2018-2019学年九年级数学上册 第二十四章 圆教案（打包23套）（新版）新人教版.zip

1第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆※教学目标※【知识与技能】探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.【过程与方法】1.体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．【情感态度】在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．【教学重点】圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．【教学难点】圆的集合定义方法．※教学过程※一、情境导入（课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点．学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．2、探索新知1.圆的定义（课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.其固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆 O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．思考 为什么车轮是圆的？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．22.圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.直径：经过圆心的弦（如图中的 AB）叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A， B 为端点的弧记作 ，读作AB“圆弧 AB”或“弧 AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧.AB等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.3、巩固练习1.如何在操场上画一个半径是 5m 的圆？说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20 年树龄的红杉树的树干直径是 23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?3.如图,一根 5m 长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.答案：1.首先确定圆心, 然后用 5 米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以 5 米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆. 2.23÷2÷20=0.575(cm) ,故这棵红衫树的半径每年增加 0.575cm.3.四、归纳小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆3等知识点．2.通过这节课的学习，你还有那些收获？※布置作业※从教材习题 24.1 中选取．※教学反思※本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑的习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识吗，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们的学习兴趣.124．1.1 圆01 教学目标1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．02 预习反馈阅读教材 P79～80 内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．1．如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径．2．圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．以点 A 为圆心，可以画无数个圆；以已知线段 AB 的长为半径，可以画无数个圆；以点 A 为圆心，AB 的长为半径，可以画 1 个圆．2【点拨】 确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．5．到定点 O 的距离为 5 的点的集合是以 O 为圆心，5 为半径的圆．03 新课讲授例 1 (教材 P80 例 1)矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O.求证： A， B， C， D 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上．【思路点拨】 要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点(即圆心)的距离相等．【解答】 证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴ OA＝ OC＝ AC， OB＝ OD＝ BD， AC＝ BD.12 12∴ OA＝ OC＝ OB＝ OD.∴ A， B， C， D 四个点在以点 O 为圆心， OA 为半径的圆上(如图)．例 2 (教材 P80 例 1 的变式)△ ABC 中，∠ C＝90°.求证： A， B， C 三点在同一个圆上．【解答】 证明：如图，取 AB 的中点 O，连接 OC.∵在△ ABC 中，∠ C＝90°，∴△ ABC 是直角三角形．∴ OC＝ OA＝ OB＝ AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．12∴ A， B， C 三点在同一个圆上．【跟踪训练 1】 (例 1 的变式题)(1)在图中，画出⊙ O 的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理3由．解：(1)作图略．(2)矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．【思考】 由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？例 3 已知⊙O 的半径为 2，则它的弦长 d 的取值范围是 0d≤4．【点拨】 直径是圆中最长的弦．例 4 在⊙O 中，若弦 AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是等边三角形．【点拨】 与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．【跟踪训练 2】 如图，点 A，B，C，D 都在⊙O 上．在图中画出以这 4 点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6 条．04 巩固训练1．如图，图中有 1 条直径，2 条非直径的弦，圆中以 A 为一个端点的优弧有 4 条，劣弧有 4 条．【点拨】 这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．2．如图，⊙O 中，点 A，O，D 以及点 B，O，C 分别在一条直线上，图中弦的条数为2．43．(24.1.1 习题)点 P 到⊙ O 上各点的最大距离为 10 cm，最小距离为 8 cm，则⊙ O 的半径是 1 或 9cm.【点拨】 这里分点在圆外和点在圆内两种情况．4．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 D 是 BC 的中点．若 AC＝10 cm，则 OD 的长为 5__cm．【点拨】 圆心 O 是直径 AB 的中点．5．如图，CD 为⊙O 的直径，∠EOD＝72°，AE 交⊙O 于 B，且 AB＝OC，则∠A 的度数为 24°．【点拨】 连接 OB 构造三角形，从而得出角的关系．05 课堂小结1．这节课你学了哪些知识？2．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？124.1.2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入（课件出示图片）你知道赵州桥吗？它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 2、探索新知1.圆的轴对称性问题 1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥ AB，垂足为 M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD．（2） AM=BM， ACB， AD，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分 AB及 D．归纳总结垂径定理*：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.想一想 （出示课件）判断下列图形，能否使用垂径定理？BA CDOMOC DBA OC DBAOC DBA OC DE2提问（1） 一条直线满足过圆心和垂直于弦，则可得到什么结论？提问（2） 已知直径 AB，弦 CD 且 CE=DE，那么可得到的结论有哪些？结论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧提问（3） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径?3.利用垂径定理及推论解决实际问题问题 3 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的 圆心为 O，半径为 R.经过圆心 O 作ABAB弦 AB 的垂线 OC， D 为垂足， OC 与 相交与点 C，连接 OA.根据垂径定理， D 是 AB 的中点，C 是 的中点， CD 就是拱高.AB由题设可知 AB=37cm， CD=7.23cm，所以 (cm)，13718.52D.在 Rt△ OAD 中，由勾股定理，得 ，解得O723R 22OA(m).因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3m.27.3R3、巩固练习1.如图， AB 是圆 O 的直径， CD 是弦，且 CD⊥ AB，根据圆的轴对称性可得：CE=_______， BC=_______； AC=_______．2.如图，在圆 O 中， MN 为直径，若 MN⊥ AB，则_______，_______，_______，若AC=BC,AB 不是直径，则_______，_______，_______．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中 AB)，点 O 是这段弧的圆心， C 是 AB 上的一点， OC⊥ AB，垂足为 D。 AB=300m,CD=50m，则这段弯路的半径是_______m．第 1 题图 第 2 题 图 第 3 题图答案：1. DE， ， 2.AC=BC， ， ， MN⊥ AB，ABDAMBAN， 3.250AMBN五、归纳小结通过这节课的学习，你还有那些收获？※布置作业※从教材习题 24.1 中选取．※教学反思※本节课从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学素养.本节课将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.1124．1.2 垂直于弦的直径01 教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．02 预习反馈阅读教材 P81～83 内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且 AB⊥CD，∴AE＝BE； ＝ ； ＝ ．AC︵ BC︵ AD︵ BD︵ 3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且 AE＝BE(AB 不是直径)，∴CD⊥AB； ＝ ； ＝ ．AC︵ BC︵ AD︵ BD︵ 03 新课讲授知识点 1 垂径定理2例 1 (教材补充例题)已知⊙ O 的半径为 5 cm.(1)若圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长为 8__cm；(2)若弦 AB 的长为 8 cm，则圆心 O 到 AB 的距离为 3__cm．【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．例 2 (例 1 的变式题)已知：如图，线段 AB 与⊙ O 交于 C， D 两点，且 OA＝ OB.求证：AC＝ BD.【解答】 证明：作 OE⊥ AB 于 E.则 CE＝ DE.∵ OA＝ OB， OE⊥ AB，∴ AE＝ BE.∴ AE－ CE＝ BE－ DE，即 AC＝ BD.【点拨】 过圆心作垂径是圆中常用辅助线．【跟踪训练 1】 若⊙O 的半径 OA＝5 cm，弦 AB＝8 cm，点 C 是 AB 的中点，则 OC 的长为 3__cm．【跟踪训练 2】 已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为垂足．若 AE＝9，BE＝1，求CD 的长．解：连接 OC.∵AE＝9，BE＝1，∴半径 OC＝5，OE＝4.∵弦 CD⊥AB，∴在 Rt△OCE 中，CE＝ ＝3.OC2－ OE2又∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∴CD＝2CE＝6.【跟踪训练 3】 ⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小值为 3，最大值为 5．【点拨】 当 OM 与 AB 垂直时，OM 最小(为什么)；当 M 在 A(或 B)处时，OM 最大．3知识点 2 垂径定理的实际应用例 3 (教材 P82 例 2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高 (弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【思路点拨】 解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．【解答】 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 R.AB︵ AB︵ 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC， D 为垂足， OC 与 相交于点 C，连接 OA.根据垂径定理，AB︵ D 是 AB 的中点， C 是 的中点， CD 就是拱高．AB︵ 由题设可知 AB＝37 cm， CD＝7.23 cm，所以 AD＝ AB＝ ×37＝18.5(cm)，12 12OD＝ OC－ CD＝ R－7.23.在 Rt△ OAD 中，由勾股定理，得OA2＝ AD2＋ OD2，即 R2＝18.5 2＋( R－7.23) 2.解得 R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为 27.3 m.【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练 4】 (教材 P82 例 2 的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为 8 米．404 巩固训练1．在直径是 20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是 60°，那么弦 AB 的弦心距是 5 __cm．3【点拨】 这里利用 60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为 6 cm，弓形的高为 2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为 __cm．1343．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是 中点，OE 交 BC 于点 D，BD＝3，AB＝10，则BC︵ AC＝8．4．(24.1.2 习题变式)⊙ O 的半径是 5， P 是圆内一点，且 OP＝3，过点 P 最短弦的长为 8，最长弦的长为 10．【点拨】 过点 P 最短弦即为与 OP 垂直的弦，最长弦即为直径．5．(24.1.2 习题变式)已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C， D 两点．求证： AC＝ BD.【点拨】 过圆心作垂径．证明：过点 O 作 OE⊥ AB 于点 E.则 AE＝ BE， CE＝ DE.∴ AE－ CE＝ BE－ DE，即 AC＝ BD.6．已知⊙O 的直径是 50 cm，⊙O 的两条平行弦 AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦 AB 与CD 之间的距离．【点拨】 分情况讨论：①AB，CD 在点 O 两侧；②AB，CD 在点 O 同侧．解：过点 O 作直线 OE⊥AB 于点 E，直线 OE 与 CD 交于点 F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当 AB，CD 在点 O 两侧时，如图 1.连接 AO，CO，则 AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知 OE＝ ＝15 cm，OF＝ ＝7 cm.AO2－ AE2 CO2－ CF2∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即 AB 与 CD 之间的距离为 22 cm；5图 1图 2②当 AB，CD 在点 O 同侧时，如图 2.连接 AO，CO.则 AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知 OE＝ ＝15 cm，OF＝ ＝7 cm.AO2－ AE2 CO2－ CF2∴EF＝OE－OF＝8 cm，即 AB 与 CD 之间的距离为 8 cm.综上所述，AB 与 CD 之间的距离为 22 cm 或 8 cm.05 课堂小结1．垂径定理及其推论．2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．124.1.3 弧、弦、圆心角※教学目标※【知识与技能】1.理解圆心角和圆的旋转不变性．2.掌握弧、弦、圆心角之间相等关系定理.【过程与方法】1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．2.利用圆的旋转不变性，研究弧、弦、圆心角之间相等关系定理．.【情感态度】培养学生积极探索数学问题的态度及方法．【教学重点】弧、弦、圆心角之间的相等关系．【教学难点】弧、弦、圆心角之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．※教学过程※1、复习导入教师引导学生回顾学过的圆的相关概念以及定理.2、探索新知1.圆的中心对称性提问 1 若将圆以圆心为旋转中心，旋转 180°，你能发现什么？圆绕其圆心旋转 180°后能与原来图形重合.所以圆是中心对称图形.提问 2 若旋转角度不是 180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？圆绕圆心旋转任意角度 α，都能够与原来的图形重合.所以圆具有旋转不变性.2.弧、弦、圆心角之间的关系相关概念 顶点在圆上的角叫做圆心角.探究 如图将圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A′ OB′的位置，你发现哪些等量关系？（ )A'B'AB归纳总结 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.思考 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；圆的对称性圆的轴对称性（圆是轴对称图形)圆的中心对称性？垂径定理及其推论？？？2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用例 1 如图，在⊙O 中， ,∠ ACB=60°.求证：∠ AOB=ABC∠ BOC=∠ AOC.证明：∵ ，∴ ,△ABC 是等腰三角形.AB又∠ ACB=60°，∴△ ABC 是等边三角形， .ABC∴∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC.例 2 如图， C， D 是以线段 AB 为直径的⊙ O 上的两点，且四边形 OBCD 是菱形.求证：.AD证明：连接 OC.∵四边形 OBCD 是菱形，∴ OB=BC，∠3=∠2， OD∥ BC.∴∠1=∠B. 又 OC=OB=BC，∴ OC=BC.∴∠3=∠B.∴∠1=∠2.∴ . ADC3、巩固练习1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）A.相等弦所对的弧相等 B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所对的弧相等 D.相等圆心角所对的弦相等2.如图， AB 是⊙ O 的直径， ,∠ COD=35°，求ABCDE∠ AOE 的度数．答案:1.D 2.∵ ，∴∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=35°.ABCDE∴∠ AOE=180°-3×35°=75°.五、归纳小结通过本节课的学习，你掌握了哪些基本概念和方法？※布置作业※从教材习题 24.1 中选取．※教学反思※本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养学生的动手解决问题的能力．教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可以先证其中一组量对应相等，掌握这个阶梯方法有助于提升学生的抽象思维能力．124.1.4 圆周角※教学目标※【知识与技能】理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并会通过它进行证明和计算.【过程与方法】经历圆周角定理的发现、探究与证明，使学生感悟分类讨论的数学思想，体会数学知识的一般形成过程.【情感态度】通过学生自主探究圆周角的概念及定理，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用．【教学重点】圆周角定理的理解与应用．【教学难点】运用分类讨论思想证明圆周角的定理．※教学过程※一、情境导入（课件展示海洋馆图片）在海洋馆里，人们可以通过圆弧形玻璃窗观看其中的海洋动物.问题 1 如图， 为圆弧形玻璃窗，同学甲站在圆心 O 的位置，同学乙站在正对着玻AB璃窗的靠墙的位置 C，他们的视角(∠ AOB 和∠ ACB)有什么关系？问题 2 如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E，他们的视角(∠ ADB 和∠ AEB)和同学乙的视角相同吗？（相同，2∠ ACB=2∠ AEB=2∠ ADB=∠ AOB）2、探索新知1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.探究 1 判别下列各图形中的角是不是圆周角.归纳总结 圆周角必须具备的两个条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都要圆相交.2.圆周角定理探究 2 分别量一下图中 AB 所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点 C 在圆周2上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？再分别量出图中 AB 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？归纳总结 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.动手操作 学生先动手画圆周角，将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，再相互交流，比较探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台展示交流成果，教师再利电脑动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳圆心与圆周角具有的三种不同的位置关系.（1）圆心在圆周角的一边上.（2）圆心在圆周角的内角.（3）圆心在圆周角的外部.分析第（1）种情况：圆心在 BAC 的一条边上.．12OACABOCB归纳总结 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.注意 （1）定理运用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”；（2）若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弧所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等，而是互补.3.圆周角定理的推论议一议 （1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度？（2）如果一条弧所对的圆周角是直角，那么这条弧所对的圆心角是多少度？归纳总结 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.4.圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.探究 圆内接四边形的角之间有何关系？如图，连接 OB， OD.∵∠A 所对的弧为 ,∠C 所对的弧为 ，ABCDABD又 和 所对的圆心角的和是周角，∴∠ A+∠ C= =180°.同理ABCD3602°∠ B+∠ D=180°.由此可知圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.3、掌握新知例 1 如图，圆 O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm，∠ ACB 的平分线交圆 O 于 D.求 BC， AD， BD 的长.分析：根据直径所对的角是 90°，判断出△ ABC 和△ ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ ACB 的平分线交⊙ O 于 D，判断出△ ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．3解：∵ AB 是 直 径 ， ∴ ∠ ACB=∠ ADB=90°.在 Rt△ ABC 中 ， ， AB=10cm， AC=6cm，22∴ .21064∴ BC= =8（ cm） .又 CD 平 分 ∠ ACB，64∴ ∠ ACD=∠ BCD， ∴ .∴ AD=BD.A又 在 Rt△ ABD 中 ， ， ∴ .∴ AD=BD= = cm.2222101025例 2 如图， AB 为圆 O 的直径，点 C， D 在圆 O 上，∠ AOD=30°，求∠ BCD 的度数.分析：先根据等腰三角形的性质得到∠ A=∠ ADO，再根据三角形内角和定理计算出∠ A=75°，然后根据圆的内接四边形的性质求∠ BCD 的度数．解：∵ OD=OA， ∴ ∠ A=∠ ADO．∵ ∠ AOD=30°，∴ ∠ A= （ 180°-30°） =75°．∵ ∠ A+∠ BCD=180°，2∴ ∠ BCD=180°-75°=105°．4、巩固练习1.如图，∠ A=50°，∠ AOC=60°， BD 是⊙ O 的直径，则∠ AEB 等于（ ）A.70° B.110° C.90° D.120°.2.如图，△ ABC 的顶点 A， B， C 都在⊙ O 上，∠ C=30°， AB=2，则⊙ O 的半径是多少？答案：1.B 2.连接 OA， OB.∵∠ C=30°，∴∠ AOB=60°.又 OA=OB ，∴△ AOB 是等边三角形.∴ OA=OB=AB=2，即半径为 2.五、归纳小结本节课所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？※布置作业※从教材习题 24.1 中选取．※教学反思※本节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念，在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求学生会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.124．1.4 第 1 课时 圆周角定理及其推论01 教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．02 预习反馈阅读教材 P85～87，完成下列问题．1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．已知，如图所示，OA，OB 是⊙O 的两条半径，点 C 在⊙O 上．若∠AOB＝90°，则∠ACB 的度数为 45°．4．圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5．如图所示，点 A，B，C 在圆周上，∠A＝65°，则∠D 的度数为 65°．26．如图，A，B，C 均在⊙O 上，且 AB 是⊙O 的直径，AC＝BC，则∠C＝90°，∠A＝45°．03 新课讲授知识点 1 圆周角定理例 1 (教材补充例题)如图所示，点 A， B， C 在⊙ O 上，连接 OA， OB，若∠ ABO＝25°，求∠ C 的度数．【解答】 ∵ OA＝ OB，∠ ABO＝25°，∴∠ BAO＝∠ ABO＝25°.∴∠ AOB＝130°.∴∠ C＝ ∠ AOB＝65°.12【跟踪训练 1】 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC 大小为 60°．知识点 2 圆周角定理的推论例 2 (教材 P87 例 4)如图，⊙ O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ ACB 的平分线交⊙ O 于 D，求 BC， AD， BD 的长．【思路点拨】 根据 AB 是直径的条件，得出△ ABC，△ ABD 都是直角三角形，由于Rt△ ABC 中 AB， AC 已知，根据勾股定理可求出 BC.进一步，因为 CD 平分∠ ACB，根据圆周角定理和弧、弦、圆心角之间的关系，可知 AD＝ BD，这样，在 Rt△ ABD 中可求出 AD 和 BD的长．3【解答】 连接 OD.∵ AB 是直径，∴∠ ACB＝∠ ADB＝90°.在 Rt△ ABC 中，BC＝ ＝ ＝8(cm)．AB2－ AC2 102－ 62∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ ACD＝∠ BCD.∴∠ AOD＝∠ BOD.∴ AD＝ BD.又在 Rt△ ABD 中， AD2＋ BD2＝ AB2，∴ AD＝ BD＝ AB＝ ×10＝5 (cm)．22 22 2例 3 (教材补充例题)如图，△ ABC 的顶点都在⊙ O 上， AD 是⊙ O 的直径，AD＝ ， ∠ B＝∠ DAC，则 AC＝1．2【归纳总结】 1.圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角” ．3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：(1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．【跟踪训练 2】 如图所示，点 A，B，C 在⊙O 上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．4【点拨】 连接 OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形．【跟踪训练 3】 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO＝32°，则∠B＝58°．04 巩固训练1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点 A 为优弧 上一点，则圆周角∠BAC 的度BC︵ 数为 50°．2．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以 OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦 AB 相交于点 D，若OD＝5 cm，则 BE＝10__ cm．【点拨】 利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB＝100°，C 为优弧 的中点，则∠CAB 的度数为AB︵ 65°．4．如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.5证明：∵∠AOB 是劣弧 所对的圆心角，∠ACB 是劣弧 所对的圆周角，AB︵ AB︵ ∴∠AOB＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC.∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.【点拨】 看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．05 课堂小结圆周角的定义、定理及推论．1第 2 课时 圆内接四边形01 教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．02 预习反馈阅读教材 P87～88，完成下列问题．1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.3．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠A＝50°，∠BCD＝130°．03 新课讲授例 (24.1.4 第 2 课时习题变式)如图所示，已知 AB 是⊙ O 的直径，∠ BAC＝32°， D2是 的中点，那么∠ DAC 的度数是多少？AC︵ 【解答】 连接 BC.∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB＝90°.又∵∠ BAC＝32°，∴∠ B＝90°－32°＝58°.∴∠ D＝180°－∠ B＝122°(圆内接四边形的对角互补)．又∵ D 是 的中点，AC︵ ∴∠ DAC＝∠ DCA＝ (180°－∠ D)＝29°.12【跟踪训练 1】 已知圆内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠D 的度数为 90°．【跟踪训练 2】 (24.1.4 第 2 课时习题变式)如图，在⊙ O 的内接四边形 ABCD 中，点E 在 DC 的延长线上．若∠ A＝50°，则∠ BCE＝50°．04 巩固训练1．(24.1.4 第 2 课时习题变式)如图，⊙ O 的内接四边形 ABCD 中，∠ A＝120°，则∠ BOD 等于 120°.2．如图所示，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠A＝56°，∠E＝32°，则∠F＝36°．33．如图，在⊙O 中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A 的度数．解：∵在△BCD 中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.∴∠A＝180°－∠C＝50°.05 课堂小结圆内接四边形的对角互补．124.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外： dr；点 P 在圆上： d=r；点 P 在圆内： dr归纳总结 2点与圆的三种位置关系及其数量关系：设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆内 dr.注：①“ ”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边的结论，读作“等价于”.②要明确“ d”表示的意义，是点 P 到圆心的距离.2.圆的确定探究（1）如图，作经过已知点 A 的圆，这样的圆你能作出多少个？（2）如图，作经过已 知点 A， B 的圆，这样的圆你能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？结论 （1）过已知点 A 画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布与平面的任意一点，半径是任意长的线段（仅过点 A，既不能确定圆心，也不能确定半径.)（2）过已知的两点 A， B 也可作无数个圆，这些圆的圆心分布在线段 AB 的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.思考 经过平面上不在同一条直线上的三点 A， B， C 能作多少个圆？如何确定这个圆的圆心？分析：三点 A， B， C 不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A， B， C 三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段 AB的垂直的平分线上，又要在线段 BC 的垂直的平分线上.解：1.分别连接 AB， BC， AC；2.分别作出线段 AB 的垂直平分线 l1和 l2，设它们的交点为 O，则OA=OB=OC；3.以点 O 为圆心， OA（或 OB， OC）为半径作圆，便可以作出经过A， B， C 的圆.归纳总结 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.讨论 如果 A， B， C 三点在同一条直线上，能画出经过这3三点的圆吗？为什么？解：如下图，如果同一直线 l 上的三点 A， B， C 能做一个圆，圆心为 P，则点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2上，即点 P 是直线 l1与直线 l2的交点，由此可得：过直线 l 外一点 P 作直线 l 的垂线有两条 l1， l2，这与“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴过同一直线上的三点不能作圆.3、掌握新知例 1 ⊙ O 的半径为 10cm，根据点 P 到圆心的距离：判断点 P 与⊙ O 的位置关系？并说明理由.（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm.解：由题意可知， r=10cm: (1)d=8cmr,点 P 在⊙ O 外.例 2 如图，在 A 地往北 90m 处的 B 处，有一栋民房，东 120m 的 C 处有一变电设施，在 BC 的中点 D 出有一古建筑.因施工需要必须在 A 处进行一次爆破，为使民房，变电设施古建筑都不遭破坏.问：爆破影响的半径应控制在什么范围之内？分析：根据勾股定理可以求出斜边的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 AD 的长，再确定半径的范围.解： AB=90m， AC=120m，∠ BAC=90°,由勾股定理得， BC=150m，又 D 是 BC 的中点，∴ AD= BC=75m.民房 B，变电设施 C，古建筑 D12到爆破中心的距离分别为： AB=90m， AC=120m， AD=75m.∴爆破影响的半径应控制在 75m 范围之内.4、巩固练习1.如图，地面上有三个洞口 A， B， C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到 A， B， C，三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在什么位置？2.如图在 Rt△ ABC 中，∠ C=900， BC=3㎝， AC=4㎝，以 B 为圆心.以 BC 为半径做⊙ B.问：点 A， C 及 AB， AC 的中点 D， E 与⊙ B 有怎样的位置关系？答案：1.解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ ABC 三边垂直平分线的交点处． 2.解：（ 1） ∵在△ ABC 中，∠ C=90°cmBC=3cm， AC=4cm，∴ AB= =5(cm)．2344∵点 E 是线段 AB 的中点，∴ BE= cm＜3cm，∴点 E 在圆内，点 B 在圆上，点 A 在圆外.52（2）∵ AB=5cm，∴ AE= cm.∵ AC=4cm，∴若 B， C， E 三点中至少有一点在圆内，则 52cm＜ r＜5cm.五、归纳小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？※布置作业※从教材习题 24.2 中选取．※教学反思※本节课通过学生操作，总结出点与圆的三种位置关系，其中，渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及内接三角形的定义.此外，还学习了用反证法证明命题的方法和步骤，这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生的动手能力.