1、主要内容,差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便于处理和研究。,一阶差分方程,n 阶差分方程,修正模型,差分方程建模实例,例1 种群生态学中的虫口模型。在种群生态学中考虑象蚕、蝉这种类型的昆虫数目（即“虫口”）的变化，注意这种虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。,第n 年的虫口数,成虫平均产卵数,阻滞系数,标准形式（Logistic方程）,影响虫口的因素,周围环境提供的空间和食物有限,虫子之间为了生存互相竞争而咬斗,传染病及天敌
2、对虫子生存的威胁,简化规律,咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件,只虫子配对的事件总数,影响虫口的因素量化,例2 鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问题的模型。,n 单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量,鲨鱼和小杂鱼的繁殖率,（1）不考虑它们相互之间的影响,（2）考虑它们相互之间的影响,小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为,鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为,用差分方程解决实际问题的步骤：,第一步 设定好实际问题中的未知函数（数列），按照已知相关领域的物理、力学、经济的学科的规律建立相邻的自变量值（一般就是相邻的时间）的未知函数取值间的依赖关系，建立差分方程模型。,第二步 对已建立的差分方程模型，若能直接
3、求解的则求出其解，若不能求解或直接求解比较困难的，则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质。,第三步 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照，然后给实际问题一个满意的答复。,一、差分方程的概念,1. 差分的概念及简单性质,实数序列,二阶差分,一阶差分,差分算子,例 求序列 的一阶差分与二阶差分。,MATHEMATICA,定理1 若序列 的通项公式是 的一次函数，则其一阶差分为常数，二阶差分为零。反之依然。,序列图形（点列）与差分间的关系,数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较,函数,数列,2. 差分方程,由方程的迭代关系可得方程的任意有限项（方程的数值解），特殊情形能得到序列的通项公式。,定义 含
4、有序列的任意项 且含有其差分的方程称为差分方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。,定义 差分方程的一个解析解是指序列 的一个通项公式，把它代入差分方程，就得到一个恒等式。若解中不含任意常数，称这样的解为方程的特解，若解中含有任意常数，称这样的解为方程的通解。,二、差分方程的建立,例1 某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据：,建立方程,例2 某人在银行贷款，打算每月还款200元。假定贷款年利率为12%（月利率为1%），设 为第 个月开始时的欠款，建立还款模型。,（一阶线性常系数非齐次差分方程）,MATHEMATICA,贷款分别为5000，20000，25000的还款情况比较,例
5、3 冰箱冷藏室的温度调节在50C。饮料放在冷藏室后每分钟温度的变化与冰箱温度和饮料温度的差成正比，通过实验知比例系数约为0.008。设饮料放入冷藏室n分钟后为tn，求其温度变化遵循的差分方程。,例4 Fibonaccii问题。考虑家兔的繁殖，假定现有一对幼兔（一雌一雄），在它们成长成一对成兔后每月生一对幼兔，而每对幼兔在一个月后变成成兔。如果一代一代繁殖下去，问在n个月后将有多少对家兔？,第0个月,第1个月,第2个月,第3个月,第4个月,1,1,2,3,5,Fibonaccii数列,例5 硬币喷泉问题（n个硬币的一种多行排列）。第一行是k个硬币两两相邻，任何更高行的每个硬币恰好与其下面一行的两
6、个硬币接触，称其为（n, k）喷泉。,两个（17，8）喷泉,喷泉块：每一行的硬币邻接,问题 有多少个喷泉块它的第一行恰好是k个硬币？,喷泉块,非喷泉块,递推公式,一般情形,三、差分方程的求解,一阶线性方程,一阶线性差分方程,对应齐次方程,齐次方程（2）的通解为,设 为常数，,，则,此时，方程（1）有通解,（特解）,二阶线性方程,二阶线性齐次差分方程,设 满足方程（3），,则,（特征方程）,则得通解,1）若方程（4）有两个不同的实根 和 ，,（ 其中 为任意常数）,2）若方程（4）有两相同的实根 ，,则得通解,（ 其中 为任意常数）,3）若方程（4）有两复数根 ，,则得通解,（ 其中 为任意常数
7、）,例1 求解,（一阶非线性差分方程）,解得,（原方程的解）,例2 求解Fibonaccii方程,对应的特征方程为 ，,解得,因此方程的通解为,试用Mathematica求出在所给初始条件下的 和 ， 并利用该公式求,四、发生函数方法,硬币喷泉问题,发生函数或母函数（generating function）,因此，只要求出发生函数 ，通过求该函数的幂级数展开，便可得到,法则,五、一阶非线性方程,没有求非线性差分方程解析解的一般理论，可以就合理的n，用迭代产生数值解和图形解，由此分析非线性差分方程解的长期性态。,当代计算机科学的发展，特别是图象显示系统的发展，赋予差分方程这个传统数学分支以新的内容和方法，使之在科学的各个部门、在人类活动的各个领域、也在数学自身得到广泛和卓有成效的应用。,例 就不同的初值 和参数 ，讨论方程 的解的性态.,
