1、12005 年考研数学部分试题及解答一、填空题(每小题 4 分)（1）曲线 的斜渐近线方程为。填 。12xy 412xy（2）微分方程 满足 的解为。填 。xln 91)(y xy91ln3（3）设函数 ，单位向量 ，8261),(zzyxu 1,3ne则 。填 。)3,21(n3（4）设 ，则 。填 。xsixdydx（5）曲线 的斜渐近线方程为。填 。y23)1( 23y（6） 。填 。1022)(xd4（7）当 时， 与 是等价无穷小，x(kxxcosarsin1)(则 。填 。k43（8）极限 。填 2。12sinlmxx（9）微分方程 满足初始条件 的特解为。填 。0y)1(y 2x
2、y（10）设二元函数 ，则 。ln(xez )0,1(dz填 。dyex)2(（11）微分方程 满足初始条件 的特解为。填 。0 2)1(y 2xy二、选择题（每小题 4 分）（1）设函数 ，则 在 内（ ） 。nxxf31lim)()(xf),（A）处处可导。 （B）恰有一个不可导点。（C）恰由两个不可导点。 （D ）至少有三个不可导点。解：选（C） 。（2）设 是连续函数 的一个原函数， “ ”表示“ 的充分必要条件是 ”)(xF)(xf NMN，则必有（ ） 。（A） 是偶函数 是奇函数)()(f2（B） 是奇函数 是偶函数)(xF)(xf（C） 是周期函数 是周期函数（D） 是单调函数
3、 是单调函数)(x)(xf解：选（A） 。（3）设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具yxdtyu)()()(),( 有一阶导数，则必有（ ） 。（A） 。 （B ） 。 （C） 。 （D） 。22yx2yux2yux2xuy解：选（B） 。（4）设有三元方程 ，根据隐函数存在定理，存在点 的一个邻域，1lnxzeyx )1,0(在此邻域内该方程（ ） 。（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 ),(yxz（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和,),(z（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和),(xy,yx（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和,z),(z解：选（B） 。（5）设
4、函数 由参数方程 确定，则曲线 在 处的法线与)(xy)1ln(2tyx)(xy3轴交点的横坐标是（ ） 。x（A） （B） （C） （D）32ln8132l8132l82ln8解：选（A） 。（6）设区域 ， 为 上的正值连续函数， ，0,4),(2yxyxD)(xf ab为常数，则 （ ） 。dffba)()(（A） （B ） （C） （D）b2a)(ba2ba解：选（D） 。（7）设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具yxdtyxu)()()(),( 3有一阶导数，则必有（ ） 。（A） （B） （C） （D）22yux2yux2yux2xuy解：选（B） 。（8）设函数 ，则（ ） 。
5、1)(xef（A） ， 都是 的第一类间断点0)(f（B） ， 都是 的第二类间断点xx（C） 是 的第一类间断点， 是 的第二类间断点0)(f 1x)(f（D） 是 的第二类间断点， 是 的第一类间断点x解：选（D） 。（9）当 取下列哪个值时，函数 恰有两个不同零点。 （ ）a axxf 1292)(3（A）2 （B）4 （C）6 （D）8解：选（B） 。（10）设 ， ， ，DdyxI21cosDdyxI)cos(22 dyxI23)cos(其中 ，则（ ） 。1),（A） （B） （C） （D）123II32II312II213II解：选（A） 。（11）设 ， ，若 发散， 收敛，0
6、na,1na1)(nna则下列结论值正确的是（ ） 。（A） 收敛， 发散 （B） 收敛， 发散12na12na12na12na（C） 收敛 （D ） 收敛12)(nn 12)(nn解：选（D） 。（12）设 下列命题中正确的是（ ） 。xxfcosi)(（A） 是极大值， 是极小值 （B） 是极小值， 是极大值0)2(f )0(f)2(f4（C） 是极大值， 也是极大值 （D ） 是极小值， 也是极小值)0(f)2(f )0(f)2(f解：选（B） 。（13）以下四个命题中，正确的是（ ） 。（A）若 在 内连续，则 在 内有界。)(xf1,0)(xf1,0（B）若 在 内连续，则 在 内有
7、界。, ,（C）若 在 内有界，则 在 内有界。)(xf1,0)(xf1,0（D）若 在 内有界，则 在 内有界。,解：选（C） 。（14）下列结论中正确的是（ ） 。（A） 与 都收敛 （B） 与 都发散1)(xd10)(xd1)(xd10)(xd（C） 发散， 收敛 （D ） 收敛， 发散。1)(10)(1)(10)(解：选（D） 。三、解答题：（1）设 ， 表示不超过 的最0,2),(2yxyx， 12yx21yx大整数。计算二重积分 。Dd12解： 。12yx2421),(0DyxyxDd21Dd1211 Dxyd。2024sincorr01sincordr83（2）求幂级数 的收敛区
8、间与和函数 。12)1()(n nx)(xf解： 。)(212xn对 ， ，1)1()(nnt1)12()(nnt )12()nan5 ， 。1)2(limli nnnatR时，级数为 ，1t1)1()(n，nun 22)()(， 绝对收敛，于是 收敛域为12P1)()(nn1)12()(nnt，从而 收敛域为 。,t12)1(nnx,x收敛域为 。12)()(n nx设 ， ，1)()(12xSnn 22)1()() nnxx 时， ； ；212)xnn nnarct12)(1时，x n tdxS01arc)()() )1rt(02xdt。)l(arct22时， 。1x12)1()n nxx
9、f )1ln(arct22xx（3）已知函数 在 上连续，在 内可导，且 ， 。证明：)(f,0),00)(f)(f（）存在 ，使得 ；1,1)(f（）存在两个不同的点 ， ，使得 。,01)(f证明：（）令 ， 在 上连续， ，1)(xfxg)(g, 0g01)(g由零点存在定理：存在 ，使得 即 。,001)(f（） 在 上连续，在 内可导，)(xf1,),(6由 中值定理： , ，Lagrne)0()1,(使得 ， ，即 。 1)()(ff ff 1)(f（4）设函数 连续，且 ，求极限 。)(xf0)(f xdtf0)(lim解： xdtf0)(limxxdtft0)(lim0)(li
10、xxxduftftutx)()(lim1)(li1)(li 0000 xfdtfdtfxdufxtt xxxx ，)()(lim10xftffx ， 。0)(1li)(li00 ffxdtf xdtf0)(lim21)0(1f（5）用变量代换 化简微分方程 ，并求其满足)(cost12y， 的特解。10xy20x解： ，dtytdxsin )sin1(dtyx txdy)sin(，2322 sin1sicosin1ico dtytytyt 代入方程 ，得： 。 ， 。0)1(2yx02t12rir的通解为 ；从而微分方程 的02ydt tCtsinco21 0)(2yx通解为 。21xC7，由
11、 ， 得 。21xCy 10xy20x 2,1C故所求特解为 ， 。2y（6）已知函数 的全微分 ，并且 。),(xfzydxdz22)1,(f求 在椭圆域 上的最大值和最小值。),(yxf 14),(2yD解： 时，2,R,xfz CdttCydxyx0),(0 )2(， ， ， 。Cyx22)1,(C),(fz2现求 在椭圆域 上的最值。,(fzyx 14,2yxD第一步，求 在 内部 的驻点。),(f22 2，驻点为 ， 。02),(yxfy 0yx),(f第二步，求 在 的边界 上条件极值。),(xfz22D:142yx解一：（化为无条件极值）在 上， ，:D142y)1(422x求
12、在 上的最值， ， 。5)(xz 01xdz。 在有界闭区域 上必有最值，3,210xxz),(yxfz22D 在 处取得最小值 ；在 处),(yfz22,00,1yx取得最大值 3。解二：（用 乘数法）Lagrne令 ，)14(2),( 22yxyx， ， （舍） ；140)2(),(2yxLyx 4或或yx0yx8时， ； 时， 。40x2,2y101,2x故驻点为： ， ； 时， ；又 。yx),(f 0y3)0,(f 2)0,(f 在有界闭区域 上必有最值，),(fz22D 在 处取得最小值 ；在 处,yx 2,0yx20,1yx取得最大值 3。（7）计算二重积分 ，其中 。Ddy12
13、 0,1),(yx解： 。 222 12 ),()(1 DyxxyxDd1Ddy2dx1)(22yx12)(x。314)()(02202 dydSrdD（8）求 1limxex解：原式 。2020 1lim)(li xexxxx 解一：原式 。3li21li00 xxe解二：原式 。2)()(21li0 xox（9）设 具有二阶连续导数，且 ，求 。)(uf )(),(yfxfyg22ygx解： ，)()1()(22 ffyxfyxfg ；)()()(432 xfff ，)()(1)()(1)( 2 yxffxyfyfyxffyg 9；)()()()(1 3222 yxfyxfyxfxyfyg
14、 )()(1322yxfxyf。22yx)(xf（10）求幂级数 在区间 内的和函数 。12)(nn)1,()(xS解： 。令 。)(2121 xxSn 12)(12nxS ， ，n22)( 2212 xxn 时， ，1x12nnx xtdtx 1ln21ln)1( 002。122 0l)(n xS于是 )(xS12)(nnx 0011ln21)( 21 xxxS。00l22xx（11）设 在 上的导数连续，且 。)(,gf1, 0)(,)(,0)(xgff证明：对任何 ，有 。,a 1)(100 afdxdxfga证明：令 ，由题意， 在 上连续，)()()(10 gfdtftgxF )(xF,0时， ，1 1)(xxffx 时， ， 在 上一般地单调上升，x0)(,)(gf g,0故 时， ，从而 在 上一般地单调下降。10xFxF1,)()()()(100 gfdgfdtftg )1()()(100 gfdxgftdf10。0)1()()()(1010 gfdxgfdtgtftfg于是 时， ，即 。aF )1()(00 gafdxfa
