1、1“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 2018-2019 学年第一学期半期考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列 的通项公式为 ，则 的第 项是（ ）na)23()1nanna5A B C D13 12在 中， , , ,则 等于（ ）C60750cA B C D 52163603. 等比数列 na的前 项和 ,3tSn则 3a的值为（ ） A . B. C . D. 117184. 在 中， 分
2、别是角 的对边，若 ，C,bc,Acos()cos()22AbB则 的形状是（ ）BA. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形5.各项均为正数的等比数列 ，前 项和为 ，若 ， ，则 ( )nanS10336S9A B C D 50607096. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的
3、，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A6 斤 B9 斤 C9.5 斤 D12 斤7.若实数 满足 ，则 的最小值为( )yx,02yxyxz32A B C D21018.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ）nanS17a35SnSA. B. C. 或 D. 1644629.已知正数 的等差中项是 ，且 ，则 的最小值是（ ）,ab121,MaNbMNA B C D345610. 若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为( )0832kxxkA B C D)0,(,(3,(),0(3,11.如图，某景区欲在两山顶 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高 ，
4、A 1()ABkm,在水平面上 处测得山顶 的仰角为 ，山顶 的仰角为 ， ,3CDkmE0C650EC则两山顶 之间的距离为（ ）A B C D27()3()km42()km3()12. 中，角 的对边长分别为 ，若 ，则 的最大值ABC, ,abc3osc5BbAtan()AB为 ( )A1 B C D34334第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ，则 的最小值为_ 3aa14.已知 中， ， ， ，则 面积为_ _.ABCc1cosBbABC15. 在数列 中，已知 ， ，记 为数列 的前 项和，则na11nnanSna
5、_.2017S16已知首项为 2 的正项数列 的前 n项和为 ，且当 2n时， 若anS12nnSa12nm恒成立，则实数 m的取值范围为_ _ 3三、解答题：（本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分） 设 是公比为正数的等比数列，若 ， 且 ， ， 成等差数列.na12a23a8(1)求 的通项公式；(2)设 ，求证：数列 nb的前 项和 2nnb1nT18 （本小题满分 12 分）已知关于 的不等式 的解集为 x230ax|1xb或（1）求 的值；b,（2）解关于 的不等式 ()cb19 （本小题满分 12 分）在 中，角 的对边
6、分别为 ，若 ABC,abc(2)cosBbC（1）求角 ；（2）若 的面积为 ， ，求 的值36sinA20 （本小题满分 12 分）在 中，设角 , , 的对边分别为 , , ，已知ABCBCabc BACBAsincossino222（1）求角 的大小；（2）若 ，求 周长的取值范围.3cA421 （本小题满分 12 分）已知数列 na满足 1*12()2()naaN（1）求数列 的通项公式；（2）若 ， ，求 成立的正整数 的最小值12lognnb123=nSbb 1250nSn22 （本小题满分 12 分）某渔业公司年初用 81 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为 1 万元，以后每
7、年都增加 2 万元，每年捕鱼收益 30 万元（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以 46 万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以 10 万元出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由5“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019 学年第一学期半期考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C B C A D A C B A D二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分）13、 14、 15、
8、16、 710734m三、解答题（第 17 题 10 分，1822 题每题 12 分，共 70 分）17、解：(1)设等比数列 的公比为 ，naq ， ， 成等差数列2a38 即 ，（2 分）424即 ，解得 或 (舍去)， .（4 分）0q1q所以 的通项为 ( ) （5 分）n1naN(2)由上知 ， 2n2b ， （7 分）1()1nbn 23T()()4（9 分）1n （10 分）0T即数列 的前 项和为 nb1nT618、解：（1）由题意知： 且 和 是方程 的两根，（2 分）0ab1230ax由根与系数的关系有 ，解得 （6 分）321ba2（2）不等式 可化为 ，2()0axcx
9、()0xc即 （8 分） ()其对应方程的两根为 12,当 即 时，原不等式的解集为 ；（9 分）|2xc当 即 时，原不等式的解集为 ；（10 分）2c当 即 时，原不等式的解集为 ； （11 分）综上所述：当 时，原不等式的解集为 ；|当 时，原不等式的解集为 ；2xc当 时，原不等式的解集为 ；2c（12 分）19、解：（1） （法一）：在 中，由正弦定理得ABCsincosincsACBC （2 分）2sincosicsincosiABB又 ， ，C()() （4 分）ii （5 分）sn01cs2， 故 （6 分）B3（法二）由余弦定理得 （2 分）2222acbacb （3 分）2
10、2abca , （5 分）21os, 故 （6 分）0B3（2） ，所以 （7 分）1sin324ACSacBac4ac又 6由余弦定理得 Bbos222()3=1ac （9 分）3b又由正弦定理知 （10 分）=4sinisini60acbAC7 即4sin,siaAcCin,si4acAC （12 分）164=20、 （1）由题意知 （1 分）222siisiinsBB即 （2 分）2sinnACA由正弦定理得 （3 分）22abca由余弦定理得 （4 分）21osb又 ， 故 （5 分）0C3（2） （法一）：由上知 ，2由余弦定理有 ，（6 分）222()1cosabcabc又 ， ，
11、 （7 分） 32()3又 2ab ，(当且仅当 时取等号) （8 分）2)ab ， 即2(3ab23(10解得 ，(当且仅当 时取等号) （10 分）0又三角形两边之和大于第三边,即 3abc （11 分）2 （12 分）(3abc，所以 的周长的范围为 ABC(2，（法二）由正弦定理知 3=2sinisini10abcABC , （6 分）2si,ab又 3BC则 的周长A2sini3LacAB()sicos8（8 分）2sin()3A （10 分）03A3si()1 ，2sin()2所以 的周长的范围为 .（12 分）BC(，21、解：（1）由 112()2naa当 时， （2 分）2n
12、1()n得 即 （3 分）1()nn当 时， 也满足上式 （4 分）a （5 分）2n*()N(2)由(1)得, , （6 分）12lognnnb所以 131()2nnS （7 分）24n，得 312n （9 分）1(1)2nnn依题意 ，即 即 成立， （101250nS1250n1n分）又当 时, ,43当 时, . （11 分）5164n故使 成立的正整数 的最小值为 5. （12 分）20nS n22、解：（1）设第 n 年开始获利，获利为 y 万元，由题意知， n 年共收益 30n 万元，每年的费用是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故 n 年的总费用为 （2 分）2(1)n获利为 （4 分）23083(7)y由 即 解得 （5 分）()70n9 nN *， n4 时，即第 4 年开始获利 （6 分）（2）方案一： n 年内年平均获利为 230818130()ynn由于 ，当且仅当 n9 时取“”号812=8 （万元）30()3012yn即前 9 年年平均收益最大，此时总收益为 12946154（万元）（9分）方案二：总纯收入获利 228(15)+4yn 当 n15 时， 取最大值 144，此时总收益为 14410154（万元）2(15)+4n（11 分）两种方案获利相等，但方案一中 n9，所需的时间短，方案一较合算 （12 分）
