1、1对数与对数函数一基础知识1对数(1)对数的概念如果 ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记)1,0(aNab )1,0(logaNba(2)对数的性质：零与负数没有对数 01log1(3)对数的运算性质 Maaallogl其中 a0,a0,M0,N0naall(4)对数换底公式： )10,10,(ogmaNm且且2对数函数一般形式： y= x (a0 且 a1)al定义域：(0,+ ) 值域：(0,+ ) 过定点：（1，0）图象：单调性： a 1,在(-,+ )上为增函数a0 当 y0时且 0时且3.记住常见对数函数的图形及相互关系二、题型剖析1对数式的化简和运算题组指数式与对数式的
2、互化将下列指数式改写成对数式； ； ；624273205a 45.021b2将下列对数式改写成指数式； ；3125log23log169.1lga题组计算：（1） ； （2） ； （3） ；la3l8lolg254（4） ； （5） ； （6） 。52og0l.52g4o(16)题组计算： l)(l lll)(l 22换底公式及应用例 2（1）已知 （2）若4.1log,35log7求m aa3)(416log:,27log1求 证思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。3指对数互化例 3已知 x,y,z 为正数，满足 zyx643 求证： 比较 3x、4y、6z 的
3、大小zy12思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。4对数函数的图象例 4.图中的曲线是对数函数 的图象，已知 的取值为 、 、 、 四个值，则相应xyaloga234561于曲线 、 、 、 的 的值依次为【 】1C234A 、 、 、 B 、 、 、5632615C 、 、 、 D 、 、 、4训练：若 ，则函数 的图象不经过 【 01alog()ayx】A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限0yx1C234C3若 ，则 的取值范围是 【 】143logaA B C D),0(),43()1,43()43,0(,15对数函数的性质例 4.已知函数 是实数集 上的奇
4、函数，且当 时，xfR0x1log2xf（其中 且 ）0a1求函数 的解析式；画出函数 的图像；当 时，写出 的范围f例 5. 已知函数 .xf10,logaba且求 的定义域；判断 的奇偶性；讨论 的单调性。f xf xf6.综合运用已知 ， ，试比较 与 的大小3log1xf2logxxfg已知 是奇函数 （其中 ，1log)(xmfa )1,0a（1）求 的值；（2）讨论 的单调性；)(f（3）当 定义域区间为 时， 的值域为 ，求 的值.)2,(a)(xf),(a4(3)对于函数 ，解答下述问题：)32(log)(1axxf（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函
5、数的值域为 R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在 内有意义，求实数 a 的取值范围；),（4）若函数的定义域为 ，求实数 a 的值；),3()1,(（5）若函数的值域为 ，求实数 a 的值；（6）若函数在 内为增函数，求实数 a 的取值范围.,(4)解答下述问题：（）设集合 ，03log21l|8xxA若当 时，函数 的最大值为 2，x4)(22fa求实数 a 的值.（）若函数 在区间0，2 上的最大值为 9，求实274)(21xxaf数 a 的值.（）设关于 的方程 R） ，bx(01（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的
6、解.5高一数学对数与对数函数复习题一、 选择题1若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为（ ）（A）a-2 （B）3a-(1+a) 2 （C）5a-2 （ D）3a-a 22.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则 的值为（ ）NM（A） （B）4 （C）1 （D）4 或 113已知 x2+y2=1,x0,y0,且 loga(1+x)=m,loga 等于（ yanxlog,则）（A）m+n （B ）m-n （C） (m+n) （D ） (m-n)21214.如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0 的两根是 、，则 的值是（ ）（A
7、）lg5lg7 （B）lg35 （C）35 （D ） 3515.已知 log7log3(log2x)=0，那么 x 等于（ ）21（A） （B） （C） （D）116函数 y=lg（ ）的图像关于（ ）x（A）x 轴对称 （B）y 轴对称 （C）原点对称 （D）直线y=x 对称7函数 y=log(2x-1) 的定义域是（ ）23（A） （ ，1） （1，+ ） （B） （ ，1） （1，+ ）322（C ） （ ，+ ） （D） （ ，+ ）8函数 y=log (x2-6x+17)的值域是（ ）1（A）R （B ）8 ，+ （C） （- ，-3） （D ）3，+ 9函数 y=log (2x2-
8、3x+1)的递减区间为（ ）1（A） （1，+ ） （ B） （- ， （C） （ ，+ ） （D） （-4321， 2610函数 y=( ) +1+2,(xn1 （ B）nm1 （C）00 且 a 1)在（-1 ，0）上有 g(x)0，则 f(x)x=a 是（ ）1x（A）在（- ，0）上的增函数 （B）在（- ，0）上的减函数7（C ）在（- ，-1）上的增函数 （D）在（- ，-1）上的减函数18若 01,则 M=ab，N=log ba,p=ba 的大小是（ ）（A）Mf(b)，则（ ）lg（A）ab1 （B）ab0二、填空题1若 loga2=m,loga3=n,a2m+n= 。2函数
9、y=log(x-1)(3-x)的定义域是 。3lg25+lg2lg50+(lg2) 2= 。4.函数 f(x)=lg( )是 （奇、偶）函数。x15已知函数 f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3)与 f（4）的大小关系为 。6函数 y=log (x2-5x+17)的值域为 。17函数 y=lg(ax+1)的定义域为（- ，1） ，则 a= 。8.若函数 y=lgx2+(k+2)x+ 的定义域为 R，则 k 的取值范围是 45。9函数 f(x)= 的反函数是 。x1010已知函数 f(x)=( )x,又定义在（-1，1）上的奇函数 g(x)，当 x02时有 g(x)=f-1（
10、x）,则当 x0 且 a 1，比较 与 的大小。1logxa1logxa6 已知函数 f(x)=log3 的定义域为 R，值域为0，2 ，求182xnmm,n 的值。7 已知 x0,y 0,且 x+2y= ,求 g=log (8xy+4y2+1)的最小值。2218求函数 )x|lg(4y2的定义域9已知函数 )ax2(logy在0 ，1上是减函数，求实数 a 的取值范围910已知 )a1x(log)(fa，求使 f(x)1 的 x 的值的集合10对数与对数函数参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A B D D C C A C A D题号11 12 13 14 15
11、 16 17 18 19 20答案C A D D C B C B B B二、填空题112 2.x 且 x 由 解得 10 解得-10 恒成立，则4 45（k+2） 2-50 时，g(x)=log x,当 x0, g(-x)=log (-x),又g(x)是奇函数， g(x)=-log (-x)(xg(x);当 x= 时，43 34f(x)=g(x);当 1 时，f(x)g(x)。342 （1）f(x)= ，),(,.,10212 xRx设,且 x10, -13, f(x)的3)(x3x062x定义域为（3，+ ） 。（2）f(x)的定义域不关于原点对称， f(x)为非奇非偶函数。（3）由 y=l
12、g 得 x= , x3,解得 y0, f -1(x)=,3x10)(y)0(1(3xx(4) f =lg , ，解得 (3)=6。)(lg)(3)(5 -axxaa llo1log12。)1(log)1(log,0)1(log)1(log ,l 22 xxaxxaaa 即 则6由 y=log3 ，得 3y= ，即（3 y-m）x 2-8x+3y-n=0. 82nm82nmx -4(3y-m)(3y-n) 0，即 32y-(m+n)3y+mn-16 。由64,R00 ，得2y91，由根与系数的关系得 ，解得 m=n=5。916n7由已知 x= -2y0, ,由 g=log240y(8xy+4y2
13、+1)=log (-12y2+4y+1)=log -12(y- )2+ , 当 y= ,g 的最小112613461值为 log 21348解：21x0|x42 210或函数的定义域是21()0或或9解：a 是对数的底数a0 且 a1函数 u2ax 是减函数函数 )ax(logy是减函数a1( a是增函数)函数的定义域是 a20a2定义域是)(或函数在区间0，1上有意义是减函数13)a2(10或或 a11 即1)ax(loga当 a1 时 1a2xa1x0解为 x2a1当 01 时，x|x2a1当 01 成立14解析版：【例 1】已知 是奇函数 （其中 ，1log)(xmfa )1,0a（1）
14、求 的值；m（2）讨论 的单调性；)(xf（3）求 的反函数 ；)(1f（4）当 定义域区间为 时， 的值域为 ，求 的值.f 2,a)(xf),1(a解析 （1） 0log1loglog)( 2 xmmxf aa对定义域内的任意 恒成立，0)1(22 mx当 不是奇函数， ，0)1xf时 1（2） 定义域为 ，,log(a ),(),(求导得 ，exf12)当 时， 在 上都是减函数；a)(,0(xff ),1(,与当 时， 上都是增函数；0 与在（另解）设 ，任取 ，1)xg 1221x或，0)() 211212 xx，结论同上；（3） ，1)(log yyyya axaxxy )0,1)
15、(,0,11 af 且（4） 上为减函数，)2(,32f在命题等价于 ，即 ，)(f 0143log2aa解得 .3a评析 例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.15【例 2】对于函数 ，解答下述问题：)32(log)(1axxf（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在 内有意义，求实数 a 的取值范围；),（4）若函数的定义域为 ，求实数 a 的值；),3()1,(（5）若函数的值域为 ，求实数 a 的值；（6）若函数在 内
16、为增函数，求实数 a 的取值范围.,(解答 记 ，222)()xaxgu（1） 恒成立， ，R对0303min u的取值范围是 ；a,3(（2）这是一个较难理解的问题。从“ 的值域为 R”，这点思考，xalog“ 的值域u1log为 R”等价于“ 能取遍 的一切值” ，或理解为)(xgu),0(“ 的值域包含)(x了区间 ”,0的值域为gu),(),32a命题等价于 ，30min au或a 的取值范围是 ；,3,(（3）应注意“在 内有意义”与定义域的概念是不同的，)1命题等价于“ 恒成立” ，应按 的对称轴),1xg对 )(xg分类，x0，3120240)1( aaaga 或或的取值范围是
17、；)3,(（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式 的解集为 ，2x 1|x或是方程 的两根，3,1x 02ax即 a 的值为 2；,21a（5）由对数函数性质易知： 的值域为 ，由此学生很容易得)(g),2，但这是不正确的.因为“ ”与“ 的值域为 ”并)(xg x(xg),2不等价，后者要求 能取遍 的一切值（而且不能多取）.)(xg,2 的值域是 ，,32a16命题等价于 ；123)(minaxg即 a 的值为1；（6）命题等价于： ，0)1(,(0)(, gaxx恒 成 立对 为 减 函 数在即 ，得 a 的取值范围是 .2)2,1评析 学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解
18、与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验. 【例 3】解答下述问题：（）设集合 ，03log21l|8xxA若当 时，函数 的最大值为 2，x4)(22fa求实数 a 的值.解析 3log1|03log7l2| 22 xxA 8|x而 ，aaxf )()(log) 令 ，1,8,l2tt，其对称轴 ，af 2)()(22t当 ，即 ，适合；47t 1)3()(3maxagt时当 ，适合；61,2,2时即综上， .61或a（）若函数 在区间0，2 上的最大值为 9，求实274)(21xxaf
19、数 a 的值.解析 ，)(2xxf令 ，41,0,2ttx ),41(27)(272)( 2tatatgf抛物线 的对称轴为 ，17当 ，不合；258439423)()(,25max agfa时当 时， ，适合；1综上， 5（）设关于 的方程 R） ，xbx(0241（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.解析 （1）原方程为 ，1x，)2()2(4 xxx时方程有实数解；,b当（2）当 时， ，方程有唯一解 ；x 0x当 时， .1 bbx11)(2的解为 ；xx ,0,0 )1(log2b令 ,0b的解为 ；x2,时当 l2x综合、，得1）当 时原方程有两解： ；0 )1(log2b2）当 时，原方程有唯一解 ；1b或 x3）当 时，原方程无解.评析 例 3 是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验.
