1、1汕头市金山中学 2017 届高三第一学期期末考试数学（理科）一选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）1已知集合 2210,0xAxB，则 AB（ ）A , B , C , D 1,2.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A命题：“若 ()yfx是幂函数，则 ()yfx的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B设 ,abR，则“ ab”是 “ |b”的充要条件C命题“ *,()nNf且 ()fn”的否定形式是“ *00,()nNf且0()f”D若 pq为假命题，则 ,pq均为假命题3.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A 3 B 63 C 321 D
2、214.张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）A.30 尺 B.90 尺 C.150 尺 D.180 尺25.设 nm、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，有下列四个命题：如果 /， ，那么 /m 如果 ， ，那么 /m如果 ， ， n那么 如果 /， ， n，那么 n/其中正确的命题是( )A. B. C. D.6. 已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立，又 ，使ab
3、20axbx0xR成立，则 的最小值为（ ）20axA1 B C2 D227. 已知函数 1xf，定义函数 ,0fxF，则 Fx是（ ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数8. 将函数 ()3sinco2xf的图象向右平移 23个单位长度得到函数 ()ygx的图象，则函数 yg的一个单调递减区间是（ ）A (,)42 B (,) C (,)24 D (,2)9. 函数 xfa的图象可能是（ ）A （1） （3） B （1） （2） （4） C （2） （3） （4） D （1） （2） （3） （4）10在菱形 中， ， ，将 折起到 的位置，若三棱锥CD60ABAPB的
4、外接球的体积为 ，则二面角 的正弦值为（ ）P7P3A B C D1312327311对于函数 f（x）和 g（x ） ，设 xf （x）0， xg（x）0，若存在， ，使得 1，则称 f（x）与 g（x）互为“ 零点相邻函数 ”若函数 f（x）1xex2 与 g（x） 2axa3 互为“ 零点相邻函数 ”，则实数 a 的取值范围是( )( A 4, B 7, C 7，3 D Q 3,212 .设 22,axybpxyc，若对任意的正实数 ,xy，都存在以,bc为三边长的三角形，则实数 的取值范围是（ ）A (13) B 1,2 C 17(,)2 D以上均不正确二、填空题：（本大题共 4 小题
5、，每小题 5 分，共 20 分 ）13. 已知向量 a与 b的夹角为 120， 3a， 13b，则 b 14已知数列 n满足 12,1nnna且 5,则 2016a 15.若不等式组20518xy所表示的平面区域存在点 0xy， ，使 02xay成立，则实数 a的取值范围是 . 16. 在 ABC中，角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c，且满足 23cossinA，sin()4cosin，则 bc_.三.解答题：(本大题共 6 小题 ,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 12 分） ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 ,abc，且 acC2os
6、2（）求角 B 的大小；4（）若 BD 为 AC 边上的中线， 1cos7A，BD= 29，求ABC 的面积18.（本小题满分 12 分）为增强市民的节能环保意识，汕头市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是： 2053053405， ， ， ， ， ， ， ， ， （1）求图中 x的值，并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 340， 岁的人数；（2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加人民广场的宣传活动，再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人
7、记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X，求 的分布列及数学期望.19 （本小题满分 12 分）已知四棱锥 PABCD中，平面 P平面 ABCD，且 2PCDB，23， 是等边三角形， E.（1）证明： 平面 ；（2）求二面角 PAB的余弦值.20 （本小题满分 12 分）已知动圆过定点 R（0，2） ，且在 x 轴上截得线段 MN 的长为 4，直线 l：y=kx+t（t0）交y 轴于点 Q（1）求动圆圆心的轨迹 E 的方程；（2）直线 l 与轨迹 E 交于 A，B 两点，分别以 A，B 为切点作轨迹 E 的切线交于点 P，若| | |sinAPB=| | |试判断实数 t 所满
8、足的条件，并说明理由521 （本小题满分 12 分）已知函数 xaxfln)(（ R）有两个零点 x1，x 2（1）求 a的取值范围；（2）是否存在实数 ，对于符合题意的任意 x1，x 2，当 x0=x1+（1）x 20 时均有 f (x)0？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由选做题:请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 )0,2(,半径为 2,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
9、系.,直线 l 的参数方程为: tyx1 （ 为参数)(1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程; (2)点 P的极坐标为 )2,1(，直线 l 与圆 C 相交于 BA,，求 P的值。23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 ()3()fxxmR（）当 4m时，求函数 ()f的最大值；（）若存在 0R，使得 014，求实数 的取值范围6数学（理科）参考答案一选择题:BCBBC DACCC DA12 . A答案A 【解析】因 ,xy为正实数，则 ca，要使 ,bc为三边的三角形存在，则 abc，即 abc恒成立，故2121xyxyxyxyp，令 xyt，则 2t，取二、填空题：
10、 13. 4 1415. 1a 16. 65三.解答题：17 解: (1) acCb2os2,由正弦定理，得 ABsiniin,-2 分ACBsicosi)si(in3 分)n(n2co2CBsisi7因为 C0，所以 0sin，所以 21cosB,因为 B，所以 3.-5 分（2）法一：在三角形 AD中，由余弦定理得2219cosbc所以2147（1）7 分在三角形 ABC中，由正弦定理得 sinicbCB，由已知得43sin7所以 sii()CABsincosinAB5314，9 分所以57cb（2）10 分由（1） ， （2）解得75c所以sin103ABCSb12 分法二： 延长 D到
11、 E, B,连接 AE,中，23,22cosBA因为 EC，219ca(1)- -7 分由已知得，43sin,7A所以53sini()14CAB,9 分8sin58cACBa(2)-10 分由（1）（2）解得 ,ca,sin103ABCSABC-12 分（）用分层抽样的方法，从中选取 10 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 6 名， “年龄不低于 35 岁”的人有 4 名，故 X的可能取值为 0123， ， ， 5 分4310CPX， 126430CP，264310， 6310X9 分故 X的分布列为0 1 2 3P1330116所以 1901265EX12分19. 解：（1）在 BCD
12、中， 120， CDB，所以 30DCB，又 A是等边三角形，所以 6A，所以 9A，即 ，9又因为平面 PCD平面 AB，平面 PCD平面 ABCD，所以 A平面，故 . 在 中， 2，所以 . 又因为 A，所以 平面 . 6 分（2）解法一：如图，取 CD的中点 H，连接 P.则在等腰 RtPDC中，PHDC.又因为平面 P平面 AB，平面 平面 AB，所以平面 AB.过点 作 的平行线 l，则 平面 . 由（1）知 ，故以 为坐标原点 O，以直线 、 、 l分别作为x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系 . 设 2DC，则在 RtPDC中，2PDC， 1PH.又在 B中， B， 10，所
13、以 22cosCB22cos102，故3. 又因为 AD是等边三角形，所以 3AD. 所以 (0,1)P， (2,0)， (,20)， (cos60,23cs,0)，即3B.所以 (,)， (3,)B， (,1)HP. 设平面 PA的法向量为 ,nxyz，则由 0nAB，得 230xyz.令 ，得 1,5.故 (3,15)n为平面PAB的一个法向量 .因为 H平面 CD，故 (0,)HP为平面的一个法向量. 故10223015529cos,|()nHP .设二面角 ABC为 ，则由图可知 (,)，所以 529cos,nHP. 12 分解法二:，取 D的中点 ，连接 ，连接 HE并延长，交 AB
14、于 F，连接 P.则在等腰 RtPC中， D.又因为平面 平面 AB，平面 P平面 ABCD，所以 H平面 .设 2DC，则在 t中， 2， 1H.又在 B中， C， 10，所以 22cosDBcos10，故 23. BCD中， E， H，所以 /EBC，且 12HB.故 3H，又 BF，且 60DA，所以 90AF，故 A. 又因为 P平面 CD，由三垂线定理可得 PB，所以 为二面角 的平面角. 在 RtBEF中， 132B，所以 3sin2EFDA.故 5H.所以在 RtPH中，2291()PF，故5cos92.二面角 PABC的余弦值为 529. 12 分1120解：（1）设动圆圆心的
15、坐标为（x，y） ，半径 r， （r0） ，动圆过定点 R（0，2） ，且在 x 轴上截得线段 MN 的长为 4， ，消去 r 得 x2=4y，故所求轨迹 E 的方程为 x2=4y；（2）实数 t 是定值，且 t=1，下面说明理由，不妨设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，x 1x2，P（x 0，y 0） ，由题知 Q（0，1） ，由 ，消去 y 得 x2 4kx4t=0， ，轨迹 E 在 A 点处的切线方程为 l1：yy 1= （xx 1） ，即 y= x，同理，轨迹 E 在 B 处的切线方程为 l1：y= x ，联立 l1，l 2：的方程解得交点坐标 P（ ， ） ，即 P（
16、2k，t） ，由| | |sinAPB=| | |=2SAPB ，得 ，即 =0，=（2k，2t） ， =（x 2x 1， ） ，2k（x 2x 1）+2t =0，即 2k（x 2x 1） （t1）=0，则 2k（t1）=0，则 t=1， 故实数 t 是定值，且 t=121. 【解答】解：（1）f（x）=a+ （x0） ，当 a0 时，f（x）0 对 x0 恒成立，与题意不符，当 a0，f（x）=a+ = ，0x 时， f（x）0 ；12x 时 f（x）0，即函数 f（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+）单调递减，x0 和 x+时均有 f（x ），f（ ）=1+ln （ ）0，解得： a0，
17、综上可知：a 的取值范围（ ，0） ；（2）由（1）可知 f（x 0）0x 0 （ a0） ，由 x1，x 2 的任意性及 f（x 1）f（x 2）0 知，0，且 1，a= ，故 x0=x1+（1）x 2 ，又+（1） ，令 t= ，则 t0，t1，且 +（1）t 0 恒成立，令 g（t）=lnt （t 0） ，而 g（1）=0 ，t1 时，g（t）0，0t1 时，g（t ）0 （*）g（t）= = ，令 =，若 1 ，则 t1 时，g（t）0，即函数在（，1）单调递减，g（t）g（1）=0，与（* ）不符；若 1 ，则 1t 时，g（t）0，即函数 g（t ）在（1，）单调递减，g（t）g（
18、1）=0，与（* ）式不符；若 =1，解得 = ，此时 g（t ）0 恒成立， （g（t）=0t=1） ，即函数 g（t）在（0，+）单调递增，又 g（1）=0，t1 时，g（t）0；0t1 时，g（t ）0 符合（）式，13综上，存在唯一实数 = 符合题意22.解：圆 C的直角坐标方程为 22yxsincoyx代入圆 得： sincos化简得圆 的极坐标方程： 0242 3 分由 tyxl1:得 1y l的极坐标方程为 1sinco 5 分（2）由 ),(P得点 的直角坐标为 1,0P直线 l的参数的标准方程可写成 )(21为 参 数tyx 6 分代入圆 C得： )()2tt（ 化简得： 032tt21t,21t 8 分32121ttPBA 10 分23.解：（）当 4m时，3,2,()4135,xfxx2 分函数 ()f在 ,3上是增函数，在 (,)上是减函数，所以 max2f4 分（） 01()4f，即 00134xm，令 gx，则存在 xR，使得 01()gxm成立， max()， 由（）知 ()g最大值为 21412,m 7 分当 0时，原不等式为 2(1)0m，解得 1，当 时，原不等式为 ，解得 ，综上所述，实数 的取值范围是 (,)U10 分
