1、1高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理(第 2 课时)课堂探究 新人教 A 版选修 2-2探究一 用“三段论”表述演绎推理用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可以省略小前提,有时甚至也可以把大前提与小前提都省略在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件【典型例题 1】把下列演绎推理写成三段论的形式(1)在一个标准大气压下,水的沸点是 100 ,所以在一个标准大气压下把水加热到100 时,水会沸腾;(2)一切奇数都不能被 2 整除,2 1001 是
2、奇数,所以 21001 不能被 2 整除;(3)三角函数都是周期函数, ytan 是三角函数,因此 ytan 是周期函数思路分析:解答本题的关键在于分清大、小前提和结论,还要准确利用三段论的形式解:(1)在一个标准大气压下,水的沸点是 100 ,大前提在一个标准大气压下把水加热到 100 ,小前提水会沸腾结论(2)一切奇数都不能被 2 整除,大前提21001 是奇数,小前提21001 不能被 2 整除结论(3)三角函数都是周期函数,大前提ytan 是三角函数,小前提ytan 是周期函数结论探究二 用“三段论”证明几何问题1在平面几何问题、立体几何问题的证明过程中,多数情况下采用的推理形式都是三
3、段论模式,而且证明过程往往是由多个“三段论”构成的2应用“三段论”解决问题时,首先要明确什么是大前提和小前提3 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情况;(3)结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断【典型例题 2】如图,已知平面 平面 ,直线 l , l A,求证 l .2思路分析:由线面垂直的定义证明 l .证明:在平面 内任取一条直线 b,平面 是经过点 A 与直线 b 的平面设 a.(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,大前提 ,且 a, b,小前提所以 a b.结论(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么这条
4、直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,大前提l ,且 a ,小前提所以 l a.结论(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与另一条垂直,大前提a b,且 l a,小前提所以 l b.结论(4)如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直,大前提因为 l b,且直线 b 是平面 内的任意一条直线,小前提所以 l .结论探究三 演绎推理在代数中的应用在数学问题的证明题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提,将一般性原理应用于特殊情况,只要推理形式准确,就能恰当准确地解决问题在解决问题中,对数学中的一般性原理,主要是指数学中的公式、公理、定理、性质
5、等,这就要求我们基础牢固,对涉及的相关知识能灵活应用,并能进行恰当的等价转化【典型例题 3】已知 a ,函数 f(x) ax,若实数 m, n 满足 f(m) f(n),试判5 12断 m, n 的大小关系,并用三段论写出判定过程思路分析:应用指数函数的性质求解解: f(x) ax(0 a1)为减函数,大前提3f(x) ax,且 a ,小前提5 12 f(x) ax 为减函数,结论(a5 12 )y f(x)为减函数时, f(a) f(b)a b,大前提而 f(m) f(n),小前提 m n.结论探究四 易错辨析易错点:因大(小)前提或推理形式错误而导致出错【典型例题 4】如图,已知 S 为
6、ABC 所在平面外一点, SA平面 ABC,平面 SAB平面 SBC求证: AB BC错解:证明:因为平面 SAB平面 SBC,且 BC平面 SBC,所以 BC平面 SAB,故AB BC错因分析:错解中的证明在于使用的大前提“如果两个平面互相垂直,那么一个平面内的直线垂直于另一个平面”是错误的,使用的大前提应该是“如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面” 正解:证明:如图,过 A 点作直线 AE SB 于点 E,因为平面 SAB平面 SBC,且交线为 SB,所以 AE平面 SBC又因为 BC平面 SBC,所以 BC AE.因为 SA平面 ABC,所以 SA BC又因为 AE SA A,所以 BC平面 SAB故 BC AB,即 AB BC反思 (1)利用演绎推理进行解题时,必须注意大前提的正确性,而大前提一般为我们4学习过的概念、公式、法则、公理、定理、推论等,因此在平时学习中要正确理解和掌握这些基本知识,明确这些基本知识的使用条件(2)常见的解题错误:条件理解错误(小前提错);定理引入和应用错误(大前提错);推理过程错误等