1、 2016 级一轮复习第三次质量检测数学试题（理科）（满分：150 分 时间：120 分钟）一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）1已知集合 ,则 （）A B C D 2已知 ，则 （ ）A B C D 3我国古代名著 九章算术 中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 尺，重 斤，尾部 尺，重 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤 ”（ ）A 6 斤 B 7 斤 C 斤 D 斤4. 已知向量 且 ，则 （ ）A B C D 5已知 ，则 （ ）A 7 B C D 6已知定义
2、在 上的函数 ，设两曲线 与在公共点处的切线相同，则 值等于（ ）A -3 B 1 C 3 D 57已知各项均不相等的等比数列 成等差数列，设 为数列 的前 n 项和，则 等于（ ）A B C 3 D 18设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A B C D 9已知 是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）A B C D 110.已知实数 、 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）A B C D 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A B C D 12若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为（ ）A B C D
3、二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13若实数 满足 则 的最小值为_14三棱柱 中， ， 、 、 ，则该三棱柱 的外接球的表面积为 15.下列四个命题中真命题的序号是_“ ”是“ ”的充分不必要条件；命题 ，命题 ，则 为真命题；命题“ ”的否定是“ ”；“若 ，则 ”的逆命题是真命题.16已知 ，关于 的方程 恰有三个不等实根，且函数的最小值是 ，则 _三、解答题（第 17 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分）17 已知函数 （1）求函数 的单调增区间；（2）若 ，求函数 的值域18 已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足（1）求数列 通项公式；（2）令 ，求数
4、列 的前 项和 19如图，在ABC 中，点 P 在 BC 边上，PAC60，PC 2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB 的面积是 ，求 AB20数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 （1）求 的表达式； (2)设 ,求数列 的前 项和 21如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为等边三角形（1）求证： （2）若 ， ，求二面角 的余弦值22.已知函数 .(1)若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；(2)若函数 有两个不同的极值点，记 ,且 证明参考答案1 C 2 D 3 D 4B 5C 6D 7A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 D 11【解析】由三视图可得，该几何体为
5、如图所示的三棱锥 ，故其体积为 选 B12 D【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线 上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线 上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.详解：由题意可得，其结果应为曲线 上的点与以 为圆心，以 为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线 上的点与圆心 的距离的最小值，在曲线 上取一点 ，曲线有 在点 M 处的切线的斜率为 ，从而有，即 ，整理得 ，解得 ，所以点满足条件，其到圆心 的距离为 ，故其结果为，故选
6、D.点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果 .13 148 15 16516【解析】【分析】由条件可得直线 与 相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得的方程，再由函数 的单调性，可得 的最小值，化简变形即可得到 的关系式，可得所求值【详解】关于 的方程 恰有三个不等实根，可得直线 与 相切相切，设切点为 ， ，则 ，消去 ，可得 设 与 轴的两个交点的横坐标为： ，即有函数，当 时， 取得最小值是 ，即有 可得 即为 ，化为 ，可得 或 ，
7、由 ，可得 ，即17 （1）由 ,所以函数 的单调增区间是（2）由 得从而 ，所以函数 的值域为 .18 数列 的前 n 项和 ，19（ 1） ；（ 2）AB(1)在APC 中，因为PAC60，PC2，APAC 4，由余弦定理得 PC2AP 2AC 22APACcos PAC，所以 22AP 2 (4AP) 22AP(4AP)cos 60，整理得 AP24AP4 0，解得 AP2.所以 AC2，所以APC 是等边三角形所以ACP60.(2)由于APB 是APC 的外角，所以APB120.因为APB 的面积是 ，所以 ，APPBsin APB .所以 PB3.在APB 中，AB 2AP 2PB
8、22APPBcos APB2 23 2223cos 12019，所以.20 （ 1） ；（ 2） 。（1） 得 ,(2) .（2） 1 （1）见解析（2）0【解析】【分析】（1）取 AD 中点 E，连接 ，由已知可得 ，又 即可证平面 ，从而可得 ；（2）建立相应的空间直角坐标系，应用面的法向量垂直得到其余弦值为 0.【详解】（1）因为底面 ABCD 为菱形，且 ，所以 为等边三角形如下图，作 ，则 E 为 AD 的中点又因为 为等边三角形，所以 因为 PE 和 BE 为平面 PBE 内的两条相交的直线，所以直线 平面 PBE，又因为 PB 为面 PBE 内的直线，所以 （2） 为等边三角形，
9、边长为 2，所以 ， ，因为 ，所以 面 ，如图建立空间直角坐标系 ，则 ，设平面 的法向量为 ，即 ，即 ，取 ，则 ， ，设平面 的法向量为 ，即 ，即 ，取 ，则 ， ，因为 ， 设二面角 的平面角为 ，则有 .22(理) 1 （1） （ 2）见解析(1) 函数 在 上为增函数即 在区间 上恒成立，变量分离求最值即可；(2) ，要证 ，即证等价于证 ，即 .【详解】解:（1 ）由题可知，函数 的定义域为 ，因为函数 在区间 上为增函数，所以 在区间 上恒成立等价于 ，即 ，所以 的取值范围是 .（2）由题得， 则因为 有两个极值点 ，所以欲证 等价于证 ，即 ，所以因为 ，所以原不等式等价于 .由 可得 ，则 .由 可知，原不等式等价于 ，即设 ，则 ，则上式等价于 .令 ，则因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，所以当 时， ，即 ，所以原不等式成立，即 .
