1、1第二章平面向量检测( B)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题: 零向量的长度为零,方向是任意的; 若 a,b 都是单位向量,则 a 与 b 共线; 向量 相等; 若非零向量 是共线向量,则 A,B,C,D 四点共线 .则所有正确命题的序号是与 与 ( )A. B.C. D.解析: 根据零向量的定义可知 正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故 错误;向量 互为相反向量,故 错误;由于方与 向相同或
2、相反的向量为共线向量,故 AB 与 CD 也可能平行,即 A,B,C,D 四点不一定共线,故 错误 .故选 A.答案: A2.已知向量 a=(sin x,cos x),向量 b=(1, ),若 ab,则 tan x 等于( )3A.- B. C. D.-3 333 33解析: 由 ab 可得 ab=0,即 sin x+ cos x=0,于是 tan x=- .3 3答案: A3.若点 M 是 ABC 的重心,则下列各向量中与 共线的是 ( )A. B.+ +C. D.3+ +解析: A 中, =2 ,与 不共线;B 中, ,与 不共线;D+ +=+=中,3 显然与 不共线;C 中, =0,0
3、,故选 C.+ + 答案: C24.已知 a,b 是不共线的向量, = a+b, =a+ b, , R,若 A,B,C 三点共线,则( ) A.+= 2 B.-= 1C.=- 1 D.= 1解析: A ,B,C 三点共线, , 存在 mR,使得 =m , = 1,故选 D.=,1=,答案: D5.在 ABC 中,点 P 在 BC 上,且 =2 ,点 Q 是 AC 的中点 ,若 =(4,3), =(1,5),则 等于( ) A.(-6,21) B.(-2,7)C.(6,-21) D.(2,-7)解析: 如图, =(1,5)-(4,3)=(-3,2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7),
4、=3= =+ =(-6,21),故选 A.答案: A6.已知平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m 等于( )A.-2 B.-1 C.1 D.2解析: 由已知得 c=(m+4,2m+2).因为 cos= ,cos= ,| |所以 .|=|又由已知得 |b|=2|a|,所以 2ca=cb,即 2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得 m=2.故选 D.答案: D7.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且 AB= ,则 等于( )3 3A. B.- C.
5、 D.-解析: 设 AB 的中点为 P.AB= ,AP= .332又 OA=1, AOP= .3 AOB= .23 =| | |cos =- .23 12答案: B8.已知 |a|=6,|b|=3,向量 a 在 b 方向上的投影是 4,则 ab 等于( )A.12 B.8C.-8 D.2解析: 由已知得 |a|cos= =4,于是 ab=43=12.|答案: A9.设非零向量 a,b,c 满足 |a|=|b|=|c|,a+b=c,则 a,b 的夹角为( )A.150 B.120 C.60 D.30解析: 设 |a|=m(m0),a,b 的夹角为 .由题设,知(a+b) 2=c2,即 2m2+2
6、m2cos =m 2,得 cos =- .12又 0 180,所以 = 120,即 a,b 的夹角为 120,故选 B.答案: B10.如图,在直角梯形 ABCD 中, AB AD,AD=DC=1,AB=3,点 P 是 BC 的中点,设= + ( , R),则 + 等于( )A. B.C. D.76解析: 建立如图所示的坐标系, B(3,0),D(0,1),C(1,1).4 点 P 为 BC 的中点, P .(2,12) = + , = (0,1)+ (3,0)=(3 , ),(2,12) 3= 2,= ,+= .故选 D.12 76答案: D二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共
7、 25 分 .把答案填在题中的横线上)11.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则 k= . 解析: a-c=(3-k,-6).由(a-c)b,得 3(3-k)=-6,解得 k=5.答案: 512.在 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,若 = ,则 = . +解析: 由已知得 =2 ,即 = 2.+=答案: 213.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 = . 解析: =( )( )=| |2- =4-0+0-2=2.+ +答案: 214.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c= a+ b( , R)
8、,则 = . 解析: 建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为 1),则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1), a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3). 5 c= a+ b, (-1,-3)= (-1,1)+ (6,2),即-+6=-1,+2=-3,解得 =-2,=-12, =4.答案: 415.已知向量 的夹角为 120,且 | |=3,| |=2.若 = ,且 ,则实数 与 +的值为 . 解析: , =0, ( ) =0,+ 即( )( )= - =0.+ 2+2 向量 的夹角为 120,| |=3,| |=2,与 (- 1)| | |cos
9、 120-9+ 4=0,解得 = .712答案:712三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分)如图,在 OADB 中,设 =a, =b, .试用 a,b 表示 .=13,=13 ,及 解: 由题意知,在 OADB 中, )= (a-b)= a-b,=13=16=16(6则 =b+ a- b= a+ b,=+16 16 16 56)= (a+b),=23=23(+23则 (a+b)- a- b= a- b.=23 16 56 12 1617.(8 分)已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),01 时,当且仅当 cos x=1 时, f(x)取得最小值 2-2m,由 2-2m=- ,得 m= 1.32 74综上所述,实数 m 的值为 .74
