1、微分方程的定解问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,n 阶微分方程,，若F满足一定基本条件,则其解族是联系n 个独立任意常数的函数族，,是平面上多参数的曲线族，即,反之,满足一定的光滑性条件则必存在一个,n 阶微分方程,以该函数族为自己的解族,（求解运算）,（微分运算）,？,n=1为例：,？,函数族,视为带参数C的隐函数，并设 y=y(x) 则得,等式两端求导得,消去参数C可得,之间的关系式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.4,已知平面上的单参数椭圆族,，求它所满足的微分方程。,解：,把,视为y(x) 的隐函数，两边求导得,与原等式联立消去C得,即为所求微分方程。,例,已
2、知平面上的单参数椭圆族,，求它所满足的微分方程。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若函数族包含两个独立参数,等式两端求一阶、二阶导数后联立得,消去参数C1，C2可得,之间的关系式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分方程的定解问题,为了在微分方程的解族中找出所需特解，必须在微分方程之外另加条件，这种条件就称为定解条件。微分方程加上定解条件所提出的求解问题，称为微分方程的定解问题,定解条件个数与微分方程阶数或通解中独立任意常数的个数对应。,例1.5 求下列定解问题的解,解 易知方程的通解为,把定解条件代入后得,于是定解问题的解为,机动 目录 上页 下页
3、 返回 结束,两种重要定解问题,1. 微分方程的定解条件是在某一定点x0上给出未知函数及其一阶、二阶直至n-1 阶导数的值，这种定解问题称为初值问题，或称Cauchy问题。,2. 微分方程的定解条件是在闭区间a,b的端点上给出未知函数及其各 阶导数的某种组合运算值，这种定解问题称为边值问题。,例1.6 求解下列边值问题,解 易知方程的通解为,于是,代入条件后得C1=2，C2=1，于是解为,定解问题的适定性,微分方程的定解问题，若存在解而且唯一，则称定解问题是适定的，否则为不适定的。,加上初值条件的微分方程定解问题是适定的，其它情况不一定。比如，下面的定解问题是不适定的。,例，求解下面的定解问题,
