1、1高中数学 第三章 数系的扩充与复数本章整合 新人教 B 版选修 2-2知识网络专题探究专题一 复数的概念及几何意义复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略， “桥梁”是设 z x yi(x， yR)，依据是“两个复数相等的充要条件” 此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题【例 1】 设复数 z(1i) m2(24i) m33i.
2、试求当实数 m 取何值时：(1)z 是实数；(2) z 是纯虚数；(3) z 对应的点在直线 x y0 上；(4)| z|0；(5)3i.z解： z(1i) m2(24i) m33i( m22 m3)( m24 m3)i.因为 z 是实数，所以 m24 m30，解得 m1 或 m3.因为 z 是纯虚数，所以Error!解得 m1；由于 z 对应的点在直线 x y0 上，所以( m22 m3)( m24 m3)0，解得 m0 或 m3.因为| z|0，所以 z0，因此Error!解得 m3.2因为 3i，所以 z3i，因此Error!解得 m2.z【例 2】 若 ABC 中， A， B 两顶点对
3、应的复数分别为 1i 与 3i，且 ABC 是以 C为直角顶点的等腰直角三角形，求 C 点对应的复数解：设 C 点对应的复数为 z x yi(x， yR)由于 ABC 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形，所以| | |， ，AC BC AC BC 因此有Error!解得Error! 或Error!即 C 点对应的复数是 1i 或 3i.专题二 复数的运算历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解要熟练掌握除法运算的“分母
4、实数化”法则，将除法运算转化为乘法运算进行【例 3】 计算：(1) ； 2 2i 4 1 3i 5(2) 2 014. 23 i1 23i ( 21 i)解：(1) 2 1 2 2i 4 1 3i 5 24 1 i 4 2 5( 12 32i)5 24 2i 225( 12 32i)2 ( 12 32i)i.3(2) 2 23 i1 23i ( 21 i)014 i ii0. 23 i i 1 23i i 21 007 2i 1 007 23 i ii 23 1i1 007 1 i【例 4】 已知复数 z1 ， z2 a3i( aR)15 5i 2 i 2(1)若 a2，求 z1 ；z2(2)
5、若 z 是纯虚数，求 a 的值z1z2解：由于 z1 13i.15 5i 2 i 2 15 5i3 4i 15 5i 3 4i 3 4i 3 4i 25 75i25(1)当 a2 时， z223i， z1 (13i)(23i)23i6i9113i.z23(2)若 z 为纯虚数，则应z1z2 1 3ia 3i 1 3i a 3i a 3i a 3i a 9 3 3a ia2 9满足Error!解得 a9.即 a 的值为9.专题三 转化与化归思想在解决有关复数的问题中代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程；反过来，
6、有时将实数、几何问题、三角问题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解【例 5】 已知| z4|4 且 z R，则复数 z_.16z解析：设 z a bi(a， bR)，则由已知，得Error!解得Error! 或Error!或Error!或Error!因此 z0(舍去)或 z8 或 z22 i.3答案：8 或 22 i3【例 6】 设关于 x 的方程 x2(tan i) x(2i)0.(1)若方程有实数根，求锐角 和实数根；(2)证明：对任意的 2 k (kZ)，方程无纯虚数根 2解：(1)设实数根是 a，则 a2(tan i) a(2i)0，即 a2 atan 2( a1)i0. a，tan R
7、， a2 atan 20 且 a10， a1 且 tan 1，又 ， .(0， 2) 4(2)设方程存在纯虚数根为 bi(bR， b0)，则( bi)2(tan i) bi(2i)0，即Error! 此方程组无实数解，对任意的 2 k (kZ)，方程无纯虚数根 2专题四 数形结合思想(1)复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义，复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题；(2)任何一个复数 z a bi 与复平面内的一点 Z(a， b)对应，而任一点 Z(a， b)又可以与以原点为起点，点 Z(a，
8、b)为终点的向量 对应，这些对应都是一一对应，由此得到复OZ 4数的几何解法，特别注意| z|，| z a|的几何意义距离；(3)复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则由减法的几何意义知| z z1|表示复平面上两点 Z， Z1间的距离(复数 z， z1对应的点分别为 Z， Z1)；(4)复数形式的基本轨迹：| z z1| r 表示复数 z 对应的点的轨迹是以 z1对应的点为圆心，半径为 r 的圆，单位圆| z|1；| z z1| z z2|表示以复数 z1， z2的对应点为端点的线段的垂直平分线【例 7】 若 zC，且| z22i|1，则| z22i|的最小值是( )A2 B
9、3 C4 D5解析：法一：由| z22i|1，复数 z 对应的点在以(2,2)为圆心，半径为 1 的圆上|z22i| z(22i)|表示圆上点 Z 到 A(2,2)距离的最小值，易知选 B.法二：设 z x yi，由| z22i| x2( y2)i|1，( x2) 2( y2) 21.又| z22i| x2( y2)i| x 2 2 y 2 2 . x 2 2 1 x 2 2 1 8x又3 x1，当 x1 时，| z22i| min 3.1 8 1法三：应用公式| z1| z2| z1 z2|，| z22i|( z22i)4| z22i|4|3，即| z22i|的最小值为 3.答案：B【例 8】 复数 z 且| z|4， z 对应的点在第一象限，若复数 1 i 3 a bi1 i0， z， 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 a， b 的值z解： z (a bi)2ii( a bi)2 a2 bi. 1 i 2 1 i1 i由| z|4 得 a2 b24.复数 0， z， 对应的点构成正三角形，z| z | z|.z把 z2 a2 bi 代入化简得 a23 b2，代入得，| b|1.又 Z 点在第一象限， a0， b0.由得Error!，故所求值为 a ， b1.35
