1、高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 2 1 1 cos 1 2 sin u du dx x tg u u u x u u x + = = + = + = ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 ) (log ln ) ( csc ) (csc sec ) (sec csc ) ( sec ) ( 2 2 = = = = = = 2 2 2 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (arccos 1 1 ) (arcsin x arcctgx x arctgx
2、 x x x x + = + = = = + + = + = + = + = + = + = + = = + = = C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x ) ln( ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C
3、 ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx + = + + = + + = + = + + = + + = + = + = arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + = + + + + + = + = = = C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2
4、 ) ln( 2 2 1 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+
5、sin cos tg ctg 和差角公式： 和差化积公式： 2 sin 2 sin 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 sin sin + = + = + + = + = + ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg = = = = 1 ) ( 1 ) ( sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( m m m x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e c
6、hx e e shx x x x x x x x x + = + = + + = + = = + = = 1 1 ln 2 1 ) 1 ln( 1 ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 . 59045 7182818284 . 2 ) 1 1 ( lim 1 sin lim 0 = = + = e x x x x x x倍角公式： 半角公式： cos 1 sin sin cos 1 cos 1 cos 1 2 cos 1 sin sin cos 1 cos 1 cos 1 2 2 cos 1 2 cos 2 cos 1 2 sin = + = + = + = =
7、 + = + = = ctg tg 正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = 余弦定理： C ab b a c cos 2 2 2 2 + = 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x = = 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ! ) 1 ( ) 1 ( ! 2 ) 1 ( ) ( n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v
8、u C uv + + + + + + + = = = L L L中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。 时，柯西中值定理就是 当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f a F b F a f b f a b f a f b f = = = ) ( F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 曲率： . 1 ; 0 . ) 1 ( lim M s M M : . , 1 3 2 0 2 a K a K y y ds d s K M M s K tg y dx y ds s = = + = = = = = + = 的圆： 半径为 直线： 点的曲
9、率： 弧长。 ： 化量； 点，切线斜率的倾角变 点到 从 平均曲率： 其中 弧微分公式： 2 3 3 3 3 1 3 3 cos 3 cos 4 3 cos sin 4 sin 3 3 sin tg tg tg tg = = = 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 sin cos sin 2 1 1 cos 2 2 cos cos sin 2 2 sin tg tg tg ctg ctg ctg = = = = = =定积分的近似计算： + + + + + + + + + + + + + + + + b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n
10、 a b x f y y y y n a b x f y y y n a b x f ) ( 4 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( 1 3 1 2 4 2 0 1 1 0 1 1 0 L L L L 抛物线法： 梯形法： 矩形法：定积分应用相关公式： = = = = b a b a dt t f a b dx x f a b y k r m m k F A p F s F W ) ( 1 ) ( 1 , 2 2 2 1 均方根： 函数的平均值： 为引力系数 引力： 水压力： 功：空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积 为锐角时， 向量的混合积：
11、 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。 与 是 向量在轴上的投影： 点的距离： 空间 , cos ) ( . . sin , cos , , cos Pr Pr ) ( Pr , cos Pr ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB
12、 AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v = = = = = = = + + + + + + = + + = = + = + = + + = =（马鞍面） 双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号） （ 、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程： 其中 空间直线的方程： 面的距离： 平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中
13、 、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 ; , , , 1 3 0 2 ) , , ( , , , 0 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = + = + = + = + + + = + = + = = = = = + + + + + = = + + = + + + = = + + c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x
14、 p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A v v多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v
15、z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz = = = = = = + = + = = = + = = + = = + = + + = + = ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式：时， ， 当： 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算：全微分： 0 ) , , ( ) ( ) ( 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ), , ( ) ( ), ( ) , ( ) , ( 2 2) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 1
16、 ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 0 ) , , , ( 0 ) , , , ( y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v G u G v F u F v u G F J v u y x G v u y x F v u v u = = = = = = = = =隐函数方程组：微分法在几何上的应用： ) , , ( ) , , ( ) , , ( 3 0 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , ( 2 ) , , ( ), , , ( )
17、, , , ( 1 ) , , ( 0 ) , , ( , , , 0 ) , , ( 0 ) , , ( 0 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z
18、 y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y x y x x z x z z y z y = = = + + = = = = = = + + = = = = = 、过此点的法线方程： ： 、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则： 上一点 曲面 则切向量 若空间曲线方程为： 处的法平面方程： 在点 处的切线方程： 在点 空间曲线 v v 方向导数与
19、梯度： 上的投影。 在 是 单位向量。 方向上的 ，为 ，其中 ： 它与方向导数的关系是 的梯度： 在一点 函数 的转角。 轴到方向 为 其中 的方向导数为： 沿任一方向 在一点 函数 l y x f l f l j i e e y x f l f j y f i x f y x f y x p y x f z l x y f x f l f l y x p y x f z ) , ( grad sin cos ) , ( grad ) , ( grad ) , ( ) , ( sin cos ) , ( ) , ( + = = + = = + = = v v v v v v 多元函数的极值及
20、其求法： = = = = = =不确定 时 值 时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则：，令： 设 , 0 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 0 ) , ( , ) , ( , ) , ( 0 ) , ( ) , ( 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x重积分及其应用： + + = + + = + + = = = = = = = = + + = = = D z D y D x z y x D y D x
21、 D D y D x D D D a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M M y d y x d y x x M M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( , , ) 0 ( ), , 0 , 0 ( ) , ( , )
22、 , ( ) , ( ) , ( , ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) sin , cos ( ) , ( ， ， ，其中： 的引力： 轴上质点 平面）对 平面薄片（位于 轴 对于 轴 对于 平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心： 的面积 曲面柱面坐标和球面坐标： + = + = + = = = = = = = = = = = = = = = = = = dv y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r r
23、d dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z z r y r x z y x r ) ( ) ( ) ( 1 , 1 , 1 sin ) , , ( sin ) , , ( ) , , ( sin sin cos sin sin cos sin ) , sin , cos ( ) , , ( , ) , , ( ) , , ( , sin cos 2 2 2 2 2 2 2 00 ) , ( 0 2 2 2 ， ， 转动惯量： ， 其中 重心： ， 球面坐标： 其中：柱面坐标：曲线积分： = = + = = = )
24、( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ), ( , ) ( ) ( ) , ( 2 2 t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L 特殊情况： 则： 的参数方程为： 上连续， 在 设 长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧。 ，通常设 的全微分，其中： 才是二元函数 时， 在 ： 二元函数的全微分求积 注意方向相反！ 减去对此奇点的积分， ，应 。注意奇点，如 ，且 内具有一阶连续偏导数 在 ， 、 是一个单连通区域； 、 无关的条件： 平面上曲线积分与路径 的面积： 时，得到 ，即： 当 格林公式： 格林公式：
25、的方向角。 上积分起止点处切向量 分别为 和 ，其中 系： 两类曲线积分之间的关 ，则： 的参数方程为 设 标的曲线积分）： 第二类曲线积分（对坐 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 , ) ( ) ( ) cos cos ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 0 ) , ( ) , ( 0 0 = = + = + = = = = = + = + = + = + + = + = = y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qd
26、y Pdx y P x Q y P x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x DL DL DL LL L 曲面积分： + + = + + = = = + + + + = ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y
27、 x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx yz xy xy D D D D y x ) cos cos cos ( ), , ( , ) , , ( , ), , ( ) , , ( ) , ( , , ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( , , ) , , ( 2 2 系： 两类曲面积分之间的关 号。 ，取曲面
28、的右侧时取正 号； ，取曲面的前侧时取正 号； ，取曲面的上侧时取正 ，其中： 对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分：高斯公式： = + + = = + + = + + = + + = + + ds A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n v v v v v div ) cos cos cos ( . , 0 div , div ) cos cos cos ( ) ( 成： 因此，高斯公式又可写 ， 通量： 则为消失 的流体质量，若 即：单位体积内所产生 散度：
29、通量与散度： 高斯公式的物理意义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： = + + = = = = = + + = + + ds t A Rdz Qdy Pdx A R Q P z y x A y P x Q x R z P z Q y R R Q P z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R v v v v 的环流量： 沿有向闭曲线 向量场 旋度： ， ， 关的条件： 空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： k j i rot cos cos cos ) ( )
30、( ) ( 常数项级数： 是发散的 调和级数： 等差数列： 等比数列： n n n n q q q q q n n 1 3 1 2 1 1 2 ) 1 ( 3 2 1 1 1 1 1 2 + + + + + = + + + + = + + + + L L L级数审敛法： 散。 存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则 设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则 设： 别法）： 根植审敛法（柯西判 、正项级数的审敛法 n n n n n n n n n n s u u u s U U u + + + + = = + + + + n n
31、 n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u L L绝对收敛与条件收敛： + + + + + + + + + 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛； 发散，而 调和级数： 为条件收敛级数。 收敛，则称 发散，而 如果 收敛级数； 肯定收敛，且称为绝对 收敛，则 如果 为任意实数； ，其中 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 3 2 1 2 1 p n p n n n u u u u u u u u p n n n n L L L L幂级数： 0 0 1 0 ) 3
32、 ( lim ) 3 ( 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 0 3 2 = + = + = = = = = + + + + + + + + + + + + + R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则 是 ， ，其中 求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。 ，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使 在 数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 L L L L函数展开成幂级数： L L L L + + + +
33、+ = = = + = + + + + = + + n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 0 0 lim ) ( , ) ( )! 1 ( ) ( ) ( ! ) ( ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 0 1 0 ) 1 ( 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 时即为麦克劳林公式： 充要条件是： 可以展开成泰勒级数的 余项： 函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：
34、) ( )! 1 2 ( ) 1 ( ! 5 ! 3 sin ) 1 1 ( ! ) 1 ( ) 1 ( ! 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1 5 3 2 + + + + = + + + + + + = + x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n mL L L L L欧拉公式： = + = + = 2 sin 2 cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数： 。 上的积分 在 任意两个不同项的乘积 正交性： 。 ， ， ， 其中， 0 , cos , sin 2 cos
35、, 2 sin , cos , sin , 1 cos sin ) sin cos ( 2 ) sin( ) ( 0 0 1 0 1 0 = = = = + + = + + = = = L L nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n傅立叶级数： 是偶函数 ， 余弦级数： 是奇函数 ， 正弦级数： （相减） （相加）其中 ，周期 + = = = = = = = = = + + = + + + + = + + + = + + + = = = = = + + = = nx a a x
36、 f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n n n n n n n n cos 2 ) ( 2 , 1 , 0 cos ) ( 2 0 sin ) ( 3 , 2 , 1 n sin ) ( 2 0 12 4 1 3 1 2 1 1 6 4 1 3 1 2 1 1 24 6 1 4 1 2 1 8 5 1 3 1 1 ) 3 , 2 , 1 ( sin ) ( 1 ) 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 1 2 ) sin cos ( 2 ) ( 0 0
37、 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 L L L L L L L L 周期为 l 2 的周期函数的傅立叶级数： = = = = = + + = = l l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l l x n b l x n a a x f ) 3 , 2 , 1 ( sin ) ( 1 ) 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 1 2 ) sin cos ( 2 ) ( 1 0 L L其中 ，周期 微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ， 代替 分离变量，积分后将 ， ， ，则 设 的
38、函数，解法： ，即写成 程可以写成 齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。 得： 的形式，解法： 为 ：一阶微分方程可以化 可分离变量的微分方程或 一阶微分方程： u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y = = + + = = = = + = = = = + = ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) , ( ) ,
39、 ( ) , ( 一阶线性微分方程： ) 1 , 0 ( ) ( ) ( 2 ) ) ( ( 0 ) ( , 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( = + + = = = = + n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ， 、贝努力方程： 时，为非齐次方程， 当 为齐次方程， 时 当 、一阶线性微分方程：全微分方程： 通解。 应该是该全微分方程的 ， ，其中： 分方程，即： 中左端是某函数的全微 如果 C y x u y x Q y u y x
40、 P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P = = = = + = = + ) , ( ) , ( ) , ( 0 ) , ( ) , ( ) , ( 0 ) , ( ) , (二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 = + + x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 1 2 2 , ) ( 2 , , (*) 0 ) ( 1 , 0 (*) r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式
41、的两个根 、求出 的系数； 式中 的系数及常数项恰好是 ， ，其中 、写出特征方程： 求解步骤： 为常数； ，其中 = + + = + + 式的通解： 出 的不同情况，按下表写 、根据 (*) , 3 2 1 r r 的形式 ， 2 1 r r (*)式的通解 两个不相等实根 ) 0 4 ( 2 q p x r x r e c e c y 2 1 2 1 + = 两个相等实根 ) 0 4 ( 2 = q p x r e x c c y 1 ) ( 2 1 + = 一对共轭复根 ) 0 4 ( 2 q p 2 4 2 2 2 1 p q p i r i r = = = + = ， ，) sin
42、cos ( 2 1 x c x c e y x + = 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数； 型， 为常数 ， sin ) ( cos ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x + = = = + + 概率公式整理 1随机事件及其概率 吸收律： A AB A A A A = = = ) (A B A A A A A = = = ) () (AB A B A B A = = 反演律： B A B A = B A AB = I U n i i n i i A A 1 1 = = = U I n i i n i i A A 1 1 = = = 2概率的定义及其计算 ) ( 1 ) ( A P A P = 若 B A ) ( ) ( ) ( A P B P A B P = 对任意两个事件 A, B, 有 ) ( ) ( ) ( AB P B P A B P = 加法公式：对任意两个事件
