1、1高中数学 第一章 统计案例本章整合 新人教 A 版选修 1-2知识网络专题探究专题一 回归分析中的转化与化归思想在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系在某些情况下，可以通过换元和适当的函数变换，将非线性回归模型转化为线性回归模型求解【例 1】在对某种昆虫的调查中，其产卵数 y(个)和温度 x()有关，下表为收集到的7 组数据：x 21 23 25 27 29 32 35y 7 11 21 24 66 115 325(1)作出 x 与 y 的散点图，并猜测 x 与 y 之间的关系；(2)建立 x 与 y 的回归模型解：(1)根据表
2、中数据作散点图，如图所示从图中可以看出，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系根据已有的函数知识，2可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y c1 的附近，其中 c1， c2为待定参数2ex(2)令 zln y，则变换后样本点分布在直线 z bx a(aln c1， b c2)的附近，因此可以用线性回归方程来拟合，这样就可以利用线性回归模型来建立 y 与 x 之间的非线性回归方程由题设中的数据可得变换后的样本数据如下表所示：x 21 23 25 27 29 32 35z 1.946 2.398 3.045 3.178
3、 4.190 4.745 5.784根据表中数据求得回归直线方程为 0.272 x3.849，故所求回归方程为 z y e 0.272x3.849 .【例 2】在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4y 16 12 5 2 1试建立 y 与 x 之间的回归方程解：由数值表可作散点图如下图根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系，设 y ，令 t ，则 y kt，原数kx 1x据变为：t 4 2 1 0.5 0.25y 16 12 5 2 1由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系，列表如下：3i t
4、i yi tiyi ti21 4 16 64 162 2 12 24 43 1 5 5 14 0.5 2 1 0.255 0.25 1 0.25 0.625 7.75 36 94.25 21.312 5所以 1.55， 7.2.t y所以 4.134 4， 0.8.b 512iita y b t所以 4.134 4 t0.8.y 所以 y 与 x 之间的回归方程是 0.8.y 4.134 4x专题二 独立性检验思想独立性检验就是根据采集的样本数据，利用公式求出随机变量 K2的观测值 k，通过比较 k 与临界值 k0的大小来确定两个分类变量是否有关系的方法【例 3】某电视台联合相关报社对“男女同
5、龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：赞同 反对 总计男 198 217 415女 476 109 585总计 674 326 1 000根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为对这一问题的看法与性别有关系？( P(K210.828)0.001)解：假设 H0：“对这一问题的看法与性别无关” ，由列联表中的数据，可以得到 K2的观测值kn ad bc 2 a b c d a c b d1 000 198109 217476 2415585674326125.16110.828，又 P(K210.828)0.001，故在犯错误的概率不超过 0.001
6、的前提下认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与4性别有关专题三 数形结合思想数形结合思想是一种非常重要的数学思想，就是把“数”与“形”有机地结合起来，充分应用“图形”的直观性， “数”的严密性、准确性，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使问题得到解决【例 4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山下建立了一个观测站，测量了最大积雪深度 x(尺)与当年灌溉面积 y(千亩)，得到连续 10 年的数据如下表：年序 最大积雪深度 x/尺 灌溉面积 y/千亩1 15.2 28.62 10.4 19.33 21.2 40.54 18.6 35.65 26.4 48.96 23.4 45.07 1
7、3.5 29.28 16.7 34.19 24.0 46.710 19.1 37.4试求回归方程解：为了研究这些数据中所蕴含的规律，我们把各年最大积雪深度作为横坐标，相应的灌溉面积作为纵坐标，作散点图如图所示从图中看到，数据点大致落在一条直线附近，这告诉我们变量 x 与 y 之间的关系大致可看作是线性关系、从图中还看到，这些点又不都在一条直线上，这表明 x 与 y 的关系并没有确切到给定 x 就可以唯一确定 y 的程度事实上，还有许多其他因素对 y 产生影响，如当年的平均气温、当年的降雨量等，这些都是影响 y 取值的随机因素如果我们研究 x与 y 的关系，利用公式，得： (15.210.419.1)18.85，x1105 (28.619.337.4)36.53，y110(xi )2227.845，10i 1 x(xi )(yi )413.065，10i 1 x y于是 1.813， 36.531.81318.852.355.b 413.065227.845 a 从而回归方程为 1.813 x2.355.y
