1、- 1 -长沙市第二十一中学 2018 年下学期期中考试高二试卷数 学（理科）时量：120 分钟 满分：150 分一选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1.命题“若 a=0,则 ab=0”的逆否命题是 A若 ab=0,则 a=0 B. 若 a0，则 ab0 C若 ab=0,则 a0 D. 若 ab0，则 a02.空间直角坐标系中，点 A(3,4,0)与点 B(x，1,6)的距离为 ，则 x= 86A2 B8 C2 或8 D8 或 23.已知条件 p: 都是偶数,条件 q: 是偶数，那么 p 是 q 的yxyxA
2、充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件4.直三棱柱 中， ， 分别是 的中点，1AC09BAMN、 11ABC、，则 与 所成的角的余弦值为 BNA B C D102523015.椭圆 的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为 2xmyymA B C D1412246.若双曲线 x 的离心率为 ，则其渐近线方程为3A B. C. D.y2xyxy21xy27.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则点 A1到平面 ABC1D1的距离为A. B. C. D. 2438.过抛物线 的焦点作直线 交抛物线与 ， 两点，若xyl1,yx2,B，则弦 的长度
3、为102xABA B C D641209.已知正三棱柱 ABCA 1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于- 2 -A. B. C. D.6410423210.过椭圆 1（ ab0）的左焦点 F1作 x 轴的2axy垂线交椭圆于点 P，F 2为右焦点，若F 1PF260，则椭圆的离心率为A B C D23311.如图，在正方体 1AD中，点 O为线段 B的中点.设点 P在线段 上，直线 P与平面 1A所成的角为 ，则 sin的取值范围是A. 3,1 B. 6,13 C. 62,3 D. 2,1312.设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点，
4、OPF)0(2pxy是线段 上的点，且 ,则直线 的斜率的最大值为MMOA B C D 33221二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡上的相应位置）13.设条件 p： ；条件 q： ，那么 p 是 q 的 条件ba2ba22logl（填“充分不必要，必要不充分，充要” ）. 14.在四面体 PABC 中，PBPCABAC，M 是线段 PA 上一点，N 是线段 BC 的中点，则MNB_.15. 已知双曲线213xy右焦点为 F，P 为双曲线左支上一点，点 A(0,2)，则APF 周长的最小值为 .16. 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，
5、底面是边长为 2 的正方 - 3 -形,若A 1AB=A 1AD=60，且 A1A=3，则 A1C 的长为 .三.解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.(本题满分 10 分) 已知 ： ，不等式 恒成立；pxR任 意 230xm：双曲线 的焦点在 轴上q132myx（1）若“ 且 ”为真命题，求实数 m 的取值范围；pq（2）若“ 或 ”为真命题，求实数 m 的取值范围17. （本题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线)0(2:pxyC)0,1(F的焦点为pyxE2:.M（1）若过点 的直线 与抛物线有且仅有一个交点，求直线 的方程
6、；l l（2）若直线 与抛物线 交于 两点，求 的面积.FBA,OA19.（12 分）已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P（1， 3）21(0)xyab在椭圆 C 上，且 .2PF轴（1）求椭圆 C 的方程；（2）求过右焦点 且斜率为 1 的直线 被椭圆 C 截得的弦长 .2lAB20.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 OABCD中，底面 是边长为 1 - 4 -的菱形， 4ABC, OABCD平, 2O,M为 A的中点， N为 BC的中点.（1）证明：直线 MN平 ；（2）求点 B 到平面 OCD 的距离.21. （本题满分 12 分）如图， 是棱长为 的正方体， 、
7、 分 1ABCD6EF别是棱 、 上的动点，且 ABEF（1）求证： ；1F（2）当点 、 、 、 共面时，求线段 的长；E1（3）在（2）的条件下，求平面 与平面 夹ADE1CF角的余弦值- 5 -22、 （本题满分 12 分）已知椭圆 和直线 L：ybx2，椭圆的离心率210xyabe ，坐标原点到直线 L 的距离为 63（1）求椭圆的方程；（2）已知定点 E（-1，0） ，若直线 ykx2 与椭圆相交于 C、D 两点，判断是否存在实数 k，使得点 E 在以 CD 为直径的圆外？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由- 6 -长沙市第二十一中学 2018 年下学期期中考试高二试
8、卷数 学（理科）答案一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、必要不充分 14、 15、 16、093245三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17、 （10 分）解：（1） （2）1m6m18. (本小题满分 12 分)解：（1）已知 ).1,0(2Mp当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，满足题意；l 0x当直线 的斜率存在时，设方程为 ，代入 得1kyxy42，)4(2xkx当 时， 满足题意， ；01:l当 时，令1xyk综上，直线 的方程为： 或 或l0x.16. 由（1）易知
9、，:yMF4:2C联立 得 ，设 ，42xy042),(),(21yxBA则 ，2,12121 y.yOFSoAB19.解：（1）由题意，c1,可设椭圆方程为2114xyb。 2 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C A D A B C C A B B C- 7 -因为 P 在椭圆上，所以 2194b，解得 2b3， 2 4（舍去） 。椭圆方程为 243xy 4 分另解：依题意知 , =4，得椭圆方程。12(0),(F， ， 12aPF18. 依题意知直线 方程为 ，设两交点为lyx12(,)(,)AxyB由 8 分22780143yx12128,xx= 1
10、2 分211()4ABkx284()7720 （12 分）解： 作 PCD于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 ,xyz轴建立坐标系222(0,)1,(0,),(,0),(),(0,1),0)4ABOMN,(1) ,1,4MNPD设平面 OCD 的法向量为 ()nxyz,则 nA即 202yzx取 2,解得 (0,42)(1,1)(0,4)4MNnAA MNOCD平(2)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d,则 为 B在向量 (0,42)n上的投影的绝对值,由 (,02)O, 得 23On.所以点 B 到平面OCD 的距离为 321. （12 分） 【解析】 （1）以 为原点
11、， 、 、 所DAC1D在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则xyz- 8 -、 ，1(6 ,0 )A1( ,6 )C设 ，则 ， Em0( ,60)Fm从而 、1( , )F1E则 ，所以 6()AC1AFCE（2）当 、E、F、 共面时， ，又 ,所以 ，因为111/ACF1/AE=BF，所以 E、F 分别为 AB,BC 的中点，所以 EF= AC=32（3）由（2）知 、 ，设平面 的一个法向量为(6 ,30)(3 ,6 0)1ADE，1( ,)nabc依题意 所以 1DAa1( ,21)n同理平面 的一个法向量为 1CF2 ,由图知，面 与面 夹角的余弦值 E1 12|co
12、sn22（12 分）解析：（1）直线 l：ybx2，坐标原点到直线 l 的距离为 2b1椭圆的离心率 e ， ，解得 a23所求椭圆的方程是 ；632216()3a 213xy（2）直线 ykx2 代入椭圆方程，消去 y 可得：（13k 2）x 212kx9036k 2360，k1 或 k1设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则有 x1x 2 ，x 1x2k23k （x 11，y 1） ， （x 21，y 2） ，且点 E 在以 CD 为直径的圆外。EE . 0 （x 11） （x 21）y 1y20（1k 2）x 1x2（2k1） （x 1x 2）50（1k 2） （2k1）（ ）50，解得 k ，93k23k76综上所述， k1 或 1k 76
