1、高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）1 （本小题满分 12 分）已知 x 满足不等式 ，2112(log)7l30x求 的最大值与最小值及相应 x 值2()logl4fx2.（14 分）已知定义域为 的函数 是奇函数R2()1xaf（1）求 值；a（2）判断并证明该函数在定义域 上的单调性；（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；t22()()0ftftkk3. （本小题满分 10 分）已知定义在区间 上的函数 为奇函数,且 .(1,)2()1axbf12()5f(1) 求实数 , 的值；ab(2) 用定义证明:函数 在区间 上是增函数；()fx(,)(3) 解关于
2、的不等式 .t10tft4. (14 分)定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a,b ,均有 f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当 x1 时,f(x) R1，所以 f(k)x所以 kxx,f(kx)f(x)对 xR+恒成立，所以f(x)为 R+上的单调减函数法二：设 2121,0,xx且 令 1,1k则 )()()()() 2kfxffkffff 有题知，f(k)0 0121x即所以 f(x)在（0，+ ）上为减函数法三：设 2121,xx且)()()() 1212121 xfxffxff 0)(1122xf)(0)(2121 ffff 即所以 f(x)在（0，+ ）上为减函数5 解
3、：f(x)=(x-b) 2-b2+ 4b的对称轴为直线 xb（ b1） ，(I) 当 1b4 时，g(b)f(b)-b 2+ 4; 当 b4 时，g(b)f(4)16- 314b，综上所述，f(x)的最小值 g(b)(1) 36 4b 。(II) 当 1b4 时，g(b)-b 2+ -(b- 8)2+ ， 当 b1 时，Mg(1)- 34；当 b4 时，g(b)16- 314b是减函数，g(b)16- 344-15 - ，综上所述，g(b)的最大值 M= - 。6. 解：（1）设点 Q的坐标为 (,)xy，则 2,xay，即 2,xay。点 (,)Pxy在函数 log3a图象上 log2)a，
4、即 1layx 1()logax(2)由题意 ,3x，则 (2320， 10(2)a.又 0，且 1， 0122|()|log()log|l(4)|aaaf xx fx 2l(43)1 01a 2a，则 2)rxa在 ,3a上为增函数，函数 2()log(43aux在 ,3上为减函数，从而 max)l()a。 min()log(96)auxlog(96101,4a又 则 957012（3）由（1）知 )lx，而把 ()ygx的图象向左平移 a个单位得到 ()yhx的图象，则1()loglaahxx， 1log2logl()2()() 2aaaxxxhxhhxF x即 a，又 0,且 ， ()F
5、的对称轴为 21，又在 ,4的最大值为54，令 21a24026()26aa舍 去 或 ；此时 ()Fx在 1,4上递减， ()Fx的最大值为 551()181026,)4F a，此时无解；令 2214802aaa，又 0,a且 ， ；此时 ()Fx在,上递增， ()Fx的最大值为 14255(4)1684F，又 102a，无解；令22 226014814aaa或 且 0,1a且 16且，此时 ()Fx的最大值为22224()()155() 4aFa22()54104aa，解得： ，又 61且， ； 综上， 的值为 25.7 解：（1）当 2a时，函数 ()fx有意义，则 124012403x
6、xxx，令 2xt不等式化为： 10tt，转化为 x，此时函数 ()f的定义域为(,0)（2）当 1x时， ()fx有意义，则4121240()34xx xaa，令 1()42xy在(,)上单调递增， 6y，则有 6；（3）当 01,时， 222(1)2412()loglglg334xxx aaafx ，设 t， ， t且 0，则224232(14)(1)()()(1)xxatttAA23 2210ttatattt 2()fx8 解: （） 23ff， 21012,kk,0kZ或 1k；当 0时， 2fx，当 时， 2fx；或 时， 2fx（） 21gmxmx， 0m，x开口方向向下，对称轴
7、1又 01,在区间，上的最大值为， 122561mg562m9. （）函数 ()yfx的图象经过 (3,4)P 3-1a，即 4. 又 0a，所以 2. （）当 a时， 1lg2.0f; 当 0时， 1(lg)(.)ff 因为， 3()(f， 3.1(.)f 当 1时， xy在 ,)上为增函数， 3.， 3.1a. 即 (lg(2.)0ff.当 0时， x在 (,)上为减函数， .1， 3.1. 即 1(l)(.)ff. （）由 (lg)0fa知， lg0a.所以， 12（或 o）. ll. 2l， ga 或 ， 所以， 10a 或 .10(1)因为 ()yfx为偶函数，所以 ,)fR，即 9
8、9log(1)log(1xxkk对于 xR恒成立.于是 9912)logl()xx xxk 恒成立,而 x 不恒为零，所以 12k. -4(2)由题意知方程 9log(1)xb即方程 9log(1)xb无解.令 ()lxg，则函数 ()yg的图象与直线 y无交点.因为 9911olxx任取 1x、 2R，且 12，则 120，从而 129x.于是 1299loglogxx，即 1()g，所以 ()在 ,上是单调减函数.因为 19x，所以 9()log10xx.所以 b 的取值范围是 ,. - 6 (3)由题意知方程 1433xxa有且只有一个实数根令 30xt，则关于 t 的方程 2()10t
9、at(记为(*)有且只有一个正根.若 a=1，则 4t，不合, 舍去；若 1，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由 30或3；但 3142at，不合，舍去；而 132at；方程(*)的两根异号 10.a综上所述，实数 的取值范围是 3(1,) - 611. (1)解 ,AB两点纵坐标相同故可令 )75fxx即3(5)7fxax将 (2,8C代入上式可得 a () x4 分2由 2fx可知对称轴 11） 当 t即 0t时 ()yfx在区间 ,t上为减函数2max()()8fft22min()1()89fttt62） 当 t时， yx在区间 ,1上为增函数 22max()(1)(1)89fft
10、ttt 2min()()8fxftt 8 分3）当 10t即 t时 2max()()8ffttmin()()9fxf 10 分4）当 01t即 2t时 2max()()(1)89ff tin912 分12.(本小题满分 14 分)已知函数 xaf2,且 )(f为奇函数()求 a 的值;()定义:若函数 0),(,)(xg,则函数 )(xg在 ,0a上是减函数,在 ),a是增函数.设 21fxF,求函数 F在 1上的值域解：（）函数 f（x）的定义域为 R， )(f为奇函数，f（0）=0，1+a=0，a=-1 3 分() 2)1()xfxF= 2121xxx 3 分设 2t，则当 ,时， ,t，
11、 3 分 1yt当 ,2时，函数 12yt单调递减；当 2,t时，函数 yt单调递增； 2 分当 时，y 的最小值为 2当 21t时， 47，当 t时， 7y，y 的最大值为 417 2 分函数 )(xF在 1,上的值域是 ,2。 1 分13.(本小题满分 16 分)设 0a,b,已知函数 ()1axbf.()当 时,讨论函数 的单调性(直接写结论);()当 0x时,(i)证明 2)()aff;(ii)若 bxfba(2,求 x的取值范围.解：（）由 1)(xf，得当 时， f分别在 ,1,上是增函数； 2 分当 ba时， )(分别在 上是减函数； 2 分（） （i） 2)1(f， ababf
12、abf 1)(,2)( 2 分 2)()(fbaf， 2)()1(ff 1 分（ii） axf2由（i）可知， )()(bfbf， 2 分当 a时， ax，H=G=a， x的取值范围为 0x. 2 分当 b时， 1，由（）可知， )(xf在 ,0上是增函数， x的取值范围为 abx 2 分当 ba时， 1， ab由（）可知， )(xf在 ,0上是减函数， x的取值范围为 abx 2 分综上，当 ba时， 的取值范围为 ；当 ba时， 的取值范围为 ；当 b时，x的取值范围为 ax。 1 分14.(本小题满分 16 分)设函数 )1(lg(2xaxf的定义域区间为 I,其中 0a.()求 I的长
13、度 )L(注:区间 ,的长度定义为 );()判断函数 的单调性,并用单调性定义证明;()给定常数 (01)k,当 ka1,时,求区间 I长度 )(aL的最小值.解：（）由 2x，得 20x， 2 分)1,(2aI 21(aL。 1 分（） L在 0上是增函数，在 ,上是减函数， 1 分设 21，则 )1(1)( 22221 aa 2 分 021a， 0,2121a， )(2L 2 分 )(L在 ,上是增函数 1 分同理可证， 在 ,上是减函数 1 分（） (01)k， 1,k 1 分由（）可知， aL在 上是增函数，在 ,上是减函数)(的最小值为 )(,k中较小者； 2 分 0)1()(12)(1)(2)1( 232 kkkk 2 分 )aL的最小值为 2k 1 分
