1、1第二章 第四节圆周角1如图，O 的弦 AB 平分半径 OC，交 OC 于 P 点，已知 PA 和 PB 的长分别是方程 x212x+24=0 的两根，则此圆的直径为（ ）A B C D2下列说法中，不正确的是（ ）A直径是弦， 弦是直径 B半圆周是弧C圆上的点到圆心的距离都相等 D在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长3如图，ABC 内接于O，且ABC=70 0，则AOC 为（ ）（A）140 0 （B）120 0 （C）90 0 （D）35 04如图， BD 是 O 的直径，点 A， C 在 O 上， ， AOB=60，则 BDC 的度数是（ ）A 60 B 45 C 35 D 305已知点 A
2、、B、C 是直径为 6cm 的O 上的点，且 AB=3cm，AC=3 cm，则BAC 的度数为（ ）A 15 B 75或 15 C 105或 15 D 75或 10526如图，点 O 是O 的圆心，点 A、B、C 在O 上，AOBC， AOB=38，则OAC 的度数是（）A 52 B 38 C 22 D 197如图，A、B、C 三点都在O 上，ABO50，则ACB（ ）A 50 B 40 C 30 D 258如图所示，点 A，B，C 是O 上三点，AOC130 ，则ABC 等于（ ）A50 B60 C65 D709如图，P 是直径 AB 上的一点，且 PA=2，PB=6，CD 是过点 P 的弦
3、，那么下列 PC 的长度，符合题意的是（ ）APC=1；PD=12 BPC=3；PD=5 CPC=7；PD= DPC= ；PD=10已知：如图，AB 为O 的直径，AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC=45 度给出以下五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧 AE 是劣弧 DE 的 2 倍；AE=BC其中正确结论的序号是（ ）3A B C D 28如图，在O 中，AOCBOD，弧 AD 的度数为 50，求BOC 的度数11如图，A、B、C 为O 上三点，且OAB=55，则ACB 的度数是 度12如图， 是O 直径， 130AOC，则 D=_13如图，
4、 ABC 是 O 的内接三角形，连接 OB、 OC，若 BAC+ BOC=180， BC=2 cm，则 O 的半径为_ cm14如图，O 的半径为 6，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB，OD，若BOD=BCD，则弧 BD 的长为_415如图，在半径为 的 中，点 是劣弧 的中点，点 是优弧 上一点，且 ，下列四个结论： ； ； ；四边形 是菱形，其中正确结论的序号是_16如图，C 过原点 O 并与坐标轴分别交于 A、D 两点已知OBA=30，点 D 的坐标为（0，2 ） ，则点 C 的坐标为_ODCBAyx17如图，点 A，B，C 在O 上，OBC=18，则A= 18如图，C 过原点，与
5、 x 轴、y 轴分别交于 A、D 两点已知OBA=30，点 D 的坐标为（0，） ，则C 半径是_519如图，两圆相交于 A、B 两点，小圆经过大圆的圆心 O，点 C，D 分别在两圆上，若ADB100，则ACB 的度数为_。20D、C 是以 AB 为直径的半圆弧上两点，若弧 BC 所对的圆周角为 25弧 AD 所对 的圆周角为35，则弧 DC 所对的圆周角为_ .21如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于点 D，交 CA 的延长 线于点 E，连接AD、DE（1）求证：D 是 BC 的中点；（2）若 DE=3，BDAD=2，求O 的半径；（3）在（2）的条件下，求弦 A
6、E 的长22如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=5，求ABC 外接圆的半径623按要求用尺规作图,保留作图痕迹，不写作法（1）请在图的正方形 ABCD内，画出一个点 P满足 90AB；（2）请在图的正方形 内（含边） ，画出使 6的所有的点 P，并一句话说明理由24已知：如图，ABC 中，AC=3，ABC=30（1）尺规作图：求作ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积25如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，APC=CPB=60，AP，CB 的延长线相交于点
7、D（1）求证：ABC 是等边三角形；（2）若PAC=90，AB= 23，求 PD 的长26已知：如图， AB是半圆 O的直径，弦 /CDAB，动点 P、 Q分别在线段 OC、 D上，且 DQOP， 的延长线与射线 Q相交于点 E、与弦 相交于点 F（点 与点 、 不7重合） ， 20AB， 4cos5AOC设 Px， CF的面积为 y（1）求证： APOQ；（2）求 y关于 x的函数关系式，并写出 x的取值范围（3）当 E是直角三角形时，求线段 OP的长答案：1A试题分析：由根与系数的关系和根据相交弦定理求解解：由根与系数的关系可得：x 1x2=24即 PAPB=24设 PC=x，则 PAPB
8、=x3x8即 3x2=24解得 x=2则圆的直径 为 42 =8 故选 A2A试题分析：因为直径是圆中最大的弦，所以 A 错误；因为圆上任意两点间的部分是弧，所以 B 正确；因为圆上的点到圆心的距离都等于半径，所以 C 正确；在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，D 正确；故选：A3A试题分析：在圆中同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，所以AOC=140，故选 A.4D解：已知 ，AOB=60，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等并且它所对的圆心角的一半可得 BDC= AOB=30，故选 D. 5C解：如图 1 AD 为直径， ABD= ACD=90在 Rt ABD 中， AD=6， A
9、B=3，则 BDA=30， BAD=60在 Rt ABD 中， AD=6， AC=3 ， CAD=45，则 BAC=105；如图 2， AD 为直径， ABD= ABC=90在 Rt ABD 中， AD=6， AB=3，则 BDA=30， BAD=60在 Rt ABC 中， AD=6， AC=3 ， CAD=45，则 BAC=15故选 C9点拨：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用6D解：AOB=38，C= 12AOB=19，AOBC，OAC=C=19故 选 D7B解： OA=OB， OAB= OB
10、A=50， AOB=180-50-50=80， ACB=40故选 B8C试题分析：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.9D试题分析：根据相交弦定理及“直径是圆的最长弦”进行判断解：由相交弦定理得：PAPB=PCPD，PAPB=26=12，PCPD=12，又 AB 是直径，且 AB=8，也是圆的最长的弦，即 PC+PDAB，则只有答案 D 符合要求故选 D10B试题解析：连接 AD，AB 是直径，则 ADBC，又ABC 是等腰三角形，故点 D 是 BC 的中点，即 BD=CD，故正确；AD 是BAC 的平分线，由圆周角定理知，EBC=DAC= BAC=22.5，故正确；ABE=90
11、-EBC-BAD=45=2CAD，故正确；10EBC=22.5，2ECBE，AE=BE，AE2CE，不正确AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故错误故选 B1135试题分析：先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出AOB，然后根据圆周角定理求解解：OA=OB，OAB=OBA=55，AOB=1805555=70，ACB= AOB=35故答案为 351225解： 130AOC ，5B， 252D132解：如图作 OE BC 于 E BAC+ BOC=180， BOC=2 A， BOC=120， A=60 OE BC， BE=EC= ， BOE= COE=60， OBE=30，
12、 OB=2OE，设OE=x， OB=2x，4 x2=x2+（ ） 2， x=1， OB=2cm故答案为：2点拨：本题考查了三角形的外心与外接圆、圆周角定理垂径定理、勾股定理、直角三角形 30 度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型14411分析：根据圆内接四边形对角互补可得BCD+A=180，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及BOD=BCD，可求得A=60，从而得BOD=120，再利用弧长公式进行计算即可得.解：四边形 ABCD 内接于O，BCD+A=180，BOD=2A，BOD=BCD，2A+A=180，解得：A=6
13、0，BOD=120， 的长= ，故答案为：4.15点 是劣弧 的中点， ，正确 ， ， 为等边三角形， 错误同理可得 为等边三角形， ，正确 ，四边形 为菱形，正确故答案为16 （1， ） 12试题分析：连接 AC，OC，作 CEOD 于 E，CFAO 于 F，因为 OD=2 ，由垂径定理得：OE= ，即 CF= ，因为OBA=30，由圆周角定理得：ACO=2OBA=60，所以OCF=30，OF= CF= =1，因为点 C 在第二象限，所以 点 C 的坐标为（1， ） 1772试题分析：OB=OC，OBC=18，BCO=OBC=18，BOC=1802OBC=180218=144，A= 12BO
14、C= 144=72故答案为： 72184分析：连接 AD，根据圆周角定理得出 AD 为直径，根据圆周角定理得出ADO=30，然后根据直角三角形的性质求出 AD 的长度，从而得出半径详解：连接 AD，AOD=90， AD 为直径， OBA=30， ADO=30，OD= ， AD=8， C 半 径是 4点拨：本题主要考查的是圆周角定理，属于基础题型根据直角所对的弦为直径得出 AD 为直径是解决这个问题的关键1940试题分析：连接 OA，OB，根据圆内接四边形的内对角互补，可得出AOB=80，再根据圆周角定理可求得ACB 的度数试题解析：如图：连接 OA，OB，四边形 AOBD 是圆内接四边形，AO
15、B+D=180，ADB=100，AOB=80，ACB=402030或 80解：C,D 同侧，弧 BC 所对的圆周角为 25弧 AD 所对的圆周角为 35,所以 BOC=50，13 AOD=70，所以 DOC=60，所以， DC 所对的圆周角是 30.C， D异侧， DOB=110，所以 DOC=160，所以 DC 圆周角是 80.21 （1）证明见解析；（2）O 的半径为 102；（3）AE= 4105试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得到 ADBC，应用等腰三角形的三线合一证得点 D为 BC 的中点；（2）应用等腰三角形的性质和判定证得 BD=DE=3，进而求得 BD=3，AD=1，
16、应用勾股定理求得 AB 的长，即可得到半径的长；（3）解法一：通过证明CABCDE，应用相似三角形的性质解得 CE 的长，再求 AE 的长；解法二：连接 BE，通过证明ADCBEC，解得 CE 的长，再求 AE 的长试题解析：（1）证明：AB 为O 的直径，ADBC，又AB=AC，D 是 BC 的中点（2）解：AB=AC，B=C，又B=E，C=E，则 DC=DE，BD=DE=3，又 BD-AD=2，AD=1，在 RtABD 中，BD=3，AD=1，AB= ，则O 的半径为 14（3）解法一：在CAB 和CDE 中，B=E，C=C（公共角） ，CABCDE， ，CA=AB= ， 639105CB
17、DEA，AE=CE-AC= = 解法二：连接 BE，AB 为O 的直径，BEC= ，在ADC 和BEC 中，ADC=BEC= ，C=C，ADCBEC， ， ，AE=CE-AC= = 22 （1）证明见解析（2） 52 试题分析：（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出 BDC，由圆周角定理得出15 DBC= CAD，证出 DBC= BAE，再由三角形的外角性质得出 DBE= DEB，即可得出 DE=DB；（2）由（1）得： BDC，得出 CD=BD=4，由圆周角定理得出 BC 是直径，BDC=90，由勾股定理求出 BC 的值，即可得出 ABC 外接圆的半径（1）证明：AD 平分
18、BAC，BE 平分ABC，ABE=CBE，BAE=CAD， ，DBC= CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：连接 CD，如图所示：由（1）得： ，CD=BD=5，BAC=90，BC 是直径，BDC=90，BC= =5 ，ABC 外接圆的半径= 5 = 5223(1)作图见解析；（2）作图见解析；理由：同圆中同弧所对的圆周角相等试题分析：（1）正方形对角线的交点符合点 P 的要求，作对角线即可；（2）以 AB 为边在正方形内作等边ABP；16作ABP 的外接圆O，分别与 AD、BC 交于点 E、F，由于在O 中，弦 AB
19、所对的 APB上的圆周角均为 60，所以 AEF上的所有点均为所求的点 P试题解析：（1）如图，连接 AC、BD 交于点 P，则APB=90点 P 为所求 （2）如图，画法给分如下：作ABP 的外接圆O，分别与 AD、BC 交于点 E、F，弧 EF 上所有的点均可理由：同圆中同弧所对的圆周角相等24 （1）作图见解析；（2）圆的面积是 9试题分析：（1）按如下步骤作图：作线段 AB 的垂直平分线；作线段 BC 的垂直平分线；以两条垂直平分线的交点 O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆 O 即为所求作的圆如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知 AC3，如图弦 AC 所对的圆周角是
20、ABC=30，所以圆心角 AOC=60，所以AOC 是等边三角形，所以外接圆的半径是 3 故可求得外接圆的面积。（2）连接 OA，OB17AC=3，ABC=30，AOC=60，AOC 是等边三角形，圆的半径是 3，圆的面积是 S=r 2=925 （1）见解析；（2）4.试题分析：（1）由圆周角定理可知ABC=BAC=60，从而可证得ABC 是等边三角形；（2）由ABC 是等边三角形可得出“AC=BC=AB= 23，ACB=60” ，在直角三角形 PAC 和 DAC 通过特殊角的正、余切值即可求出线段 AP、AD 的长度，二者作差即可得出结论试题解析：（1）ABC=APC，BAC=BPC，APC
21、=CPB=60，ABC=BAC=60，ABC 是等边三角形；（2）ABC 是等边三角形，AB= 23，AC=BC=AB= 23，ACB=60在 RtPAC 中，PAC=90，APC=60，AC= ，AP=ACcotAPC=2在 RtDAC 中，DAC=90，AC=3，ACD=60，AD=ACtanACD=6，PD=ADAP=62=426 （1）证明见解析；（2） （ x10）.（3）线段 OP 的长为 8试题分析：（1）连接 OD，通过证明AOPODQ 后即可证得 AP=OQ；（2）作 PHOA，根据 cosAOC= 得到 OH=PO=x，从而得到 SAOP=AOPH=3x，利用三角形相似得当
22、对应边的比相等即可得到函数解析式；（3）分类讨论：当POE=90时、当OPE=90时、当OEP=90时三种情况讨论即可得到正确的结论.试题解析：（1）连接 OD，在AOP 和ODQ 中，OC=OD,OCD=ODC, /CDAB,OCD=COA,POA=QDO.在AOP 和ODQ 中，18，AOPODQ，AP=OQ；（2）作 PHOA 交 OA 于 H，cosAOC= ，OH= PO= x，PH= x，SAOP= AOPH=3x， /CDAB,PFCPAO, ， ,当点 F 与点 D 重合时，CD=“2OC“ cosOCD=210 =16，解得 x= , （ x10） ；（3）当POE=90时，CQ= ，PO=DQ=CDCQ= , x10,PO= （舍） ；当OPE=90时，OPA=90,PO=AOcosCOA=8；当OEP=90时， /CDAB,AOQ=DQO=APO，AOP=AEO=90,此时弦 CD 不存在，此种情况不符合题意，舍；综上，线段 OP 的长为 8
