1、【金程考研】经济学金融考研网 http:/ 2013 年全国硕士 研究生入学统一 考试数学 二 试题 答案 一、 选择题:1 8 小题， 每小题4 分， 共32 分.下列 每题给出的四个选项 中 ， 只有一个选项符合 题目要求的，请将所 选项 前的字母填在 答题纸 指定 位置上. (1) 设 cos 1 sin ( ) xx x = ， 其中 () 2 x ， 则当 0 x 时， () x 是 ( ) (A) 比 x 高阶 的无 穷小 (B) 比 x 低阶 的无穷 小 (C) 与 x 同阶 但不 等价 的无 穷小 (D) 与 x 等价 的无穷 小 【答案 】(C) 【解析 】 cos 1 si
2、n ( ) xx x = ， 2 1 cos 1 2 xx 2 1 sin ( ) 2 xxx 1 sin ( ) 2 xx 又 s i n () () xx 1 ( ) 2 xx () x 与 x 同阶 但不 等价 的无 穷小. 所以 选（C）. (2) 设函 数 () y fx = 由 方程 cos( ) ln 1 xy y x + =确 定 ，则 2 lim ( ) 1 n nf n = ( ) （A）2 （B ）1 （C）-1 （D）-2 【答案 】 （A ） 【解析 】因为 01 xy = = 时， 即 (0) 1 f = . 0 2 ( ) (0) 2 lim ( ) 1 lim
3、2 2 (0) 2 2 0 x nn ff n nf f y n n = = = = 又 cos( ) ln 1 xy y x + = 两边对 x 求导 得： 1 sin( ) 1 0 xy y y y += ， 将 0, 1 xy = = ， 代入 上式 得 1 y = . 选（A ）. (3) 设函 数 sin ,0 () 2, 2 xx fx x = ， 0 ( ) () x F x f t dt = ，则 （ ） （A） x = 是 函数 () Fx 的跳跃 间断 点 （B） x = 是 函数 () Fx 的可去 间断 点 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经
4、济学金融考研网 http:/ （C） () Fx 在 x = 处连续 但不 可导 （D） () Fx 在 x= 处 可导 【答案 】 （C ） 【 解析】 因 x = 是 () fx 在 0, 2 唯一的第一类间断点，即 () fx 在 0, 2 可积，故 0 ( ) () x F x f t dt = 在 0, 2 连续. 因 x = 是 () fx 的第一 类间 断点 ，故 () Fx 在 x = 不 可导. 所以 选（C）. (4) 设 函数 1 1 1 ,1 ( 1) () 1 , ln xe x fx xe xx + （C ） 20 . 综上所 述 02 选（D ）. （5）设 ()
5、 y z f xy x = ，其中 函数 f 可 微，则 xz z yx y += ( ) (A) 2 () yf xy (B) 2 () yf xy (C) 2 () f xy x(D) 2 () f xy x 【答案 】 （A ） 【解析 】 2 22 = ( () ) = - () + () = - () + () z y yy yy f xy f xy f xy y f xy f xy xx x x x x 1 - () + () xz f xy yf xy yx x = 11 () ()= () + () zy f xy f xy x f xy yf xy yx x x =+ + =
6、2 ( ) xz z yf xy yx y 选（A ）. 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ （6） 设 k D 是圆域 22 ( , )| 1 D xy x y = + 在第 k 象 限的部 分 ，记 ( ) ( 2, 2,3, 4) k k D I y x dxdy k = 则 （ ） (A) 1 0 I (B) 2 0 I (C) 3 0 I (D) 4 0 I 【答案 】 （B ） 【解析 】 第二象 限中 0 y ， 0 x 即 0 yx 2 0 I 选（B ）. (7) 设A，B ，C 均为n 阶 矩阵， 若 AB C = ，
7、且 B 可逆， 则 （ ） (A) 矩阵C 的行向 量组 与矩 阵 A 的行 向量 等价 (B) 矩阵C 的列向量 组与 矩阵 A 的列 向量 等价 (C) 矩阵C 的行向 量组 与矩 阵 B 的行 向量 等价 (D) 矩阵C 的列向量 组与 矩阵 B 的列 向量 等价 【答案 】 （B ） 【解析 】将 AC 、 按 列分 块， 11 ( ,., ), ( ,., ) nn AC = = 由于 AB C = ，故 11 1 11 1 . ( ,., ) . . . ( ,., ) . n nn n nn bb bb = 即 1 11 1 1 1 1 . ,., . n n n n nn n
8、bb bb = + = + 即C 的列向 量组 可由 A 的列 向 量线性 表示 由于 B 可逆 ，故 1 A CB = ， A 的列向 量 组可由C 的 列向 量组 线性 表示 选（B ）. (8) 矩阵 11 11 a aba a 与 200 00 000 b 相似的 充 分必要 条 件为 （ ） (A) 0, 2 ab = = (B) 0, ab = 为任意 实数 (C) 2, 0 ab = = (D) 0, ba = 为 任意 实数 【答案 】(B) 【解析 】令 11 11 a A aba a = ， 200 00 000 Bb = ， 因为 A 为实对 称矩 阵， B 为对 角阵，
9、 则 A 与 B 相似 的充 要条 件是 A 的特征 值分 别为 2, , 0 b 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ A 的特征 方程 11 1 0 11 1 aa A E a ba ba aa = = 1 0 01 a ba a = = ( ) ( ) 2 22 ba ， 因为 2 = 是 A 的 特征 值， 所以 20 AE = 所以 2 20 a = ，即 0 a = . 当 0 a = 时， ( ) ( ) 2 AE b = ， A 的特征 值分 别为 2, , 0 b 所以b 为任 意常数 即可. 故选(B). 文章资 料由
10、经济 学金 融考 研网 整理发 布 。 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分. 请 将答案写在 答题纸 指定 位置 上. (9) 1 0 ln(1 ) lim(2 ) x x x x + = _. 【答案 】 1 2 e . 【解析 】 2 0 0 ln(1 ) lim 1 ln(1 ) 1 lim (1 ) 0 ln(1 ) lim(2 ) x x xx x x x xx x x ee x + + + = 0 0 1 1 lim 1 1 2 (1 ) lim 2 2 x x x x xx x ee e + + = = = . (10)设 函数 1 () 1 x t f x
11、e dt = ，则 () y fx = 的反函 数 x = 1 () fy 在 0 y = 处的导 数 0 y dx dy = =_. 【答案 】 1 1 1 e 【解析 】 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ 1 1 ( 1) 0, ( ) 1 , ( 1) 1 11 . ( 1) 1 0 x f fx e f e dx dy f e y = = = = = =(11) 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r = cos3 ( ) 66 ，则 L 所围平面图形的面积 是 . 【答案 】 12 【解析 】 6 2 66 0 6 0 1 1 c
12、os 6 1 sin 6 cos 3 2 2 2 6 12 Sd d + = = =+= . (12) 曲线 2 arctan ln 1 xt yt = = + 上对 应于t =1 的点 处 的法 线方 程为_. 【答案 】 ln 2 4 yx = + 【解析 】 ( ) 1 11 2 2 . 1 .2 2 2 1 1 2 1 tt dy dy dt t t dx dx dt t + / + = = = / + , 1 1 1 dy t t dx t = = = = . 当 1 t = 时 0 arctan1 4 x = = ， 0 ln 1 1 ln 2 y = += ， 所以法 线方 程
13、00 1( ) yy xx = ，即 ln 2 4 yx = + . (13) 已知 32 1 xx y e xe = ， 2 2 xx y e xe = ， 2 3 x y xe = 是某二 阶 常系数 非齐 次线 性微 分方 程的 3 个 解， 则该 方程 满足 条件 0 0 x y = = ， 0 1 x y = = 的解为 y _. 【答案 】 32 xx x e e xe 【解析 】 33 12 13 , xx x yye e yye = = 故该方 程组 的通 解为 ( ) 3 32 12 xx x x y C e e C e xe = + . 由 (0) 0, (0) 1, yy
14、 = = 得 12 1, 0 CC = = . 从 而满足 初始 条件 的解为 32 xx x y e e xe = .金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ (14) 设 () ij Aa = 是3阶非 零矩 阵， A 为 A 的 行列 式， ij A 为 ij a 的代 数余 子式， 若 0( , 1, 2, 3) ij ij a A ij += = ，则 A =_. 【答案 】-1 【解析 】由于 0, ij ij aA += 故 , ( , 1, 2, 3) ij ij A a ij = 222 11 11 12 12 13 13 1
15、1 12 13 () A aA aA aA a a a = + + = + 222 21 21 22 22 23 23 21 22 23 () A aA aA aA a a a = + + = + 222 31 31 32 32 33 33 31 32 33 () A aA aA aA a a a = + + = + 11 21 31 * 12 22 32 13 23 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 * = = T AAA AAAA AAA aaa Aaa a aaa AA A = = 而 22 * = = =-1 A AA A A ， ， 或 =0 A ；又 0
16、A ，否则 由 得 =0 A 与 题设 矛盾. 三、 解答题 ：1523 小题 ， 共 94 分.请将解答写在 答题纸 指定位置上.解答 应 写出文字说明、 证 明过程或演算步骤. (15)( 本题 满分10 分) 当 0 x 时， x x x 3 cos 2 cos cos - 1 与 n ax 为等价 无穷 小. 求 n 与 a 的值. 【答案】 2 n = ， 7 a = 【解析 】 00 cos 6 cos 4 cos 2 1 1 1 cos cos 2 cos3 4 lim lim nn xx xxx xxx ax ax + = 1 00 3 cos 6 cos 4 cos 2 6s
17、in 6 4sin 4 2sin 2 lim lim 44 nn xx xxx x x x ax a n x + = = 2 0 36cos 6 16cos 4 4cos 2 lim 4 ( 1) n x x xx a nn x + = 20 n = ，即 2 n = 时，上 式极 限存 在. 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ y=3x O y x x=3y x+y=8 2 6 6 2 (2 ，6) (6 ，2) 当 2 n = 时 ，由 题意 36 16 4 1 4 21 a + = 7 a = 2, 7 na = =. (16)(本
18、题 满分10 分) 设 D 是由 曲线 3 1 x y = ，直 线 ) 0 ( = a a x 及 x 轴所 围成的 平面 图形 ， y x V V , 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转 一周 所得 旋转 体的 体积， 若 x y V V 10 = ，求 a 的值. 【解析 】由旋 转体 积公 式得 ： 5 3 15 2 33 0 0 33 () 55 a a x V x dx x a = = = ， 1 77 3 33 0 0 36 2 () 2 77 a a y V x x dx x a = = = 由已知 条件 知 75 33 63 =10 =10 75 yx VV a a ,故
19、, 所以 =7 7 a . (17)(本题 满分10 分) 设平面 区域 D 由 直线 x y y x 3 , 3 = = 及 8 = + y x 围成. 计算 dxdy x D 2 . 【解析 】 由 36 82 xy x xy y = = += = ， 32 86 yx x xy y = = += = 故 23 68 2 22 02 33 4 34 00 2 8 1 32 416 128 . 3 33 3 3 xx xx D aa x dxdy dx x dy dx x dy x xx = + = + =+= (18)(本题 满分10 分) 金程考研 http:/www.51dx.org
20、【金程考研】经济学金融考研网 http:/ 设奇函 数 ) (x f 在 1 1 - ， 上 具有 2 阶导 数，且 1 ) 1 ( = f .证明 ： （） 存在 ） ， （ 1 0 .使得 ; 1 ) ( = f () 存在 (0,1) 使得 () () 1 ff += . 【解析 】 （I）由 于 () fx 在 1,1 上 为 奇函 数，故 ( ) () f x fx = ，则 (0) 0 f = 令 () () Fx f x x = ，则 () Fx 在0,1 上连续 ，在(0,1) 内可 导，且 (1) (1) 1 0 Ff = = (0) (0) 0 0 Ff = = ，由罗 尔
21、定 理， 存在 (0,1) ， 使得 ( ) 0, F = 即 ( ) 1. f = （II）由 于 () fx 在 1,1 上为奇 函数 ，则 () fx 在 1,1 上 为偶 函数 ，所 以由 （I ） ( ) () 1 ff = = . 令 () () 1 x Gx e f x = ，则 () Gx 在 1,1 上连续 ，在 ( ) 1,1 内可 导，且 () ( ) 0 GG = ，由罗 尔定 理存 在 ( , ) (0,1) ，使得 () 0 G = 即 () () 1 ff += . (19)(本题 满分10 分) 求曲线 ） （ 0 , 0 1 3 3 = + y x y xy
22、x 上的 点到 坐标 原点 的最长 距离 与最 短距 离. 【解析 】设 22 d xy = + 建立拉 格朗 日函 数 22 3 3 ( , , ) ( ) ( 1) L x y x y x xy y =+ +令 2 2 33 2 (3 ) 0 2 (3 ) 0 1 0 L x xy x L y yx y L x xy y =+ = =+ = = + = （i） 若 0 = ，得 0 xy = = 不合 题意. （ii） 若 0 ，得 2 30 yx = 或 2 30 xy = ，均得 0 xy = = 不合 题意. 若 0 ，得 2 3 yx 或 2 3 xy ，由 得 ( )( 3 )
23、0 x y x y xy + = 30 x y xy + ， xy = 代入 得 32 2 10 xx = ，即 2 ( 1)(2 1) 0 x xx += 得 1 xy = = ，故 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ 距离为 2 . 又 0, 1, 1 x yd = = = ； 0, 1, 1 y xd = = = 所以最 长距 离为 2 ，最 短距 离为 1. (20)(本题 满分11 分) 设函数 x x x f 1 ln ) ( + = （） 求 ) (x f 的最小 值; () 设 数列 n x 满足 . 1 1 ln 1=
24、令 ( ) 0, 1 fx x = = 是唯 一驻 点， 且当0 1, ( ) 0 x fx 所以 1 x = 是 () fx 的 极小 值点 ，故 (1) 1 f = 是最小值. （II）由 （I） 知 1 ln 1 n n x x + ，又由已知 1 1 ln 1 n n x x + + ，即 1 nn xx + ，所以 n x 单调 递增. 又由 1 1 ln 1 n n x x + + ，可得ln 1, 0 nn x xe ， 所以 n x 有上界 由单调 有界 定理 ，lim n n x 存在， 设为 A. 对于 1 1 ln 1 n n x x + + 两边取 极限 得 1 ln
25、1 A A + ， 又 1 ln 1 A A + ， 所以 1 ln 1 A A += ，又由 （I ）可知 1 A = ，即lim 1 n n x = . (21) (本 题满分 11 分) 设曲线 L 的方 程为 x x y ln 2 1 4 1 2 = ) 1 e x （ . ()求 L 的弧 长； ()设 D 是由 曲线 L ，直 线 1 = x ， e x = 及 x 轴所 围成 平面 图形 ，求 D 的形心 的横 坐标. 【解析 】 () 设弧长 为 s ，由弧 长的 计算 公式 ，得 2 1 1() e s y dx = + 2 1 11 1( ) 22 e x dx x =+
26、金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ 22 1 2 11 1 1 ( ) ( ln ) 1 22 4 2 1 . 4 e e x dx x x x e =+=+ + = （II ）由形心 的计 算公 式， 得 2 11 1 ln 2 42 1 00 22 11 11 ( ln ) 42 11 11 ( ln ) ( ln ) 42 42 e xx D ee D xdxdy x x x dx dx xdy x dxdy x x dx x x dx = = = 4 22 42 3 3 1 11 1 1 () 3( 2 3) 16 16 4 2
27、2 , 1 11 4( 7) 12 12 2 e ee ee e e + = 其中 D 为 1, , x x ex = = 轴 以及 所围 成的 图形. (22)(本题 满分11 分) 设 = 0 1 1 a A ， = b B 1 1 0 ，当 b a, 为何 值时， 存在 矩阵C ， 使得 B CA AC = ， 并 求所 有 矩阵C. 【解析 】设 12 34 xx C xx = ，由于 AC CA B = ，故 1 10 a 12 34 xx xx 12 34 xx xx 1 10 a = 01 1 b ， 即 12 1 1 32 4 34 3 12 x x ax x ax x ax
28、x x ax xx + + = + 01 1 b . 23 12 4 134 23 0 1 1 x ax ax x ax xxx x ax b + = += = = (I) 由于矩 阵C 存在， 故方 程组(I)有解.对(I)的增 广矩 阵进 行 初等 行变 换： 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ 0 1 0 0 10 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 1 1 1 01 0 1 0 1 0 00 0 0 a aa a aa ab b + 10 1 1 1 01 0 0 00 0 0 1 00 0 0 a a b + 方程组
29、有解 ，故 10 a+= ， 0 b = ，即 1, 0 ab = = . 当 1, 0 ab = = 时， 增广 矩阵 变为 10 1 1 1 01 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 34 , xx 为自由 变量 ，令 34 1, 0 xx = = ， 代为 相应 的齐次 方程 组， 得 21 1, 1 xx = = . 令 34 0, 1 xx = = ，代 为相 应齐 次方 程组 ，得 21 0, 1 xx = = . 故 ( ) 1 1, 1,1, 0 T = ， ( ) 2 1, 0, 0,1 T = ， 令 34 0, 0 xx = = ， 得特 解， ( ) 1 ,
30、0,0,0 T = ， 方程 组 的通 解为 1 12 2 12 1 1 2 + + =( + +1,- , , ) T x k k k k kkk = ， 所以 12 1 12 1 kk k C kk + = ，其 中 12 , kk 为任意 常 数. (23)(本题 满分11 分) 设二次 型 2 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 3 2 1 ) ( ) ( 2 ) , , ( x b x b x b x a x a x a x x x f + + + + + = .记 = = 3 2 1 3 2 1 , b b b a a a b . ()证明 二次 型 f 对应 的矩
31、 阵为 T T bb + 2 ； ()若 b ， 正 交且 均为 单位 向量.证明 f 在正交 变换 下的 标 准型为 2 2 2 1 2 y y + . 【解析 】证明 ：(I) 22 1 2 3 11 2 2 33 11 2 2 33 ( , , ) 2( ) ( ) f x x x ax a x ax bx bx bx =+ 1 123 2 3 2( , , ) a xxx a a = 1 123 2 3 (, , ) x aaa x x 金程考研 http:/www.51dx.org 【金程考研】经济学金融考研网 http:/ + 1 123 2 3 (, , ) b xxx b b
32、1 123 2 3 (, , ) x bbb x x = ( ) 1 123 2 3 ( , , )2 TT x xxx x x b b + T x Ax = ， 其中 2 TT A b b = + . 由于 (2 ) 2 , T TT T TT AA b b b b =+=+= 所以二 次型 f 对应 的矩 阵为 2 TT b b + . (II)由于 2 TT A b b = + ， 与 b 正交 ， 故 0 T b = ， ， b 为单位 向量 ， 故 1 T = = ， 故 1 T = ， 同样 1 T bb = . A = (2 ) TT b b + = 22 TT b b += ， 由于 0 ， 故 A 有特征 值 1 2 = . A b = (2 ) TT b b b + b = ，由于 0 b ，故 A 有特 征值 2 1 = . () rA = (2 ) TT r b b + (2 ) ( ) TT rr b b + = ( )( ) TT rr b b + 11 2 3 +=. 所以 0 A = ，故 3 0 = . 因此 f 在正交 变换 下的 标准 型为 22 12 2yy + . 金程考研 http:/www.51dx.org
