第三章-矩阵的标准形与若干分解形式-1.doc

1、第三章 矩阵的标准形与若干分解形式1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。2特征值与特征向量，特征子空间 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。V3矩阵与对角形相似的充要条件：有 n 个线性无关的特征向量。4矩阵与对角形相似的充分条件：有 n 个不同的特征值。若 为 阶矩阵，矩阵Annnn naaE 21221121称为 的特征矩阵。又多项式A niAf 1|)(称为 的特征多项式，这里 ， ， 是 的所有 阶主Aanii1tr|)1(Aniai子式的和与 的乘积。 叫 的迹。i)1(Atr属于矩阵 的同一个特征值 的所有特征向量连同零

2、向量一起，构成一个线性空间0，称为 的特征子空间。特征子空间 的维数不超过特征根 的重数。0VA0V0二、寻找矩阵的相似对角形的方法例 3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ，(2) ，(3) 。120365A12A284013A提示：(1) ；3,31；21,2,031 xx， 。32011P 6321301P(2) ； ；5,1321 321,2,013xx； 。1P131P（3） ； 的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。2,1321例 3-2 设 ，求 的相似对角形及 。163054AA10A2 矩阵的约当标准形当矩阵 不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较

3、简单的分块nijCa)(对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域 内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这就是约当（Jordan）形矩阵，称之为矩阵 的约当标准形。A定义 若数域 上多项式 满足 ，则称 整除P)(,)(xgqf)()(gqf)(，记为 。)(f )(|fg定义 31 设 是 上多项式，如果存在 上多项式 满足, P)(d（1） ， （即 可以整除 ） ；)(|fd)(|gd)(d),(gf（2）若有 上多项式 ， ， ，则有 ，则P1x|1f|1 )(|1称 是 的一个最大公因式，记 表示首项系数为 1 的最大公因)()(,gf )(,式。三个多项式 的最大公因式 可定义为)(

4、,)(hgf )(,)(hgf,)(gf1行列式因子设 ， 是 的特征矩阵，记为 。nijCaA)(AE)(A定义 32 中所有非零的 阶子式的首项（最高次项）系数为 1 的最大公因式k称为 的一个 阶行列式因子（ ） 。)(kD)(kn,21，并且 （ ） 。|AEn)(|1kkD ,3例 33 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子：（1） ；（2）1a12不变因子，初等因子定义 33 下列 个多项式n， ， ，)(11Dd)(122d)()(233Dd)()(1nnDd称为 的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的)(A乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出

5、现次数计算） ，称为 的初等因子。)(A由于这里的 完全由 决定，所以这里 的不变因子及初等因子也AE)( )(常称为矩阵 的不变因子及初等因子。A例 34 求下列矩阵的不变因子及初等因子（1） ；（2）1120A例 35 设 （各个 ） ，求 的初等因子。aba 0iA3约当标准形设矩阵 A 的全部初等因子为： 。相对于每个初等skkk ,21因子 构造一个 ki 阶的 Jordan 矩阵块：ik。siJiiii ,1,1 由所有这些 Jordan 块构成的对角矩阵 sJJ21称为矩阵 A 的 Jordan 形矩阵，或 A 的约当标准形。定理 34 每个 阶复数矩阵 都与一个约当形矩阵 相似

6、n；JP1除去约当块的排列次序外，约当形矩阵 是被矩阵 唯一决定的。J这个定理用线性变换的语言来说就是：设 是复数域上 维线性空间 的线性变换，则在 中必定存在一个基，使 在这个TnVVT基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被 唯一决定的。推论 复数矩阵 与对角形矩阵相似的充要条件是 的初等因子全为一次因式。AA注意：由于 | 21 sJEJJEE skkk )()()(21所以约当形矩阵 的主对角线上的元素 全为 的特征值，并且 。但Js,21 Anksi1ji时可能有 ji，故 不一定是 的 重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能iAik写出矩阵的约当形矩阵。例

7、 36 求矩阵 的 Jordan 标准形及所用的矩阵 P。21A解： （1） 341020E210所以 A 的初等因子为 ，故 A 的 Jordan 标准形为 。2,1 1J（2）设 。由 ，得 ， 即321,xPJP1J321321,xx。于是有31 ,x（1）1xAE（2）32（3）方程组（1） 、 （3）的基础解系为： 。TT1,0,12ee取 ，而 。为使（2）有解，选择 c1, c2 T0,1x cc213x的值是下面两矩阵的秩相同：， 211,12cAE的 c1=2, c2=-1。所以 。将所求的 代入方程（2）并解之得： 。T,3x3xT1,2x易证 线性无关。 。321,x10

8、2P例 37 求矩阵 特征多项式、初等因子及约当标准形。6354A解 易得 的特征多项式为 )2(1|)(Ef并且可以求得不变因子为， ，1)(d)(2 )(1)(3d故初等因子为， ，因此约当标准形为对角形矩阵 21J例 38 求线性微分方程组 的通解。3132214xdtxxtd解：方程组可以写成 。其中 ， 。xAt 2014Tx321,（1）求 A 的初等因子及 Jordan 标准形。 。J（2）求相似变换矩阵。 。120P（3）作满秩线性变换 ，其中 ，则有 。即yxPTy321, yAPdt1（*）323ydttd（上述过程实际上是将系统解藕的过程） 。（4）求（*）的通解，进而求

9、原方程组得通解。ttektP322110yx例 39 利用约当标准形证明：若 n 阶矩阵 A 的特征值为 ，则 的特征n,1 mA值为 。mn,1证明：设 的约当形矩阵为AsJJ21其中 iiiiJ1因 ，故AP1PAm但是有，msmJJ21 miimii * 显然 的特征值就是 的特征值的 次幂，而相似矩阵有相同的特征值，故 的特征值mJ mA就是 的特征值，即 （或 ）的特征值的 次幂。证毕。mJAJm3 哈密顿凯莱定理及矩阵的最小多项式一、哈密顿凯莱（Hamilton-Cayley）定理定理 1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵 A 的特征多项式是，则有 nnaaAEf 11。

10、3-6 01 EAf证明：设 是 的伴随矩阵，则B。 3-7fEA)(由于 的元素都是次数不超过 的 的多项式，所以1n。120nBB其中 为 阶数字矩阵。于是有iBn。 3-8AAAE nnn 121010)( 注意到 ， 3-9EaEaf n由等式 3-7，38，39 即得： AB101Eann112以 一次右乘上面的第一式、第二式，第 式，并将它们加起来，EAn,1 n左边为零，右边即为 。f例 38 设 ，试计算 。012 EAA432)(2458定义：方阵 的零化多项式：使 的多项式 。A0A注：如果多项式 的次数比 的高，则在计算 时，存在一个次数比A低的多项式 ，使得 。事实上，

11、用 去除 ，得：)(rr。将 A 代入即可。p二、矩阵的最小多项式定义 34 设 A 是 阶矩阵，则 A 的首项系数为 1 的次数最小的零化多项式 ，n m称为 A 的最小多项式。2最小多项式的性质（1） 矩阵 的任一零化多项式都能被最小多项式所整除。证明： 。则 。由于 是最小多项式，只能有rmq0m是零多项式。r（2） 矩阵 A 的最小多项式是唯一的。证明：用结论（1） 。若有两个最小多项式，则它们互相整除，且都是首一多项式，只能相等。（3） 相似矩阵的最小多项式相同。证明：设 B=P-1AP，则对于任一多项式 ，有 ，从而 A 和 B 的pPpB1零化多项式是相同的。（4） 矩阵 A 的

12、最小多项式的根必定是 A 的特征根；反之，A 的特征根也一定是 A 的最小多项式的根。证明：由（1） ，特征多项式 能被最小多项式 所整除。所以矩阵 A 的最小多fm项式的根必定是 A 的特征根。反之，若 ，则 。00x 00Ax注：求最小多项式的方法之一：若矩阵 A 的特征多项式是，则 的最小多项式具有形式：skkf 1，snnm1其中 。sikni ,1,例 3-9 求矩阵 的最小多项式，其中 。A03125A解：A 的特征多项式是 ，于是 A 的最小多项式只能是42f或 。mf直接验证得 。042EA例 约当块 的最小多项式的是 。iniiiJ1 inm证明： 的特征多项式为 ，而 ，

13、iJin)(01EJii，所以 的最小多项式为 。01)( iniEJiJin)(（5）设 是一个分块矩阵， ， 的最小多项多等于 的最AsAA21 iA小多项式的最小公倍式， 。si,21证明：设 的最小多项式为 ， 的最小多项式为 ， 的最小公倍式是iA)(xfi )(xffi，由 整除 知 ， 。)(xg)(fi)(g0iAsi,21故 ，因此 整除 。 0)()()(21 sAgAg )(xf)(g又因为 ，因此对于每一个 有0)()(21 sAffff i，即 整除 。而 是 的最小公倍式。故 整除 ，0)(iAf)(xfi)(f)(xgfi )(xg)(f综上所得 。g因为每一个复

14、数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即 Jordan 标准型，所以利用Jordan 标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。（6） 的最小多项式即为 的不变因子 。AA1nnDd事实上，将矩阵化为 Jordan 标准形后，各 Jordan 块的最小多项式的最小公倍式，即初等因子的最小公倍式 ，即是 的最小多项式。nd例 3-7 中，矩阵 的初等因子为： ， 的最小多项式即为A2,1A。21m4 多项式矩阵与 Smith 标准形一、多项式矩阵的概念1多项式矩阵的定义若矩阵 的元素 都是 的多项式（系数属于某一数域 ） ，则nmijaA)(ija P称为 矩阵，或多项式矩阵。如 。)(AE作为

15、多项式矩阵的一种推广就是有理分式矩阵。2多项式矩阵的秩至少有一个 阶子式不是零多项式，而所有的 阶子式都是零多项式，则称Ar 1r的秩是 。零矩阵的秩定义为零。)(r3 是满秩的（或非奇异的）A秩为 ， 不是零多项式。n4 是可逆的（或称为单模矩阵）存在多项式矩阵 ，使得 。 311BEABA注：（1） 的逆矩阵是唯一的。 （2）满秩矩阵不一定可逆。如 。A 21B定理 39 是可逆的充分必要条件是 。0c证明 设 可逆，则有多项式矩阵 ，使得式 311 成立，从而有)( )(B1|)(| EBA故 与 只能是零次多项式，且不等于零（数） ，所以当 可逆时，|)(|)( )(A必定等于某个非零

16、常数 。| c反过来，若 ，则易知 可逆，且其逆矩阵为0|)(|A)(A1*c这里 是 的伴随矩阵。)(*例 310 多项式矩阵，4531)(22A 652331)(2B中， 是可逆的，而 是不可逆的，因为)(B，4|)(|0|5 多项式矩阵的初等变换定义 35 下列变换称为多项式矩阵 的初等变换)(A（1）互换 的任意两行（列） ；（2）以非零的数 乘 的某一行（或列） ；A)(PkA（3）以多项式 乘 的某一行（或某一列）并加到另一行（或列） 。A由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，即它们都是单模矩阵。对一个多项式矩阵进行一次初等行（列）变换，相当于用一

17、个相应的初等矩阵左（右）乘该矩阵。6等价定义 ，是指经过有限次初等变换能把 化为 。BAAB（1）多项式矩阵的等价是一种等价关系。（2） 的充分必要条件是存在初等矩阵 ，使得tsQP,11，QAPts 11与 都是单模矩阵。)(PQ二、多项式矩阵的 Smith 标准形引理 中 ，并且 至少有一个元素不能被 所整nmijaA011a除，则比可以找到一个与 等价的多项式矩阵 ，使得 ，且nmijbB0b的次数低于 的次数。1b1证明：分为三种情况。（1） 不能被 所整除，则 ，且 的次数低1ia1raqi 11 于 的次数。用 的第 行减去 乘以第一行，再把第 行和第一行互换即可。Ai i（2）若

18、在 的第一行中存在不能被 整除的元素，可类似处理。1（3）若 的第一行（列）中的元素都能被 整除，而 不能a1,jiaij被 整除。设 。将第 行减去第一行乘上 ，再将新的第 行1a11aiii加到第一行上，即成为情形 (2)。定理 3-10 任意非零的多项式矩阵 都等价于下形式的 Simith 标准形：nmijaA，00000021 rddJ这里 是 的秩， 是首项系数为 1 的多项式，且rAridi,1。,|1rdii 称为 的史密斯（Smith）标准型。)(J)(证明：经过有限次初等变换后，总可以使矩阵 等价于一个多项式矩阵 ，使A1B得该矩阵的第 元素可以整除其他所有的元素。再通过初等

19、变换把 第一行（列）)1,( 1的其它所有元素都变成零。对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理。依次进行下去，即得定理的证明。例 311 求多项式矩阵 的 Simith 标准形。201)(A例 312 化多项式矩阵 为 Simith 标准形。2211答案： ， 。20130三、多项式矩阵的行列式因子、不变因子与初等因子定义 37 设多项式矩阵 的秩 ，则 中所有 k 阶子式的首项系数为 1A1rA的最大公因式 ，称为 的 k 阶行列式因子。kD定理 311 若 ，则 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。BB,证明思路：证明经过初等变换不改变矩阵的秩，并具有相同的行列式因子即可。定义

20、38 在 的 Simith 标准形 中，多项式 称为 的不AJrd,1 A变因子。注 1：因为 ，所以具有相同的行列式因子，故有：J， rrdDdDd 1212, 从而有： 。11211 , rr注 2： 的不变因子由其行列式因子完全确定，所以 Simith 标准形式唯一的。A注 3：高阶行列式因子能被低阶行列式因子整除。注 4：可逆矩阵的 Simith 标准形是单位矩阵（因为 ） ；与单位矩阵等价的多1nD项式矩阵必可逆。为可逆矩阵的充分必要条件，是 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。AA定义 39 把 的每个次数大于或等于 1 的不变因子分解为互不相同的方幂的乘积，所有这些一次因子的方幂（相

21、同的按出现的次数计算） ，称为 的初等因子。A例 313 求矩阵 的特征矩阵的行列式因子、不变因子及初等因子。413062A（不变因子为 ） 。2,1四、几个重要结论1定理 312 若 的充分必要条件，是 有相同的行列式因子，BABA,或相同的不变因子。证明思路：必要性由定理 311 即得；充分性源于有相同的行列式因子，或相同的不变因子的多项式矩阵具有相同的 Simith 标准形。2两个 n 阶矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价。3 的行列式因子、不变因子与初等因子亦称为矩阵 的行列式因子、不变因子A A与初等因子。（1） 有相同的不变因子。BA,（2）在复数域内 有相同的初等因子。,