1、高一数学必修一专题复习- 1 - / 58第一章 集合与函数概念知识架构集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念高一数学必修一专题复习- 2 - / 58第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的 3 种表示方法：列举法 、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言属于 不属于 4.常见集合的符号表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集符号 N
2、或ZQRC二： 集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同BA且 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素或 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A， B（ ）三：集合的基本运算两个集合的交集: B= xB且 ;两个集合的并集: A= 或 ;设全集是 U,集合 U,则 CxUA且交 并 补|,ABxB且 |,AxB或 UCxA且高一数学必修一专题复习- 3 - / 58方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合元素的特征
3、、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如 )(xfy、 )(xfy、 )(),xfy等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合21,1,9432MN则 MN=（ ） A. ；B. ),0(3；C. ,；D. ,错解 误
4、以为集合 表示椭圆 1492yx，集合 表示直线 123yx，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选 B正解 C； 显然 3xM， RN，故 ,M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。3集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即 A（2）任何集合都是它本身的子集，即（3）子集、真子集都有传递性，即若 B， C，则 A4集合的运算性质（1）交集： AB； ； ； B，BA ；高一数学必修一专题复习- 4 - / 58（2）并集： AB； ； A； B，BA ；（3）交、并、补集的关系 CU； U )()()(BCA； )
5、()()(BCAU热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型 1：集合元素的基本特征例 1（2008 年江西理）定义集合运算： |,ABzxyAB设,20,AB，则集合 的所有元素之和为（ ）A0 ；B 2；C3；D6解题思路 根据 的定义，让 x在 中逐一取值，让 y在 中逐一取值， xy在值就是的元素解析 ：正确解答本题, 必需清楚集合 AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=420，故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型 2：集合间的基本关系例 2数集 Z
6、nX,)12(与 ZkY,)14(之的关系是（ ）A Y；B ； C X；D 解题思路 可有两种思路：一是将 和 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集 与 之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能；同样，B 也不能成立；而如果 D 成立，则 A、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是 C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练 1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的
7、运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）A B B. C C. CBA D. A解析 D；因为全集为 ，而 =全集=2 (2006山东改编）定义集合运算: Byxy,z2,设集合1,0, 3,2,则集合 的所有元素之和为 解析18，根据 的定义，得到 1,60，故 的所有元素之和为 18高一数学必修一专题复习- 5 - / 583 (2007湖北改编）设 P和 Q是两个集合，定义集合 QPQx且,| ，如果1log3xP， 1x,那么 等于 解析 ；因为 )3,0(log3， )1,(x，所以),(Q4研究集合 42xyA
8、， 42xyB， 4),(2xyC之间的关系解析 与 C， B与 都无包含关系，而 A；因为 表示2xy的定义域，故 R； 2xy表示函数 2xy的值域，),4； 4),(2xy表示曲线 4上的点集，可见， BA，而A与 C， B与 都无包含关系考点二：集合的基本运算例 3 设集合 0232x， 0)5()1(22axxB（1 ） 若 ，求实数 a的值；（2 ）若 AB，求实数 的取值范围若 A，解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为 2,1032x，（1 ）由 BA知， ，从而得 0)5()142a，即0342a，解得 1a或 3当 时，
9、 2,042x，满足条件；当 时， B，满足条件所以 1a或 3（2 ）对于集合 ，由 )3(8)5(4)1(2aa因为 AB，所以 当 0，即 3时， B，满足条件；当 ，即 a时， 2，满足条件；高一数学必修一专题复习- 6 - / 58当 0，即 3a时， 2,1AB才能满足条件，由根与系数的关系得 75521)(2a，矛盾故实数 a的取值范围是 3a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练 6若集合 RxyS,3， RxyT,12，则 TS是（ ）A. ；B. T； C.
10、；D. 有限集解析 A；由题意知，集合 xyS,3表示函数 xy,3的值域，故集合 ),0(S； R12表示函数 R12的值域，1T，故 T7已知集合 2),(yxM， 4),(yxN，那么集合 NM为（ ）A. ,3yx；B. 13；C. ,；D. 13解析D； N表示直线 yx与直线 yx的交点组成的集合，A、B、C 均不合题意。8集合 |10Axa, 2|30B,且 ,求实数 a的值.解析 0,2；先化简 B 得, ,.由于 AB,故 1或 2A.因此 或 ,解得 1a或 2.容易漏掉的一种情况是: A的情形, 此时 0.故所求实数 a的值为 0,12.备选例题 1：已知 xyM， 1)
11、,(2yxN，则 NM中的元素个数是（ ）A. 0；B. ；C. ；D.无穷多个解析 选 A;集合 表示函数 1xy的值域,是数集, 并且 R,而集合 表示满足12yx的有序实数对的集合,即表示圆 12y上的点,是点集。所以，集合 与集高一数学必修一专题复习- 7 - / 58合 N中的元素均不相同，因而 NM，故其中元素的个数为 0误区分析 在解答过程中易出现直线 1xy与圆 12y有两个交点误选 C；或者误认为 1xy中 R，而 2x中 ，从而 ,NM有无穷多个解而选 D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。备选例题 2：已知集合 A和集合 B各
12、有 12 个元素， BA含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C的个数：() ，且 中含有 3 个元素；() （ 表示空集）解法一因为 、 各有 12 个元素， 含有 4 个元素，因此， BA的元素个数是 201故满足条件()的集合 的个数是 3上面集合中，还满足 AC的集合 的个数是 38C因此，所求集合 的个数是 43820解法二由题目条件可知，属于 B而不属于 A的元素个数是 8412因此，在 B中只含有 中 1 个元素的所要求的集合 的个数为 21C含有 A中 2 个元素的所要求的集合 的个数为 182含有 中 3 个元素的所要求的集合 C的个数为 3所以，所求集合 C的个
13、数是 0412821812抢分频道基础巩固训练：1 （09 年吴川市川西中学 09 届第四次月考）设全集R,(3)0,1UAxBx, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A 0；B ；C 3x；D 1x解析 C；图中阴影部分表示的集合是 A，而 0，故13x2. （韶关 09 届高三摸底考）已知 2(1),logxBx 则 AB=A (0,1)；B (,2)；C )0,(；D ,0解析 A；因为 x， xB，所以 10xA3. （苏州 09 届高三调研考）集合 1,的所有子集个数为 解析 8；集合 1,0的所有子集个数为 8234.（09 年无锡市高三第一次月考）集合 A中的代表元素设为 x，
14、集合 B中的代表元素设为y，若 Bx且 y，则 与 B的关系是 UBA高一数学必修一专题复习- 8 - / 58解析 AB 或 ；由子集和交集的定义即可得到结论5(2008 年天津)设集合 RTSaxTxS ,8|,32| ，则 a的取值范围是（ ）A 13a；B 1a C 或 ；D 或解析 A； 532| xxS或 ， 8|ax， S所以 58a，从而得 综合提高训练：6 01mP, 恒 成 立对 于 任 意 实 数 xmxRQ042则下列关系中立的是( ) A ; B P;C ;D P解析A；当 0时，有 0)4()4(2，即1mRQ；当 0时， mx也恒成立，故，所以 PQ7.设 )(2
15、)(Nnf， 5,4321， 7,6543，记nP， nf)(，则 )()(PCQPNN( )A. 3,0; B. ,1; C. ,; D. ,解析 A；依题意得 20P， 3,1Q，所以 0)(N，)(CQN，故应选 A8 （09 届惠州第一次调研考）设 A、B 是非空集合，定义ABxx且，已知 A= 2|xyx，B= |2,0xy，则 AB 等于（ ）A 0,；B 0,12,；C 0,1,；D 0,1(,)解析 D； 2xx，A=0，2 ， 2x，B= （1，） ，AB=0, ） ，AB=（1，2，则 AB ,(,)高一数学必修一专题复习- 9 - / 58第 2 讲 函数与映射的概念知识
16、梳理1函数的概念(1)函数的定义：设 BA、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个数 x，在集合 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 到 B的一个函数，通常记为 xfy),(2)函数的定义域、值域在函数 Af),(中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做 )(xfy的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值， 函数值的集合 f)(称为函数 的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2映射的概念设 BA、 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 到 B的映
17、射，通常记为f:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题 1：已知函数 )(xfy的定义域为 ba， ，求 )2(xfy的定义域误解因为函数 的定义域为 ， ，所以 b，从而 2bxa故 )2(xfy的定义域是 2,正解因为 f的定义域为 ba， ，所以在函数 )2(xfy中， x，从而 bxa，故 )(xfy的定义域是 ,ba即本题的实质是求 2中 的范围问题 2：已知 )(fy的定义域是 b， ，求函数 )(xfy的定义域误解
18、因为函数 x的定义域是 a， ，所以得到 ba2，从而高一数学必修一专题复习- 10 - / 582bxa，所以函数 )(xfy的定义域是 2,ba正解因为函数 )(xfy的定义域是 ， ，则 x，从而 2bxa所以函数 )的定义域是 2,ba即本题的实质是由 求 的范围即 )(xf与 )2f中 x含义不同2 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为） “二次函数型” 的函数常用配方法，如求函数4cossin2xy，可变为 2)1(cos4cs2sinxxy 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )3(lg21就是利用函数 u21log和
19、32的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 212xy的值域由 22xy得 01)(yxy，若 ，则得 ，所以0是函数值域中的一个值；若 ，则由 0)1(4)1(22yy得0213213yy且，故所求值域是 3,3（4）分离常数法：常用来求“分式型” 函数的值域。如求函数 1cos2xy的值域，因为1cos51cos3xxy，而 2,0(1cosx，所以 25,(5，故2,(（5）利用基本不等式求值域：如求函数 432xy的值域当 0x时， y；当 0x时， ，若 0，则 424xx若 x，则 4)(2)4( xxx ，从而得所求值域是 43,（6）利用函数的单
20、调性求求值域：如求函数 )2,1(2xy的值域因 )14(283xxy，故函数 4x在 (上递减、高一数学必修一专题复习- 11 - / 58在 )0,21(上递增、在 )21,0(上递减、在 )2,1(上递增，从而可得所求值域为 30,815（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(xf， 3)(xg；（2） f， ;01,（3） 12)(nxf， 12)()nxg（nN *） ；（4） ， ；（5） 12)(xf，
21、12)(tt解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于 f2)(， xxg3)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数 xf)(的定义域为 ),0(),(，而 ;01,)(xg的定义域为 R，所以它们不是同一函数 .（3）由于当 nN*时，2n1 为奇数， xxf12)(， xgn12)()，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数 f)(x的定义域为 0，而 xg2)(的定义域为10x或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案
22、（1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第 （ 5） 小 题 易 错 判 断 成 它 们 是 不 同 的 函 数 。 原 因 是 对 函 数 的 概 念 理 解 不 透 ， 在 函 数 的 定义 域 及 对 应 法 则 f 不 变 的 条 件 下 ， 自 变 量 变 换 字 母 对 于 函 数 本 身 并 无 影 响 ， 比 如 1)(2xf，1)(2tf， 1)(2u都可视为同一函数.高一数学必修一专题复习-
23、 12 - / 58新题导练 1 (2009佛山) 下列函数中与函数 xy相同的是( )A .y = ( x)2 ; B. y = 3t; C. y = 2 ; D. y=2解析 B；因为 y = 3t，所以应选择 B2 (09 年重庆南开中学)与函数 )12lg(.0xy的图象相同的函数是 （ ）A. )21(xy；B. ；C. )21(xy； D. |1|xy解析 C；根据对数恒等式得 10.2lg)2lg( yxx ，且函数 )2lg(.0的定义域为 ),21(，故应选择 C考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域例 2.（08 年湖北）函数 )(xf )4323l
24、n(122xx的定义域为( )A. ),2)4,(;B. ,0,4；C. 1,0(),4;D. 1,0,解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数 )(xf有意义，必须并且只需0043234222xxx )1,0(,4x，故应选择 D【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为 0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问
25、题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型 2：求抽象函数的定义域例 3（2006湖北）设 xxf2lg，则 xff2的定义域为（ ）A. 4,0,； B. 4,1,； C. ,1,； D. 4,2,解题思路 要求复合函数 ff的定义域，应先求 )(f的定义域。高一数学必修一专题复习- 13 - / 58解析由 20x得， ()fx的定义域为 2x，故2,.x解得 4,1,x。故 xff2的定义域为 4,1,.选 B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数 ()f的定义为 ,ab，则函数 ()fgx的定义域是满足不等式 ()agxb的 x
26、的取值范围；一般地，若函数 ()f的定义域是 ,ab，指的是 ,x，要求 f的定义域就是 ,时 ()gx的值域。题型 3；求函数的值域例 4已知函数 )(6242Raxy，若 0y恒成立，求 32)(af的值域解题思路 应先由已知条件确定 取值范围，然后再将 )(af中的绝对值化去之后求值域解析 依题意， 0恒成立，则 62(41，解得 21，所以 7)3()(2)( 2aaf ，从而 4)()maxff，4193min，所以 f的值域是 ,49【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练 3.（2008 安徽文、理）函数 21()log()xf的定义域
27、为 解析 3,)；由 ,012x解得 34定义在 R上的函数 ()yf的值域为 ,ab，则函数 (1)yfx的值域为( )A ,ab；B ,ab；C 1；D无法确定 解析 B；函数 (1)yfx的图象可以视为函数 ()yfx的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的5 (2008 江西改) 若函数 ()f的定义域是 3,1，则函数 (2)1fxg的定义域是解析 23,1()；因为 ()fx的定义域为 ,，所以对 ()， 3但 1故高一数学必修一专题复习- 14 - / 5823,1()x6 (2008 江西理改)若函数 ()yfx的值域是 3,2，则函数 1()Fxffx的值域是
28、解析 310,2； )(F可以视为以 )(f为变量的函数，令 ft，则)32(1ttF22)1(tt，所以， t1在 ,32上是减函数，在 3,1上是增函数，故 )(x的最大值是 30，最小值是 2考点三：映射的概念例 5 （06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密） ，接收方由密文 明文（解密） ，已知加密规则为：明文 ,abcd对应密文2,3,4.abcd例如，明文 1,234对应密文 57,186.当接收方收到密文1498时，则解密得到的明文为（ ）A 7,6；B ,17；C ,67；D ,解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。
29、解析 当接收方收到密文 14，9，23，28 时，有2438abcd，解得 417abcd，解密得到的明文为 C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合 A、B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从集合 B 到集合 A的对应关系一般是不同的；（3）集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合 A 中不同元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（5 ）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.新题导练 7集合 A=3，4，B=5
30、，6 ，7，那么可建立从 A 到 B 的映射个数是 _，从 B 到 A的映射个数是_.解析 9 , 8；从 A 到 B 可分两步进行：第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应 5或 6 或 7） ，第二步 A 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N133 9.反之从 B 到 A，道理相同，有 N22228 种不同映射.高一数学必修一专题复习- 15 - / 588若 f :y=3x+1 是从集合 A=1，2，3，k 到集合 B=4，7，a 4，a 2+3a的一个映射，求自然数 a、k 的值及集合 A、B.解析 a=2，k=5，A =1，2，3，5，B=
31、4 ，7 ，10，16；f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f （3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1） ,1,04k或（ 2） .1,04ka aN， 方程组（ 1）无解.解 方 程 组 （ 2） ， 得 a=2 或 a= 5（ 舍 ） ， 3k+1=16， 3k=15， k=5. A=1， 2， 3， 5， B=4， 7， 10， 16.备 选 例 题 ： （03 年上海）已知集合 M是满足下列性质的函数 )(xf的全体：存在非零常数T，对任意 Rx，有 )(xTfxf成立。（1）函数 )是否属于集合 ？说明理由；（2）设函数 )1,0(axf的图象与
32、xy的图象有公共点，证明：Maxf)(解析 （1 ）对于非零常数 T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 xR，x+T= Tx 不能恒成立，所以 f(x)= .（2 ）因为函数 f(x)=ax（a0 且 a1 ）的图象与函数 y=x 的图象有公共点，所以方程组： y有解，消去 y 得 ax=x,显然 x=0 不是方程 ax=x 的解，所以存在非零常数 T，使 aT=T. 于是对于 f(x)=ax 有 )()( xfTf xxTx 故 f(x)=axM.抢分频道基础巩固训练：1 (2007广东改编) 已知函数 xf1)(的定义域为 N， )1ln()xg的定义域为M，则 N
33、解析 ),(；因为 (,)(,)N,故 RM2函数 )23log1xy的定义域是 解析 23(,；由 0得到 13x高一数学必修一专题复习- 16 - / 583函数 12xy的值域是 解析 ),(；由 x知 1y，从而得 yx12，而 02x，所以 01y，即1y4 （广东从化中学 09 届月考）从集合 A 到 B 的映射中,下列说法正确的是( )AB 中某一元素 b的原象可能不只一个；BA 中某一元素 a的象可能不只一个CA 中两个不同元素的象必不相同； DB 中两个不同元素的原象可能相同解析A；根据映射的定义知可排除 B、C 、D5 （深圳中学 09 届高三第一学段考试）下列对应法则 f
34、中，构成从集合 A 到集合 B的映射是A 2|:,0|xyfRxB 42BC 21:,|, xyfyD 10A解析D；根据映射的定义知，构成从集合 A 到集合 B的映射是 D6 （09 年执信中学）若函数 234yx的定义域为 0,m,值域为 254， ，则 m的取值范围是（ ）A 4,0；B 32， ； C ， ；D ， ）解析B；因为函数 24yx即为 425)3(xy，其图象的对称轴为直线 23x，其最小值为 45，并且当 0及 时， ，若定义域为 0,m，值域为2，则 3m综合提高训练：8 （05 天津改）设函数 xf2ln)(，则函数 )1(2)(xffxg的定义域是 解析 )4,1
35、,；由 0得， 的定义域为 2x。故21x高一数学必修一专题复习- 17 - / 58解得 214x或 4x。9设函数 )(f的定义域是 1,n( 是正整数)，那么 )(xf的值域中共有 个整数解析 2n；因为 4)2()(2xxf ，可见， )(f在 1,n( 是正整数)上是增函数，又 211)(12nnf所以，在 )(xf的值域中共有 2个整数第 3 讲 函数的表示方法知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1图象法：就是用函数图象 表示两个变量之间的关系；2列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、分段函数在自变量的不
36、同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：（1 ）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数） ，则用待定系数法；（2 ）若已知复合函数 )(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；问题 1已知二次函数 满足 564)122xf ，求 )(xf方法一：换元法令 )(2Rtx，则 tx，从而 )(9521)() 2Rttttf 所以 )(95)2f方法二：配凑法因为 9)12(5)(410)2(64)1(2 xxxxf所以 )(95
37、R方法三：待定系数法因为 )(xf是二次函数，故可设 cbxaxf2)(，从而由 564)12(2xxf 可求高一数学必修一专题复习- 18 - / 58出 951cba、 ，所以 )(95)(2Rxxf（3 ） 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 )(xf问题 2：已知函数 )(xf满足 xff3)1(2，求 )(f因为 xf31)(以 代 得 xf)(2由联立消去 x得 )0(热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1 （ 09 年广东南海中学）一水池有 2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、 乙所示.某天 0点到 6点,该水池的蓄水量如图丙所示给
38、出以下 3个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙（1） 0点到 3点只进水不出水；（2） 3点到 4点不进水只出水；（3） 4点到 6点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路 根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。解析 由图甲知，每个进水口进水速度为每小时 1 个单位，两个进水口 1 个小时共进水 2 个单位，3 个小时共进水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定
39、不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式” 。新题导练1 (05时 间01 时 间021时 间03465高一数学必修一专题复习- 19 - / 58辽宁改)一给定函数 )(xfy的图象在下列图中，并且对任意 )1,0(a，由关系式0)(1nnaf得到的数列 na满足 )(0*1Nnan，则该函数的图象是（ ）A B C D 解析 A.；令 1nxy，则 ()fx等价于 )(1nnf， ()yfx是由点 1(,)na组成，而又知道 na，所
40、以每各点都在 y=x 的上方。2 (2005湖北)函数 |1|lnxey的图象大致是( )解析 D；当 1x时， 1)(xy，可以排除 A 和 C；又当 21x时， 3y，可以排除 B考点 2：用列表法表示函数例 2 （07 年北京）已知函数 ()fx， g分别由下表给出则 (1)fg的值为 ；满足 ()()fgxf的 x的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析 由表中对应值知 (1)fg= 3f；当 1x时， ,(1)g，不满足条件当 2时， ()2,(3)1fff，满足条件，当 3x时， ()g，不满足条件，x1 2 31 3 1x1 2 33 2 1高
41、一数学必修一专题复习- 20 - / 58满足 ()()fgxf的 x的值是 2【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。新题导练3 （ 09 年山东梁山）设 f、g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射 f 的对应法则是表 1原象 1 2 3 4象 3 4 2 1映射 g 的对应法则是表 2则与 )1(gf相同的是（ ）A ； B )2(f；C )3(fg；D )4(fg解析 A；根据表中的对应关系得， 1， 1)3(gf4 （04 年江苏改编）二次函数 cbxay2（ R）的部分对应值如下表：x3 2 1
42、 0 1 2 3 4y6 0 4 6 6 4 0 6则不等式 2cba的解集是 解析 )3,(；由表中的二次函数对应值可得，二次方程 02cbxa的两根为2 和3，又根据 2(0f且 )3(0f可知 0a，所以不等式2cbxa的解集是 ,考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 3 （04 湖北改编）已知 )1(xf= 2，则 )(xf的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法解析 令 tx1，则 t， 1)(2tf. 12)(xf.故应填 2【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法（ 注意新元的取值范围） ； 待定原
43、象 1 2 3 4象 4 3 1 2高一数学必修一专题复习- 21 - / 58系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ；整体代换（配凑法） ；构造方程组（如自变量互为倒数、已知 )(xf为奇函数且 )(xg为偶函数等） 。题型 2：求二次函数的解析式例 4 （普宁市城东中学 09 届高三第二次月考）二次函数 )(f满足 xfxf2)(1(，且 1)0(f。求 x的解析式；在区间 ,上， )(xfy的图象恒在 mxy2的图象上方，试确定实数 m的范围。解题思路（1）由于已知 是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求 )(2xfm对于 1,恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。解析设 2(0)abc，则 2(1)()()2fxfxaxbca与已知条件比较得： 2,0ab解之得， 1,又 (0)1f，2()1fx由题意得： 2xm即 231x对 ,x恒成立，易得 2in(3)m【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。新题导练5 （06 全国卷二改编）若 xxf2cos3)(sin，则 )2sin(xf 解析 x2cos3； 22(i)31sin)sif x所
