1、1 页山西省太原市外国语校 2016 届高三下学期 5 月半月考理科数学试题一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1若集合 312|xA， 02|xB，则 BA（ ）A 0|x B 0| C | D 10|x2下列说法正确的是（ ）A “ 9a”是“ 3a”的充分不必要条件B “ 0xR，使得 002sinix”的否定是“ 2,sinxRx”C若 是假命题，则 AB是假命题D “若 a，则 2xa有解”的否命题为“若 0a，则 20a无解”3已知数列 n满足 12430,13n na则 的 前 项 和 等 于A. -106 B. -9 C. -10 D. -103+4设三条
2、不同的直线分别为 ,ml，两个不同的平面分别为 ,则下列说法正确的是（ ）A若 /,mn，则 /B若 为异面直线，且 ,n，则 /C若 ,，则 D若 /ml，则 /ml5已知复数 iz132（ 为虚数单位） ，则 z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6已知函数 ()sin()0,)fxAx的图象与 x轴的一个交点 (,0)12到其相邻的一条对称轴的距离为 4若 312f，则函数 (fx在 0,2上的值域为（ ）A ,2 B 3, C , D 31,7某程序框图如图所示，若输出 43S，则判断框中 M为（ ）2 页开 始 结 束 S 0， k 1 M 是
3、输 出 S 否 k k 1 32kA 7k？ B 6k？ C 8k？ D 8k？8若椭圆21(0)xymn和双曲线21(0,)xyab有相同的焦点 F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|等于A.ma B. ()a C. 2m D. ma9如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为 16239，则圆锥的母线长为（ ）A 2 B 23 C4 D 2310用红、黄、蓝等 6 种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）A610 B630 C950 D128011如图，已知在等腰梯形
4、 A中，ABCD，3 页45BAD， ,EFG分别是 ,ABCD的中点，若 EF在 AG方向上的投影为 27140AD，则|C（ ）A1 B2 C3 D412已知关于 x的方程 2ln0ax有唯一解，则实数 a的值为（ ）A1 B 1 C 1 D 1二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知函数 21(),)xff，则 (3)f ；当 0x时，不等式 ()2fx的解集为 14已知实数 x、 y满足02xy，则 213log()yzx的取值范围是_15如图，已知点 D在 ABC的 边上，且 90DAC， 6cs3， AB， 6D，则sinAB_16已知函数 2,0()165
5、xf，若函数 ()yfxa有 6个零点，则实数 a的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17已知正数数列 na满足： 1， 2211nnnaa数列 nb满足 13nn，且 29b（）求数列 、 b的通项公式；4 页（）已知 2ncab，求数列 nc的前 项和 nT18如图所示，平面 ABC平面 DE， /BC， 12DE， 2BC， ABC，,MN分别为 ,DE中点（1）证明：平面 MNC平面 BDE；（2）若 E，点 P为棱 A的三等分点（近 A） ，平面 PMC与平面 AB所成锐二面角的余弦值为 39，求棱 的长度192016 年微信宣布：微信朋友圈除夕前后 10 天的所有
6、广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到 9 位数某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性 500 人，女性 400 人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了 45 人的测评结果，并作出频数统计表如下：（）由表中统计数据填写下边 2列联表，并判断是否有 90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关” ；男性 女性 总计喜欢非喜欢总计参考数据与公式：22()(nadbcK，其中 nabcd临界值表： 20()Pk.10.5.107638465 页（）若从样本中的女性中随机抽取 3 人，求恰有 2 人非喜欢的概率（）若以样本的频率估计概率，从参加调查
7、问卷的人中随机抽取 2 名男性和 1 名女性，求其中非喜欢的人数 X的分布列和数学期望20已知椭圆 C：21(0)xyab的右焦点到直线 30xy的距离为 5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 （1）求椭圆 的方程；（2）在 x轴上是否存在一点 Q，使得过 的直线与椭圆 C交于 A、 B两点，且满足 21QAB为定值？若存在，请求出定值，并求出点 的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数 2()1(fxabxe为自然对数的底数)（1）若 a，求函数 xFf的单调区间；（2）若 eb21，方程 ()e在 ),0(内有解，求实数 a的取值范围请考生在（22） 、 （23）两题中任选一题
8、作答，如果多做，则按所做第一个题目计分， 22选修 4-4：极坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的非负半轴重合若曲线 C的极坐标方程为6cos2in，直线 l的参数方程为 12ty（ 为参数） （1）求曲线 C的直角坐标方程与直线 l的普通方程；（2）设点 (,)Q，直线 l与曲线 C交于 ,AB，求 |Q的值23已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x) x22 x.(1)解关于 x 的不等式 g(x) f(x)| x1|；(2)如果对 xR，不等式 g(x) c f(x)| x1|恒成立，求实数 c 的取值范围高三年级理数月考参考答案
9、6 页1B 2D【解析】本题宜采用排除法，选项A 中，29a可得 3或 a，则 29不一定得到 3a，而 可以得到 29a，故是必要不充分条件，故排除；选项 B 中，否定应为 ,sin2xRx，故排除；选项 C 中，设命题 ：6 是 3 的倍数；命题 B： 6是 4 的倍数则命题 A 是真命题，命题 B 是假命题，则 AB为假命题，但 AB是真命题，故排除；故选项 D 正确，故选 D【命题意图】本题主要考查常用逻辑用语的各类形式及其真假判断，属于容易题3C 4D【解析】本题宜采用排除法进行判断选项 A 中，该条件下， m也可能；选项 B 中， l也可能；选项 C 中，直线 n与平面 不一定垂直
10、，也可能平行故选 D【命题意图】本题主要考查空间直线、平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中等题5C 6C【解析】由题可得， 4T，所以 2，即 当 12x时， sin()06，解得,kZ，因为 0，所以 6，所以此时 ()fAx所以3()sin122fA，所以 3A，即 ()3sin6fxx因为 0,2，所以7,6x，所以 (),2fx故选 C【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用属于中等题7D【解析】因为 1(312)32kk，则由程序框图知，第 1 次循环结果： 1k，1(4)S；第 2 次循环结果： 2k ， 11(4)(74)(7)33S；第 3 次循环结果： ， 70
11、0；第 4 次循环结果： 4k， (1)(1)(1)；题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C D C C D A A B B B7 页第 5 次循环结果： 5k， 11(3)(63)(6)S；第 6 次循环结果： 6， 99；第 7 次循环结果： 7k， (1)(21)(21)33；第 8 次循环结果： 8， 455S，满足条件，此时条件 M为k？，故选 D【命题意图】本题考查含有循环程序的程序框图等基础知识，意在考查学生的识图能力、计算能力8A 9A【解析】根据三视图知几何体如图所示，底面所在圆的半径 221(3)r，圆锥的高为224lrl，几何体的底面面
12、积为 283，则由题意知218162(3)9lA，解得 l，故选 A【命题意图】本题考查三视图、圆锥体积等基础知识，意在考查学生的识图能力、转换能力、空间想象能力、计算能力10B【解析】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有 1114555460AA+=种；第二类：涂三个红色圆，共有 152A=种；故共有 630 种.考点：排列、组合及简单计数问题 11B【解析】以 A为原点， B所在直线为 x轴建立如图所示的坐标系，设 4AB，则 (0,)， (4,)B，(2,0)E因为 45D，设 (,)0，则 (4,)Cx， (2,)Gx，所以 2xF，所以,Gx， (2,)xF，所以 EF
13、在 AG方向上的投影为 |cos,|EAGE22()7140Dx，即8 页22()714()0xx，解得 1或 6x（舍去） ，所以 42CD，所以|ABCD，故选 B【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的投影等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、数与形的转化能力，以及考查坐标法、方程思想的应用12B【解析】令 2()lnfxax， 22()()afxxa令 ()0fx，即02ax ， 0， 4当 ,0时， f， ()f在),(0上单调递减；当 ),(0x时， ()0fx， ()fx在 ),0上单调递增又 0fx有唯一解， 0()fx，即20lna，两式相减得 02l
14、naxa，即02ln1，解得 1x， 2，故选 B【命题意图】本题考查函数与方程的关系、函数单调性与导数的关系等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查转化思想、方程思想的应用13 ； (,)【解析】 13(2)(2ff；因为 0x，所以 211()xf，所以 21x，化简得 10x，所以不等式的解集为 (,)【命题意图】本题主要考查分段函数求值问题，属于容易题14 (,【解析】作出不等式组02yx所表示的可行域如下图所示令 1yx，它表示平面区域内的点 ,xy与定点 (1,)C所在直线的斜率由直线 20xy得 (,)B，所以 01()2BCk又9 页过点 C与直线 0xy平
15、行的直线斜率为 1，所以 的取值范围是 1(,2，所以 132yx，则213log()(,z【命题意图】本题考查线性规划、对数函数的单调性等基础知识，意在考查学生作图与识别能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力15 2【解析】因为 90DAC，所以 90ADC，则 sinsi(90)cosADCC 63，6sinsi()sin3B，所以在 B中，由正弦定理，得6sin1siDAB， 2cos3AD在 A中，由余弦定理可知，22cosB，即 280，解之得 52D或3A由于 ，所以 3，所以 1sin23B【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，意在考查学生的识别能力、分析问题与解决问
16、题的能力、运算求解能力，以及数形结合思想、转化思想的应用16 41a【解析】由题可知，函数 ()fx的图象如图所示令 ()fxat，则要使 ()yfxa有 6个零点，则由 ()0ft，解得 ,5t所以有 ()fx或 1或 ()5fx，且 15对于上述方程，要满足条件，则其零点的个数可能为 2,或 ,3或 ,0三种可能若零点个数分别为2,，则有 10a或 54aa，解得 a；若零点个数分别为 1,3，由图知，若 4，则 1，所以 ，满足条件，所以 1；若 5，505，无解；若零点个数分别为 3,0，则有 ,4，无解综上可知，满足条件的实数 a的取值范围是 a10 页【命题意图】本题主要考查分段函
17、数求零点问题，属于较难题17 （） 1()21nan32+1,nb为 奇 数为 偶 数（） nnTPB112543(),3426,nn为 奇 数为 偶 数【解析】由 2211nnnaa，可得 11()nnaa，即 1()()()n，因为 0，所以 10n，故 12na所以数列 是一个首项 1a，公差 2d的等差数列，故 ()nn当 1时，由 13nb，知 123b，又 29，解得 13b当 2时，由得 1nn 得， 13nb所以，数列 n的奇数项构成一个等比数列；偶数项构成一个等比数列，公比均为 3q所以当 为奇数时，11322nnbq；当 n为偶数时， 112293nn11 页所以32+1,
18、nb为 奇 数为 偶 数（）记 npa，数列 np的前 项和为 nP；数列 nb的前 项和为 nB；则 nncb， TPB而 123152(3)2(1)nnP ， +2 5(2)nn ， 得， 12311nn 21()()n18()2n623所以 1()6nnP当 为偶数时， 1231.nnBbb134(.)()b229()nn221(3)(1)6nn24()n当 为奇数时， 1为偶数，所以111222454(3)3nnnnnBb 故 nnTP1125(),43326,nn为 奇 数为 偶 数12 页【命题意图】本题主要考查数列的表示、通项公式的求解以及数列求和问题等，考查转化与化归、分类讨论
19、的数学思想以及基本的运算能力等，是中档稍难题 18 （1）见解析；（2） 3AB【解析】 （1）证明：因为 ,MN分别为 ,DEA中点，所以 /NE，所以 /平面 因为 BCD，且 12，所以 /所以四边形 为平行四边形所以 /ME，所以 /平面 ABE因为 CN，所以平面 /平面 因为平面 AB平面 CD， 所以 平面 ，所以平面 E平面 所以平面 MN平面 （2）由题可得，四边形 是等腰梯形因为 ，所以有 BE故可以点 为坐标原点，以 ,DA所在直线分别为 ,xyz轴，建立如图空间直角坐标系因为 4,2ED，所以 23设 Ba，则 (20)(3,0)(,)(0,)B，因为点 M为 ED中点
20、，所以 (1,30)点 P为棱 A的三等分点（近 A） ，所以 13PA，所以 23(0,)Pa因为 12BCED，所以 (1,30)设平面 的一个法向量为 ,mxyz，则有 30AazmBxy，取 3,所以 (3,10)设平面 PMC的一个法向量为 (,)nxyz ，则有 n203xya ，取 1，所以 (0,231)na设平面 PC与平面 AB所成锐二面角的大小为 ，则 239cos1mna，解得所以 313 页【命题意图】本题主要考查空间直线、平面的垂直、平行的证明，以及二面角的成角问题，属于中等题19 （）没有 90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关” ；（） 538；（） X的分布列
21、为0 1 2 3P270651所以 9123.0EX【解析】 （）设从男性中抽出 m人，则 45， 25m， 80,52yx列出 列联表，得：男性 女性 总计喜欢 15 15 30 非喜欢 10 5 15总计 25 20 45而 706.215.89205130425130)(42 K ， .9， (.76).P，所以没有 %的把握认为“喜欢抢红包与性别有关” （）由（）知，样本女性中有 15 人喜欢，5 人非喜欢，所以从中随机抽取 3 人，恰有 2 人非喜欢的概率125308CP（）方法一：由题意，被调查的男性中非喜欢的概率为 1p；女性中非喜欢的概率为 25104p设 2 名男性中非喜欢的
22、人数为 x，1 名女性中非喜欢的人数为 y14 页则 Xxy的可能取值为 0,1,2,3其中 (0)0)Pxy（ 02217()()540C； 1,Py（ （ 1022 2()()(1)54C90；(),0),)PXxyPxy（ （201121(5454CC6；(3),1)PXxy（ 20()25所以 的分布列为0 1 2 32790651所以 123.0EX方法二：由题意，被调查的男性中非喜欢的概率为 125p；女性中非喜欢的概率为 2504p设 2 名男性中非喜欢的人数为 x，1 名女性中非喜欢的人数为 y由题意 (,)xB， (,)y则 X的可能取值为 0,1,2,3因为 xy，所以 2
23、1() .0554EXxyE【命题意图】本题主要考查独立性检验中相关数据的搜集与分析、古典概型的求解、离散型随机变量的分布列与期望等，考查基本的逻辑推理与计算能力、或然与必然的思想等，是中档题20 （1）219xy；（2）存在点 6(,0)5Q，使得 21QAB为定值【解析】 （1）由题意知右焦点 (,0)c到直线 3xy的距离 |32|5cd， 2c，则 28ab 15 页又由题意，得 210ab，即 210ab， 由解得 9， ，所以椭圆 C的方程为21xy（2）假设存在点 Q，使得 2AB为定值，设 0(,)Qx， 当直线 AB与 x轴重合时，有20222001811(3)()(9)x，
24、当直线 与 轴垂直时， 22 20091xQAB，由20201818(9)x，解得 065x，此时 2081x， 所以存在点 6(,)5Q，使 21AQB为定值 10根据对称性，只需考虑直线 过点 6(,0)5，设 1(,)Axy， 2(,)B，又设直线 AB的方程为 xmy，与椭圆 C的方程联立，化简得 219(9)05y，所以 1225(9)my， 12295()y又 2 22211116()()QAmyyx同理 22()By，所以21122221()1()()yyQAmm，将上述关系代入，化简可得 20QAB16 页综上所述，存在点 65(,0)Q，使得 21QAB为定值【命题意图】本题
25、主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力21 （1）见解析；（2）实数 a的取值范围是 )21,(e【解析】 （1）当 2时， 2()xFxb，2()()11)()Fxbe当 0时，若 或 x，则 0x；若 1bx，则 ()0Fx；当 时， ()0；当 b时，若 1x或 b，则 ()Fx；若 x，则 ()x，所以，当 时， ()F的递增区间为 ,1b， (,)，递减区间为 1,b；当 0b时，()Fx的递增区间为 ,；当 0时， )x的递增区间为 (,)， ()，递减区间为1,b（2）令 2()()1xxgefab，则
26、 )(xg在 1,0内有零点设 0x为 在 1,内的一个零点，则由 ,0知 )(在区间 ),0(x和 1,(0上不可能单调递增，也不可能单调递减设 )(gh，则 )(xh在区间 ),(0x和 1,(上均存在零点，即 )(h在 ,上至少有两个零点，baex4)(， ae4，当 1时， 0)(x， )(在区间 ),(上递增， )(xh不可能有两个及以上零点；当 4时， h， 在区间 10上递减， 不可能有两个及以上零点；当 ea时，令 )(x，得 ),(4lna， )(x在区间 )4ln(,0a上递减，在 )1,4(lna上递增， )(x在区间 1,0上存在最小值 h，若 h有两个零点，则有 0)
27、(l， )(， )1(h， 44ln64ln)4(ln eaabaa 设 )1(,23exxx，则 xln2)(，令 0)(，得 ex，17 页当 ex1时， 0)(x， )(递增，当 ex时， 0)(x， )(递减，1)(ma e， 0)4ln(ah恒成立，由 20bh， )12b，得 21ae，当 2e时，设 )(xh的两个零点为 1x， ，则)(xg在 ,1递增，在 ,21递减，在 ),(2递增， 0)(1gx， 0)1(2gx，所以 在 )(2x内有零点，综上，实数 a的取值范围是 )2,(e【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数与方程、不等式解法等基础知识，意在考查逻
28、辑推理能力、等价转化能力、运算求解能力，以及考查函数与方程思想、分类讨论思想22 （1） 30xy；（2）5【解析】 （1）由 6cosin，得 26cos2in，所以 2xy，即曲线 C的直角坐标方程为 60xy由 t，消去参数 t，得直线 l的普通方程为 3（2）由（1）知直线 l的参数方程转化为21xty，代入曲线 C的直角坐标方程 260x得 2350tt由韦达定理，得 125t，则 12|QABt【命题意图】本题主要考查直线的参数方程与圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力23 （1） ,2（2） 9,8【解析】(1)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称， g(x) f( x)( x22 x)， g(x) x22 x， xR.原不等式可化为 2x2| x1|0.上面的不等式等价于10， ，或 210x， ，18 页由得1 x 12，而无解原不等式的解集为 ,.(2)不等式 g(x) c f(x)| x1|可化为 c2 x2| x1|.令函数 F(x)21 ， ， ， ，当 x1 时， F(x)min2；当 x1 时， F(x)min F 4 98.综上，可得函数 F(x)的最小值为 ，所以实数 c 的取值范围是 9,8
