1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 1 - 页 共 13 页2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设 ，则 的零点个数为（ ）2()1)(fxx()fx0 1. 2 3ABCD（2）曲线方程为 函数在区间 上有连续导数，则定积分 （ ）()yfx0,a0()atfxd曲边梯形 面积.D梯形 面积.BAC曲边三角形 面积.三角形 面积.D（3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（ ）123cosin2xyCeCx123
2、,CA40yB40yyCyD（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）()fx,)nx若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.An(nfB()nfx若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.C()fxxD()nfx（6）设函数 连续，若 ，其中区域 为图中阴影部分，则f 2()(,)uvDfxyFduv FuA2()vfuB2vfC()u（7）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ）nEn30A不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.AEABEA可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. CD（8）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）12梅花香自苦寒来，岁月共理想，人
3、生齐高飞！第 - 2 - 页 共 13 页. .A21B21. . C12D21二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 已知函数 连续，且 ，则 .()fx20cos()lim(xfe(0)_f（10）微分方程 的通解是 .2xyedyy（11）曲线 在点 处的切线方程为 .sinl0,1（12）曲线 的拐点坐标为_.23(5)yx（13）设 ，则 .z(1,2)_z（14）设 3 阶矩阵 的特征值为 .若行列式 ，则 .A,3248A_三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤.(15)（本题满分 9 分）求极限 .40sinsinlmxx(16)（本题满分 10 分）设函数 由参数方程 确定，其中 是初值问题 的解.求()yx20()ln1txyud()xt02xtde.2x(17)（本题满分 9 分）求积分 .120arcsinxd(18)（本题满分 11 分）求二重积分 其中ma(,),Dxyd(,)02,Dxyy(19)（本题满分 11 分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 3 - 页 共 13 页设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 .对任意的 ，直线()fx0,(0)1f0,t，曲线 以及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周
5、生成一旋转体.若该旋转体的侧面0,t()yfxx积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 的表达式.()fx(20)（本题满分 11 分）(1) 证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使得()f,ab,ab()()bafxdfba(2)若函数 具有二阶导数，且满足 ，证明至少存在一点32(2)1,()()xd(1,3)()0使 得（21） （本题满分 11 分）求函数 在约束条件 和 下的最大值与最小值.22uxyz2zxy4z（22） （本题满分 12 分） 设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ，221naAa AXB1,Tnx，1,0B（1）求证 ；1nA（2） 为何
6、值，方程组有唯一解，并求 ；a1x（3） 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（ 23） （本题满分 10 分）设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，A12,A,13323A（1）证明 线性无关；12,（2）令 ，求 .3P1P梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 4 - 页 共 13 页2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】 D【详解】因为 ，由罗尔定理知至少有 ， 使(0)1(2)0ff1(0,)2(1,)，所以 至少有两个零点. 又 中含有因子 ，故 也是 的零点， 12()fx )fxx0()fxD 正确.本
7、题的难度值为 0.719.(2)【答案】 C【详解】 000 0()()()()()aaaaxfdxffxfdxffxd其中 是矩形 ABOC 面积， 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 为曲边三角形的0a 0()afx面积本题的难度值为 0.829.(3)【答案】 D【详解】由微分方程的通解中含有 、 、 知齐次线性方程所对应的特征方程有根xecos2inx，所以特征方程为 ，即 . 故以已知函数为通解1,2ri(1)()0rr3240r的微分方程是 40y本题的难度值为 0.832.(4) 【答案】 A【详解】 时 无定义，故 是函数的间断点0,1x()fx,1x因为 0000lnlim(
8、)iimlics|csotxxxxf x200illiooxx同理 0li()xf又 1111lnlimiimslisni1xxxxf所以 是可去间断点， 是跳跃间断点.0本题的难度值为 0.486.(5)【答案】 B【详解】因为 在 内单调有界，且 单调. 所以 单调且有界. 故 一定存()fx,)nx()nfx()nfx梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 5 - 页 共 13 页在极限.本题的难度值为 0.537.(6)【答案】 A【详解】用极坐标得 22()2011, ()vuufrDfuvFvddvfrd所以 2vfu本题的难度值为 0.638.(7) 【答案】 C【详解】
9、 ，23()EAEA23()EAE故 均可逆,本题的难度值为 0.663.(8) 【答案】 D【详解】记 ，12则 ，又2142E 21142EA所以 和 有相同的特征多项式，所以 和 有相同的特征值.ADAD又 和 为同阶实对称矩阵，所以 和 相似由于实对称矩阵相似必合同，故 正确.D本题的难度值为 0.759.二、填空题(9)【答案】2【详解】 22220001cos()sin()sin()()limllm4(xx xfffxfe 0li)()1xff所以 (2f本题的难度值为 0.828.(10)【答案】 ()xeC【详解】微分方程 可变形为20xydyxdye所以 111()dxxxx
10、eeeC本题的难度值为 0.617.(11)【答案】 1yx梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 6 - 页 共 13 页【详解】设 ，则 ，(,)sin()l)Fxyyx1cos()xyyFdx将 代入得 ，所以切线方程为 ，即(0)1y01xd 10x1x本题的难度值为 0.759.(12)【答案】 (,6)【详解】 532yx23131350(2)xyx14499时， ； 时， 不存在1x0yxy在 左右近旁 异号，在 左右近旁 ，且00y(1)6故曲线的拐点为 (,6)本题的难度值为 0.501.(13)【答案】 2(ln1)【详解】设 ，则,yxuvvzu所以 121()l
11、nvvzyuxxy2lnlxyvyuux所以 (1,2)(l1)zx本题的难度值为 0.575.(14)【答案】-1【详解】 |36A3|2|A2481本题的难度值为 0.839.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 7 - 页 共 13 页三、解答题(15)【详解】方法一： 4 30 0sin(si)nsin(si)lmlmx xxx22 20 001sinco(i)co1co(i)li lilm3 36x xx 方法二： 31sn6x3snsii(i)6ox4440 0is(i)(n)1lmlix xox 本题的难度值为 0.823.(16)【详解】方法一：由 得 ，积分并由条件
12、 得 ，即2xdte2xdt0tx21xet2ln(1)xt所以 222ln(1)()lnyttttxd22 2()l1l(1)tty ttdxxt22(1)ln()t方法二：由 得 ，积分并由条件 得 ，即20xdtexdt0tx21xet2ln(1)xt所以 222ln(1)()lnxyttttxd所以 2()xye本题的难度值为 0.742.(17)【详解】方法一：由于 ，故 是反常积分.21arcsinlimxx210arcsinxd令 ，有 ，ritit,)221 220000acsnsncoscosin()x ttdtdtdtd 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 8
13、- 页 共 13 页22220 01sin1sinsin4164t ttdtd 220co68t方法二：210arsinxd1220(arcsin)x1 21222 20 0(rcsi)(ri)(arcsin)8dxxd令 ，有 ，ainxtsint,12 2200011(rcsi)icos4dtdtt2220(o)cos416ttt故，原式216本题的难度值为 0.631.(18)【详解】 曲线 将区域分成两xy个区域 和 ，为了便于计算继续对1D23区域分割，最后为 max,Dyd123Dxdy122 1002xxdy51lnl49ln本题的难度值为 0.524.(19)【详解】旋转体的体
14、积 ，侧面积 ，由题设条件知 20()tVfxd 202()1()tSfxfdx0()ttfxO 0.5 2 xD1D3 D2O 0.5 2 xD1D3 D2梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 9 - 页 共 13 页上式两端对 求导得 ， 即 t22()1()ftfft21y由分离变量法解得 ， 即 lnyCtCe将 代入知 ，故 ，(0)1yC2te1()2tty于是所求函数为 ()xyf本题的难度值为 0.497.(20)【详解】(I) 设 与 是连续函数 在 上的最大值与最小值，即Mm()f,abxM,xab由定积分性质，有 ，即 ()()()bafdba ()afdmM由
15、连续函数介值定理，至少存在一点 ，使得 ,()()bafxf即 ()()bafxdfba(II) 由(I) 的结论可知至少存在一点 ，使 2,332()()32()xd又由 ，知 32()()()x对 在 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到 ， 得x1, (1)()1(2)022()13在 上对导函数 应用拉格朗日中值定理，有12,x21()012(,)(,3本题的难度值为 0.719.(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数 222(,)()(4)Fxyzxyzxyzxyz梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 10 - 页 共 13 页令 2040xyzFzx解方程组得 12(,)
16、(,)(,28)yxyz故所求的最大值为 72，最小值为 6.方法二：问题可转化为求 在 条件下的最值2424ux24xy设 4(,) ()Fxyy令 32(12)04yxxyy解得 ，代入 ，得12(,)(,)(,2)xx2zxy12,8z故所求的最大值为 72，最小值为 6.本题的难度值为 0.486.(22)【详解】(I)证法一： 2 22121301aaAraa 12130434(1)2()1()0 nnnaanaran 证法二：记 ，下面用数学归纳法证明 |nDA()nnDa当 时， ，结论成立1n12a梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 11 - 页 共 13 页当 时
17、， ，结论成立2n2213aD假设结论对小于 的情况成立将 按第 1 行展开得nD21 201nnaDa 2121 ()(1)nnnnna a故 |()A证法三：记 ，将其按第一列展开得 ，|nD21nnnD所以 21112()nnaaa231()(na即 1212nnnnnDD 21()()aa 1nn(II)因为方程组有唯一解，所以由 知 ，又 ，故 AxB0(1)nAa0由克莱姆法则，将 的第 1 列换成 ，得行列式为nDb22 12 2(1)1101 nn naa Daaa 所以 1()nDx梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 12 - 页 共 13 页(III)方程组有无
18、穷多解，由 ，有 ，则方程组为0Aa121100nxx 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数1001,TTk k 本题的难度值为 0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设 线性相关因为 分别属于不同特征值的特征向量，故 线性无关，则123,12,12,可由 线性表出，不妨设 ，其中 不全为零( 若 同时为 0，则 为3 312l12,ll30，由 可知 ，而特征向量都是非 0 向量，矛盾)23A201,，又323212l31212()All，整理得：1l0则 线性相关，矛盾. 所以， 线性无关.2,123,证法二：设存在数 ，使得 (1)13,k1kk用 左乘(1)的两边并由 得A,A2(2)1233()0kk(1)(2)得 (3)因为 是 的属于不同特征值的特征向量，所以 线性无关，从而 ，代入(1)12,A12,130k得 ，又由于 ，所以 ，故 线性无关.20k02k123,(II) 记 ，则 可逆，123(,)PP123(,)AA123(,)梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 13 - 页 共 13 页1230(,)110P所以 .101PA本题的难度值为 0.272.
