1、行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法2.1 定义法2.2 利用行列式的性质2.3 降阶法2.4 升阶法（加边法）2.5 数学归纳法2.6 递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 构造法3.3 特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用5.1 降阶法和递推法5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3 构造法和套用范德蒙德行列式11.2 行列式的
2、性质性质 1 行列互换，行列式不变即.naaa n212n121nn2121n12性质 2 一个数乘行列式的一行（或列） ，等于用这个数乘此行列式即k .nn21iiin112kaa na n21ini2i1n112性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样即 1121121121121212.nnnnnnnnnnaaaabcbcbccaaaa 性质 4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零即=0.kaakaanniii inii 21211
3、nniii inii aa 21211性质 5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变即2.nnn kkk knikiki aacacaca 2121 11 nnkkinii aa 21211性质 6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即=- .nnknkinii naaaa 212121112 nninii knknaa 212121112性质 7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零即.00n1-,n21n1-,12aa 2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性例 1 计算行列式 .04321解析：这
4、是一个四级行列式，在展开式中应该有 项，但由于出现很多的零，所以4！3不等于零的项数就大大减少具体的说，展开式中的项的一般形式是 显然，4321jja如果 ，那么 ，从而这个项就等于零因此只须考虑 的项，同理只须考虑41j01ja j的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 ，而,2,32 413214，所以此项取正号故6= .0432124132143a2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：， .nnaaaa 213322110 nnnaa 2132132100例 2
5、 计算行列式 .nnbaab 21211nD解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形1解：将该行列式第一行的 倍分别加到第 2,3（ ）行上去，可得11n.12n1 1200Dnnaabb 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素4均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法例 3 计算行列式 .mxxmDnnn 2121解： mxmxnni nnii 2121D mxxnnni 221.xnni 021 mxni
6、12.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法例 4 计算行列式 .212132311Dn nn 解：从最后一行开始每行减去上一行，有11321Dn 12023 n5.01101321 nn 21nn2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前 行的和全相同，但却为零用连加法明显不行，这是我们可以n尝试用逐行相加减的方法例 5 计算行列式 .11000D321 naa解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：1321000D321 naa .nn a 21212.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再
7、求解2.3.1 按某一行（或列）展开例 6 解行列式 .1221n0010Daaxxnn 解：按最后一行展开，得.nnnnn xxaD12162.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D 中任意选定了 个行.由这 k 行元素所组1-nk成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D.即，其中 是子式 对应的代数余子式n21AMAD iiM即，nnBC0.nnA0例 7 解行列式 . baanD解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得 00Dn aa 0021nbaa. 21nba21n2nab2.4 升阶法就是把 n 阶行列式增
8、加一行一列变成 n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果7其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置例 8 解行列式 D= .011101 解：使行列式 D 变成 阶行列式，即n.0100 再将第一行的 倍加到其他各行，得：D= .1001001 从第二列开始，每列乘以 加到第一列，得：100100)nD （.1n2.5 数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，
9、然后提出假设，再利用数学归纳法去证明对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法8例 9 计算行列式 .cos2100 0cos210cos nD解:用数学归纳法证明.当 时， .1ncos1当 时， .2 2cos1cs212 D猜想， .ncos由上可知，当 ， 时，结论成立1假设当 时，结论成立即： .现证当 时，结论也成立kkkcos1kn当 时， .1kn cos2100 0cs210cos1 kD将 按最后一行展开，得1k cos2000cos21cos2D11k k 100cos21cos1 k.1cos2kD9因为， ，kDkcossincoscos1cos1 kkkkk
10、所以 1k12k sincoscoskinkk.1cs这就证明了当 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立kn即： .Do2.6 递推法技巧分析：若 阶行列式 满足关系式nD.021nncDba则作特征方程.2x 若 ，则特征方程有两个不等根，则 0 121nnBxA 若 ，则特征方程有重根 ，则 21x1nD在中， A，B 均为待定系数，可令 求出,例 10 计算行列式 .9400559400Dn 解：按第一列展开，得.21nnD即100291nnD作特征方程.2x解得.5,421则.11nnnBAD当 时， ；1nBA9当 时， .2546解得，25,16BA所以.14
11、nnD3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法） ，就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和3.1.2 例题解析例 11 计算行列式 .nnn aaa1000101D32 解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得11nnn aaa 100 01010D32 .1000100101032132 nnnnaaaaa 上面第一个行列式的值为 1，所以
12、 nnn aa1001D32 .1na这个式子在对于任何 都成立，因此有21nnDnnaaa 21212 .iji1n1123.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值3.2.2 例题解析例 12 求行列式 .nnnnxxxxD 212211解：虽然 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 阶的范德蒙德行列式来间接求出n 1的值nD构造 阶的范德蒙德行列式，得1.nnnxxxxxf 21 1122121将 按第 列展开，得f， nnnn xAxxAxf 1,1,1,21, 其中， 的系数为1nx.nnnD11,又根
13、据范德蒙德行列式的结果知.nijjxxxxf 121由上式可求得 的系数为1n13.nijjxx121故有.nijjnD1213.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设 是 级矩阵 的全部特征值，则有公式n， 21A.n21故只要能求出矩阵 的全部特征值，那么就可以计算出 的行列式A3.3.2 例题解析例 13 若 是 级矩阵 的全部特征值，证明： 可逆当且仅当它的特征值全不n， 21A为零证明：因为 ，则nA21可逆 .nii 2,100即可逆当且仅当它的特征值全不为零4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如 ， 这样的行列式，形状像个三角形，nna
14、aa 3322111 nna32121故称为“三角形”行列式4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，14, .nnnaaaa 213322110 nnnaa 21321321004.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念 形如 ， ， ，nnnacabb2210 ncab 2210 nnnbbac210这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式0122abbcan 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线” ，均可把行列式化成“三角形”行列式此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横4.2.3 例题解析例 14 计算行列式 ，其中naa11132 .,21,0nii
15、分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第 列元素乘.),3(i以 后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式ia115解: naa11132 nni aa01132.ina21324.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如 ， ， ，nnbbacac 210 nacc2210 nncabb 210， ， ，0122acbcn 12cacn nnacbb 210， 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常012abbcann nnba12201称它们为“么”字型行列式4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式此方法可以归纳为：“么”字
16、两撇相互消注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用 消去 ，然后再用nac消去 ，依次类推1na1nc4.3.3 例题解析16例 15 计算 阶行列式 .1n nn bbD1111 解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇） ，得nniin bbD11111 ninnb121.nin1234.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如 这样的行列式叫做“两线型”行列式nnabbab 001214.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解4.4.3 例题解析例 16 求行列式 .nnabbab 00D121解：按第一列展开，得17.121121 00 nnnn
17、bababaD nnnba 2124.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如 这样的行列式，叫做“三对角型”行baabab100010 列式4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明4.5.3 例题解析例 17 求行列式 .baababn 100010D 解：按第一列展开，得. bababaDbann 100011 21nnabD变形，得.211nnnDba由于 ，221,baDb18从而利用上述递推公式得.211DnnnaDbannnn baDbaDb1232故 nnnnnnn 121121 .baba14.6 Vande
18、rmonde 行列式4.6.1 概念形如 这样的行列式，成为 级的范德蒙德行列式11321222311nnn naa n4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得 . 111321 22321 ijjnnn naaa 4.6.3 例题解析例 18 求行列式 .nnnnxxxxD 21221解：虽然 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 阶的范德蒙德行列式来间接求出n 1的值nD构造 阶的范德蒙德行列式，得119.nnnxxxxxf 21 1122121将 按第 列展开，得f，nnnn xAxxAx 1,1,1,21, 其中， 的系数为.nnnD11,又根据范德蒙德行列式的结果知.nijjxxx
19、xf 121由上式可求得 的系数为1n,nijjxx121故有.nijjnD1215、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行下面就列举几种行列式计算方法的综合应用5.1 降阶法和递推法例 19 计算行列式 .210012D n分析：乍一看该行列式，并没有什么规律但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到20阶的形式1n解：将行列式按第一行展开，得 .21Dnn即.21nnD .3221 Dnn 1n.5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例 20 计算行列式解：从第4342332321312 2222 sinisinisin
20、isini i1i1iiD 一行开始，依次用上一行的 倍加到下一行，进行逐行相加，得.4332313 22 sinisini iiii1D再由范德蒙德行列式，得. 414332313 22 sinisinisini iiii1j jD 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式21例 21 求行列式 .nnnnxxxxD 212211解：虽然 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 阶的范德蒙德行列式来间接求出n 1的值nD构造 阶的范德蒙德行列式，得1.nnnxxxxxf 21 1122121将 按第 列展开，得f， nnnn xAxxAxf 1,1,1,21, 其中， 的系数为1nx.nnnD11,又根据范德蒙德行列式的结果知.nijjxxxxf 121由上式可求得 的系数为1n.nijjxx121故有： .nijjnxxD121
