1、第 1 页，共 27 页广东省 2013 届高三最新文科试题精选（21 套含八大市区的二模等）分类汇编 5：数列一、选择题1. （广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测（佛山二模）数学文试题）设等比数列 na的前 项和为 nS,则“ 10a”是“ 32Sa”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2. （广东省汕 头市潮阳黄图盛中学 2013 届高三 4 月练习数学( 文)试题）在数列 na中, 12, 11ln()na,则 na （ ）A 2B 2(1)lC 2lnD 1ln3. （广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟
2、数学（文） 试题）各项互不相等的有限正项数列 na,集合,21.na,集合 (,)ija1ijijAAn,则集合 B中的元素至多有( )个. （ ）A 2)(B 2nC 21nD4. （广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学（文）试题）如图,在区域内植树,第一棵树在 点,第二棵树在 点,第三棵树在0,|),(yx )0(1A)1(B点,第四棵树在 点,接着按图中箭头方向 ,每隔一个单位种一棵树,那么,第 2011 棵1C)(2树所在的点的坐标是 （ ）A B C D)4,3(4,1)43,( )43,(5. （广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学（文）试题）在
3、等差数列 na中, 0,且30121aa,则 65a的最大值是 （ ）A 3B C 9D 366. （广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）如下图所示,将若干个点摆成三 角形图案,每条边(包括两个端点)有 个点,相应的图案中总的点数记为 ,则(1,)nNna23452013999aaa 第 2 页，共 27 页（ ）A B C D20120120132013(一)必做题(11-13 题)7. （广东 省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学（文）试题）在等差数列 an中,首项 a1=0,公差d 0,若 ak =a1+a2+a3+a10,则 k= （ ）A45 B
4、46 C47 D488. （广东省汕 头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学（文） 试题）某种动物繁殖数量少(只)与时间 x(第x 年) 的关系式为 y = alog2(x +1),设这种动物 第一年繁殖的数量为 100 只,则第 15 年 它们 繁 殖 的 数 量 为 （ ）A 300 只 B400 只 C 500 只 D600 只9. （广东省韶关市 2013 届高三年级第一次调研测试数学文试题）设 an(nN *)是等差数列, Sn是其前 n 项的和,且 S5S8,则下列结论错误的是 （ ）A dS5 D S6与 S7均为 Sn的最大值10. （广东省惠州市 2013 届高三第一
5、次模拟考试数学（文）试题）在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第 25 项为（ ）A2 B6 C7 D811. （2012 年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如: . 他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中第 3 页，共 27 页的 1,4,9,16 这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）A1125 B1024 C289 D1378 12. （2012 年广东省深圳市沙井中学高三（文)高考模拟卷 ）等比数列 的前 项和为
6、 ,且 成nanS3214a,等差数列, （ ）41Sa则则,A7 B8 C15 D16 二、填空题13. （广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知等差数列 na的首项 1,前三项之和93S,则 na的通项 _n.14. （广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试（二）数学文试题（WORD 版）数列 n的项是由 1 或 2 构成,且首项为 1,在第 k个 1 和第 个 1 之间有 2k个 2,即数列 na为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,记数列 na的前 项和为 S,则 20_; 2013S_.15. （广东省深圳市 2013 届高三第二次
7、调研考试数学文试题）已 知 公 比 为 的 等 比 数 列 na中 ,2581417203aaa,则 该 数 列 前 21项的和 21_.16. （广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学（文）试题）在等差数列 n中, 15253,6,则35_.17. （广东省珠海一中等六校 2013 届高三第一次联考数学（文）试题）若 , , 成等比数列,则函数abc的图像与 轴交点的个数为_. cbxaxf2)( x18. （广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检数学（文）试题）设等比数列 n的公比 q=2,前 n 项和为 nS,则42Sa=_19. （广东省茂名市实验中学 2013
8、 届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）公差不为零的等差数列 na的前 n项和为 nS.若 4a是 3与 7的等比中项, 832S,则 10等于_.20. （广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试数学（文）试题）若等比数列 na中 54则 28等于_.三、解答题21. （广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学（文）试题）设数列 n的前 项和为 nS, 1a,且对任意正整数 n,点 ) ,(1nSa在直线 02yx上.求数列 的通项公式;若 2nb,求数列 nb的前 项和.第 4 页，共 27 页22. （广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学文试题（WORD版）在
9、等差数列 na中, 125,37a,记数列 1na的前 项和为 nS.(1)求数列 的通项公式;(2)是否存在正整数 m、 ,且 n,使得 1S、 m、 n成等比数列?若存在,求出所有符合条件的 、 n的值;若不存在,请说明理由.23. （广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学文试题）环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计 20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a2m,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积 a2m,前四年每年以 1%的
10、增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加 a2.设第 n(1N且 )年新城区的住房总面积为 n2,该地的住房总面积为 nb2m.(1)求 n的通项公式;(2)若每年拆除 4a2,比较 +1n与 b的大小.24. （广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学文试题（WORD版）数列 na的前n项和 nS, 1at,点( nS, 1a)在直线y=2x+1上,( ,21n)(1) 若数列 n是等比数列 ,求实数t的值;(2) 设 nb= 31()lognaA,数列 nb前n项和 nT.在(1)的条件下,证明不等式 nT1;(3) 设各项均不为0的数列 c中,所有满足 10icA的整数
11、i的个数称为这个数列 nc的“积异号数”, 在(1)的条件下,令 n= a( ,2),求数列 nc的“积异号数”第 5 页，共 27 页25. （广东省汕头市潮阳黄图盛中学 2013 届高三 4 月练习数学(文) 试题）等差数列 na的各项均为正数,13a,前 n项和为 nS,b为等比数列, 1b,且 264,S 390b. (1)求 n与 b; (2)求和: 121nS .26. （广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学文试题）已知各项均为正数的等比数列 na的首项12a, nS为其前 项和,若 15S, 3, 2成等差数列.(1)求数列 的通项公式;(2)设 2lognn
12、ba, 1ncb,记数列 nc的前 项和 nT. 若对 N, (4)nTk 恒成立,求实数 k的取值范围.27. （广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学文试题）各项为正数的数列 na满足 241nnSa(*nN),其中 nS为 a前 项和.(1)求 1a, 2的值;(2)求数列 n的通项公式;(3)是否存在正整数 m、 ,使得向量 2nam(， )与向量 53nna(， )b垂直?说明理由.28.（广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试（二）数学文试题（WORD 版）已知函数 f(x)=x2-2x+4,数列na是公差为 d 的等差数列,若 1()afd, 3(1)afd第
13、6 页，共 27 页(1)求数列 na的通项公式;(2) nS为 的前 n 项和,求证: 1213nSS29. （广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学（文）试题）设 na为等差数列, nS为数列 na的前 项和,已知 715,S. (1)求数列 na的通项公式 ;(2)设 82ab,T为数列 b的前n项和,求 nT.30. （广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学（文）试题）已知等差数列 的首项 =1,公差na1,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别为等比数列 的第 2 项、第 3 项、第 4 项.0d nb(1)求数列 与 的通项公式; nab(2)设数
14、列 对任意 均有 成立,求 .cN3121.ncab123201.cc31. （广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（文）试题）已知数列 是各项均不为0的等差数列,公n差为 d, 为其前 n项和,且满足 ,n*N.数列 满足 , *N, 为数列nS21naSnb1nnanT的前 n项和.b(1)求数列 的通项公式 和数列 的前 n项和 ;anabT(2)若对任意的 n*N,不等式 恒成立,求实数 的取值范围;8(1)T(3)是否存在正整数 ,m(1)n,使得 成等比数列?若存在,求出所有 ,mn的值;若不存1mn在,请说明理由.2013 届高三六校第一次联第 7 页，共 27 页3
15、2.（广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学（文）试题）数列 an的前 Sn项 和 为 存 在 常 数A,B,C,使得 an+Sn=A2 +Bn + C 对任意正整数 N 都成立.(1)若 ,C = 1,设 bn=an+n,求证:数列b n是等比数列;(2)在(1)的条件下 ,cn=(2n+1)bn,数列c n的前 n 项和为 Tn;,证明:T n 5;(3)若 C= 0, an是 首 项 为 1 的等差数列,若 对任意的正整数 n 都成立,求实数的取值范围. (注: )来源:Z.xx.k.Com33. （广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检数学（文）试题）已知函数
16、 21()fxx,数列 na的前 n 项和为 nS,点 ()n*)N都在函数 y=f(x)的图象上.(1)求数列 na的通项公式 n;(2)令 12b,T是数列 b的前 n 项 和, 求 nT;(3)令来源:Z*xx*k.Com34. （广东省韶关市 2013 届高三年级第一次调研测试数学文试题）设等差数列 na的公差 0d,等比数列 nb公比为 q,且 1ab, 3, 57ba(1)求等比数列 b的公比 q的值;(2)将数列 n, 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 nc,是否存在正整数,(其中 )使得 ,和 ,cc都构成等差数列?若存在,求出一组,的值;若不存在,请说明理由.韶
17、关市 2013 届高三年级第一次调研(期末)测35. （广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学（文）试题）设 na是各项都为正数的等比数列, 第 8 页，共 27 页nb是等差数列 ,且 1,ab, 351,5321.ab(1)求数列 n, 的通项公式;(2)设数列 的前 项和为 nS,求数列 n的前 项和 nT.36. （广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟（一）测试数学（文）试题）数列 nb的首项 1,前 n项和为 nS,对任意的 N,点 ()nS, 410都在二次函数 2yax的图像上,数列 a满足2nba.(1) 求证:数列 nb是等差数列,并求数列 na
18、的通项公式;(2) 令 1()nca, 1231nRcc ,求对 N, nmR都成立的最小正整数 m.37. （广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知数列 na的相邻两项 1,na是关于x的方程 20()nxbN的两根,且 1a.(1)求证: 数列 123nna是等比数列;(2)设 nS是数列 n的前 项和,求 nS;(3)问是否存在常数 ,使得 0nb对任意 N都成立,若存在,求出 的取值范围; 若不存在,请说明理由.第 9 页，共 27 页惠州市 2013 届高三第一次模拟考试试38. （广东省广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题（一）数学（文）试题
19、）设数列 na的前 项和为 nS,已知 12a, 8, 11452nnnSS, nT是数列 2log的前 项和.(1)求数列 n的通项公式;(2)求 T;(3)求满足 2311023nTT 的最大正整数 n的值.39. （2013 年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文）试题）数列 na的前 项和为2nSa,数列 nb是首项为 1a,公差不为零的等差数列,且 13,b成等比数列.(1)求 13的值;(2)求数列 na与 b的通项公式; (3)求证: 3125nbaa .40.（2012年广东省深圳市沙井中学高三（文 )高考模拟卷 ）已知数列 满足: ,n13,记 . 1123,n
20、naaN21nba(1) 求证:数列 是等比数列;nb(2) 若 对任意 恒成立,求 的取值范围;nt4t(3)证明: .432321naa第 10 页，共 27 页广东省 2013 届高三最新文科试题精选（21 套含八大市区的二模等）分类汇编 5：数列参考答案一、选择题1. C 2. A 21ln()a, 321ln()a, 1ln()na 4ln3. A 解析 :利用特殊值法进行求解.设集合 ,23A,则由 (2,)3,(1)B知 C 不正确;设集合1,234,则由 (2,1)3,()41()B知 B,D 不正确;故选 A 4. A 5. C 6. B 7. B 8. B 9. C 10.
21、 【解析】数字共有 n个,当数字 6时,有 12345621项,所以第 5项是 7,故选 C. 11. A 12. C 二、填空题13. 12n 14. 36; 98 15. 16. 解析 1:由 113543.2.243.926adaa 解析 2: 51.d, 35209d. 解析 2:由等差数列的性质可知 135,a成等差数列,所以 251359aa 17. 0 18. 15219. 60 20. 16 三、解答题21.解:因为点 ) ,(1nSa在直线 02yx上,所以 021nSa , 当 n时, 02 ,两式相减得 211nn,即 1nna, nn21 第 11 页，共 27 页又当
22、 1n时, 022112 aSa, 12a 所以 是首项 ,公比 q的等比数列 , na的通项公式为 1)2(n . 由知, 14nnab ,记数列 nb的前 项和为 nT,则 22341nT, 3n,两式相减得 124153nn, 1436n , 所以,数列 nb的 前 项和为 9nT . 22. (本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分 14 分) 解:(1)设等差数列 na的公差为 d, 因为 1235,7.即 1527. 解得 1,.ad 所以 1132ndn. 所以数列 a的通项公式为 a*()N (2)因为 1 13232nnn,
23、 所以数列 1na的前 项和 123411n nnSa114703523nn1331n第 12 页，共 27 页假设存在正整数 m、 n,且 1,使得 1S、 m、 n成等比数列, 则 21mnS 即 3431 所以26nm. 因为 0,所以 2310. 即 231. 因为 m,所以 23. 因为 *N,所以 此时24163n所以存在满足题意的正整数 m、 n,且只有一组解,即 2m, 16n 23. 设第 年新城区的住房建设面积为 2,则当 14时, a; 当 5n时, (4)na 所以, 当 1时, (21)n 当 5n时, 489(4)naana29na(列式 1 分) 故 2(1),9
24、(5.na 3时, 1)n, (21)64nban,显然有 1nab 4n时, 1524naa, 43n,此时 b 56时, 1n,2964nban(每式 1 分) 1(59)naba第 13 页，共 27 页所以, 51n时, 1nab; 216时, 1nab. 7时,显然 1nab (对 1-2 种情况给 1 分,全对给 2 分) 故当 时, n;当 时, 1n 24. 25. (1)设 na的公差为 d,nb的公比为 q,则 d为正整数 , 3(1)nad, 1nbq 依题意有232(9)604Sd 解得 2,8或65403q(舍去) 故 1(1),8nnab (2) 352)(2)S
25、1211345(2)n n ( )345211)22n3(1)n26.解:(1) 15S, 3, 成等差数列 第 14 页，共 27 页 31225S 即 11()3()aqaq 化简得 260 解得: 或 因为数列 na的各项均为正数,所以 32q不合题意 所以 的通项公式为: na (2)由 2lognnb得 2logb 1nc1()n 23nT 1n (4)1k()n254n 454259nn,当且仅当 4n,即 2时等号成立 1495 k的取值范围 ,). 27. 第 15 页，共 27 页28.解:(1) 1()afd=d2-4d+7, 3(1)afd=d2+3, 又由 3,可得 d
26、=2,所以, =3, n=2n+1 (2) nS=()(2)2n,1()(2)2nSn所以, 1211( )345n=3()()21= 3 29.解: ( 1) 设等差数列 na的公差为 d,则 1()2nSad, 第 16 页，共 27 页 715,S, .75105,27da 12ad. 1()13ndn (2)由(1)得 3822nannb nT 23(13)()n 2nn12n30. .解:(1)由已知得 = , , , 2ba1d3b5a14d2b14a3d由于 为等比数列,所以 . n24= , 2(14)d()0,. zxxk na又 = =3, = =9 , 2b35a数列 的
27、公比为 3, n=3 = 21(2)由 + + = , (1) 1cb2n1a当 时, = =3, =3 n121c当 时, + + = , (2) 1cb21na第 17 页，共 27 页由(1)-(2)得 = = , ncb1an2=2 =2 , n3n()= nc1,2n=3+2 3+2 +2 13201c2301=1+2 +2 3+2 +2 =1+2 = 0201201331.解:(1)在21naS中,令 n, , 得 ,321即 ,3)(121da解得 1a,d, n 又 2n时,2S满足21naS, 21n 1()()nba, 1235221n nTn(2)当 为偶数时,要使不等式
28、 8()T恒成立,即需不等式8)(187n恒成立 2,等号在 2时取得. 此时 需满足 5 当 n为奇数时,要使不等式 8(1)nnT恒成立,即需不等式(8)21恒成立 n是随 的增大而增大, 1n时2取 得最小值 6. 此时 需满足 2. 综合、可得 的取值范围是 来源:学科网 第 18 页，共 27 页(3) 1,21mnTT, 若 1,n成等比数列,则21()()3n, 即2463. 由21mn,可得2410m, 即 240, 61. 又 mN,且 1,所以 2m,此时 1n. 因此,当且仅当 , 时,数列 T中的 成等比数列 1,mnT另解 因为366n,故246,即 2410, 12
29、m,(以下同上 ). 32. 第 19 页，共 27 页第 20 页，共 27 页33. 第 21 页，共 27 页34.解:(1)设 1ab= ,由题意 dq624即 daq6240,1q不合题意 第 22 页，共 27 页故 3142q,解得 2q (2)答:不存在正整数 ,(其中 )使得 ,和 ,cc均构成等差数列 证明:假设存在正整数 ,满足题意 设 1ab= ,且 mn,故 1)(maqdna,又 aqd2 2d- 1)2(即 21*1Nn10m 12mn为 奇 数 ， 且令 )(2*k,则 211()kkbaa acn1若存在正整数 ,满足题意,则 1112()(2)(2)aaa,
30、又 2(“)当 且 仅 当 时 取又 , 122又 xy在 R 上为增函数, ,与题设 2矛盾, 假设不成立 故不存在 ,满足题意 35.解:(1)设数列 na的公比为 (0),q数列 nb的公差为 d, 依题意得:42113()dL()2)得 480q224(7)0q 0q ,将 代入 (1)得 d 1,.nab (2)由题意得 12nnTSSbL第 23 页，共 27 页1212312()()()nabababL 12()n nbLL令 12,nSL - 则 3112bb- -得: 3 12()2,nn 231()()nSL 1)()2n 1)6,n 又 212()nbn, 12(3)nT
31、 36.解:(1)证明: 1, 1S来源:Z 又 1也适合,所以 bN,则 1nb 数列 n是首项为 1,公差为 1 的等差数列 又 2nba, n (2) 121(),2nncac 第 24 页，共 27 页 23123141+=+,2n nnRcc 234+1,n 两式相减,得: 23112nnR, 32nnR 30,2nnNm 37. (1)证明: 1,na是方程 20()nxbN两根, 12nnab11223332nnnn nnaaa故数列 23n是等比数列,首项 1,3a公比为-1 的等比数列 (2)由(1)得 1()nnna,即 2(1)n 123nnS13 23()1()3 n
32、= ()()3n= 1()22nn (3) 11112()()(2)99nnnnnnba 要使 0S对任意 N都成立, 即 211()1()20932nnnn (*)对任意 nN都成立 当 n 为正奇数时,由(*)得 11()()93nn 即 1(2)2)093n 0,n(1)3对任意正奇数 n都成立. 当且仅当 n时, (2)n有最小值 1, 1 第 25 页，共 27 页当 n 为正偶数时,由(*)得 211()(2)093nn 即 21()(093n 0,n1(2)6n对任意正偶数 n都成立. 当且仅当 2时, 有最小值 3, 2 综上所述,存在常数 ,使得使得 0nbS对任意 N都成立
33、, 的取值范围是 (1) 38. (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:当 2n时, 1145nnnSS, 14nS na 12, 8, 4 数列 na是以 12为首项,公比为 4的等比数列. 2n (2) 解:由(1)得: 212nnalogl, 21 2n nTall log 32n来源:Z、xx、k.Com (3)解: 2311nTT 222第 26 页，共 27 页222213411n222534n 1n令 203,解得: 4287n 故满足条件的最大正整数 的值为 39.解
34、析:(1) nSa, 当 1时, 12,解得 12a;当 n时, 212Sa,解得 24a; 当 3时, 3,解得 38 (2)当 n时, 111()()nnnnnaS , 得 12又 2,a,数列 a是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以数列 n的通项公式为 n 来源:Z.xx.k.Com 1ba,设公差为 d,则由 13,b成等比数列, 得 2()(0), 解得 0d(舍去)或 , 所以数列 nb的通项公式为 31nb (3)令 312n nTaa 1235812n , 121582n , 两式式相减得 121332nnnT, ()52nnn, 又 350n,故 5nT.- 第 27 页，共 27 页40. (1)证明: 231na 1123,nnaa321nnn , 2)1(4nna, 141aa即 b4,且 1a 数列 nb是首项为 ,公比为 的等比数列. (2)由(1)可知 124)1(nnna 142na 由 nta4得 )1(2nnt 易得 n是关于 的减函数. 43142n, t. (3) 32.14nnna12 2 233()()()()44n n n = )314().4nn123.naa
