
17、R ，t 2-2t-a0”是假命题，则tR，t 2-2t-a0 是真命题，=4+4a0，解得 a-1实数 a 的取值范围是（-，-1故答案为：（-，-1命题“ tR， t2-2t-a0”是假命题，则tR，t 2-2t-a0 是真命题，可得0本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.【答案】60【解析】解：椭圆 + =1， 可得 2a=8，设|PF 1|=m，|PF 2|=n， 可得 ， 化简可得：cosF 1PF2= F 1PF2=60 - 11 -故答案为：60 利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可 本题考查椭圆的简单性质的应
18、用，考查转化思想以及计算能力17.【答案】解：（1）（ b-c） 2=a2-bc，可得： b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得：cos A= = = ，又 A（0，）， A= ,（2）由 sinC=2sinB 及正弦定理可得： c=2b， a=3， A= ，由余弦定理可得： a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，解得： b= ， c=2 ， S ABC= bcsinA= = .【解析】（1）由已知等式可得 b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得 cosA= ，结合范围 A（0，），即可求得 A 的值（2）由 sinC=2sinB 及正弦定理可得 c=2b，又 a=3，A
19、= ，由余弦定理可解得 b，c 的值，利用三角形面积公式即可得解18.【答案】解：（1）数列 an满足 a1+3a2+（2 n-1） an=2nn2 时， a1+3a2+（2 n-3） an-1=2（ n-1）（2 n-1） an=2 an= 当 n=1 时， a1=2，上式也成立 an= （2） = = - 数列 的前 n 项和= + + =1- = 【解析】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（1）利用数列递推关系即可得出（2） = = - 利用裂项求和方法即可得出19.【答案】解：集合 A=x|x29= x|-3 x3，B=x|（ x-2）（ x+4
20、）0= x|-4 x2；（1）集合 A B=x|-3 x2；- 12 -（2） A B=x|-4 x3，且不等式 2x2+ax+b0 的解集为（-4，3），2 x2+ax+b=0 的根是-4 和 3，由根与系数的关系得 ，解得 a=2， b=-24【解析】（1）化简集合 A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出 A、B 的并集，再由根与系数的关系，即可求出 a、b 的值本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目20.【答案】解：因为 p：-3 a x aq：-4 x2，因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 p 能推出 q， q 不能推出 p所以 x|-3a x
21、 ax|-4 x2，故满足 解得 0 a 【解析】解两个不等式，将 p 和 q 表示为 x 的集合，然后由 p 是 q 的必要不充分条件得两个集合之间的包含关系，结合数轴构造关于 a 的不等式，求解即可本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化，考查了解不等式组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题21.【答案】解：（1）由题意知，4 a=8，则 a=2，由椭圆离心率 e= = = ，则 b2=3椭圆 C 的方程 ；（2）由题意，当直线 AB 的斜率不存在，此时可设 A（ x0， x0）， B（ x0，- x0）又 A， B 两点在椭圆 C 上， ，点 O 到直线 AB 的距离 ，当直线
22、 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+b设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）联立方程 ，消去 y 得（3+4 k2） x2+8kbx+4b2-12=0由已知0， x1+x2=- ， x1x2= ，由 OA OB，则 x1x2+y1y2=0，即 x1x2+（ kx1+b）（ kx2+b）=0，整理得：（ k2+1） x1x2+kb（ x1+x2）+ b2=0， - 13 -7 b2=12（ k2+1），满足0点 O 到直线 AB 的距离 d= = = 为定值综上可知：点 O 到直线 AB 的距离 d= 为定值【解析】（1）由题意可知：4a=8，e= = = ，即可求
23、得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得 b 和 k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点 O 到直线 AB 的距离是否为定值本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题22.【答案】解：（1） ，（2 分）原点到直线 AB： 的距离， （4 分） 故所求双曲线方程为 （6 分）（2）把 y=x+m 代入 x2-3y2=3 中消去 y，整理得 2 x2+6mx+3m2+3=0（8 分）设 C（ x1， y1）， D（ x2，
24、y2），则 ， F（-2，0），因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以 ，（10 分）可得 （ x1+2）（ x2+2）+ y1y2=0 把 y1=x1+m， y1=x1+m 代入，解得： （13 分）解0，得 m22， 满足 0， （ 14 分）【解析】（1）根据双曲线的渐近线方程及原点到直线 l 的距离是 ，即可求双曲线的标准方程； （2）以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，可知 将直线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用韦达定理可将向量关系转化为坐标关系，从而得解本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查双曲线的标准方程求解，考查直线与双曲线的位置关系，应注意判别式的验证
