1、a2018-2019 学年高三上学期阶段检测数学试卷18.10一.填空题1.已知全集 ，集合 ，则 = .4,321U3,2,1QPUPQ2.命题“ ”的否定是 0xRx3. 已知虚数 满足 ，则 z6iz|z4.“ ”是“ ”的 .条件.0)1ln(（从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量 当 三点共(,2)(4,5)(10,)OAkBOCk,ABC线时，实数 的值为 .6. 在 中，角 所对的边分别为 若, ,abc则 _ 2,sin3i,abcCA7. 设函数 满足 ，当 时，)(xf xffsin)(0，则 = .0)(xf
2、628. 已知 ， ，则 的值为 .tan)1tan()2sico9.已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时，yfxx(0,)x若 则 由大到小的顺序2()log.fx1(3),(),(2),4abfcf,abc是 .10. 若函数 的图象关于点()sinos()(06xx对称，且在区间 上是单调函数，则 的值为 (2,0),36 .11. 已知函数 若关于 的方程 恰24,0()5.xfex()50fax有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数 的取值集合为 .a12. 已知点 在 所在平面内，且OABC4,3,ABO则 取得最大值时线()0,OAB()0,段 的长度是 .C13. 在 中
3、，若 则tantan5tan,Csin的最大值为 .14.已知定义在 上的函数 可以表示为一个偶函数 与R1()2xf()gx一个奇函数 之和，设()hx,()htpg2mh2若方程 无实根，则实数 的取值范围是 .1(.m()0pt二.解答题15.已知命题 指数函数 在 上单调递减，命题 关于:26)xfxaR:qx的方程 的两个实根均大于 3.若“ 或 ”为真,23a210p“ 且p”为假,求实数 的取值范围.q16. 函数 在一个周期)0(3sin2cos6)( xxxf内的图象如图所示, A为图象的最高点, B、 C为图象与 轴的交点,且 ABC为正三角形.A BDOMCN()求 的值
4、及函数 ()fx的值域；()若 083()5fx,且012(,)3x,求 01的值.17. 已知向量 角 为 的(,)(sin,co(),2AmBC ,ABC内角，其所对的边分别为 ,.ab（1 ）当 取得最大值时，求角 的大小；（2）在（1）成立的条件下，.n当 时，求 的取值范围.3a2c18. 为丰富农村业余文化生活，决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心通过测量，发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M 为圆心，以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处，且 AB8 km，BC km经协商，文化服务中心拟建在与 A,B 等距离的 O42处
5、，并建造三条道路 AO,BO,NO 与各村通达若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 万元，NO 段为每公里 a 万元，a2建设总费用为 万元w（1 ）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离 N 村的距离；（2 ）若建设总费用最少，求该文化中心离 N 村的距离. 19. 设 、 2()(fxbc)R（1 ）若 在 上不单调，求 的取值范围；,b（2 ）若 对一切 恒成立，求证： ；()|fxx214c（3 ）若对一切 ，有 ，且 的最大值为 1，求R1()0f23()xf、 满足的条件。bc20. 已知函数 ()xaef（1 ）若函数 的图象在 处的切线经过点 ，求 的值；()fx(1,)f
6、 (0,1)a（2 ）是否存在负整数 ，使函数 的极大值为正值？若存在，求出所ax有负整数 的值；若不存在，请说明理由；（3 ）设 ，求证：函数 既有极大值，又有极小值0()f理科加试题1.已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为3 3c d1 ，属于特征值 1 的一个特征向量为 2 求矩阵 A，并写出 A11 3 2的逆矩阵2.在长方体 中，1BCD是棱 的中点，42A,A,FBC点 在棱 上，且 。求直E1113E线 与平面 所成角的正弦值的大小；FD3. 某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完
7、全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金 元活动规定：参与者每mn个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止 （1 ）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金 元的概率；（2 ）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由4. 已知 （ ） ， 是关于 的 次多项式；2()1)nfxN()gx2nCEBDAA1D1 C1B1F（1）若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满23()()fxgx(1)g足条件
8、的 的表达式，无需证明（2）求证：对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ，nx0a1， ，使得an221201()()()nnfxaxax1nn扬州中学高三年级 10 月份阶段检测数学试卷答案18.10一.填空题1. 1；2. ；3. ；4.必要不充分；5.2 或 11；6.2,0xRx57. ；.318.1； 9.bac；10. 或 11. ；12. ；13. ；14.35.65,2lne6357。2m二.解答题15.解：当 为真时， ， ；当 为真时，p0261a732aq，解得：32()0af5.2由题意知 、 一真一假。 （1）当 真 假时， 解得pqpq732,5a（2）
9、当 假 真时， 解得;apq72,a或 35573.22a或16. 解：() 由已知可得: 2()6coscos3(0)xfxx =3cosx+)3sin(2si3xx又由于正三角形 ABC 的高为 2 ,则 BC=4 所以,函数 4824) ， 得， 即的 周 期 Tf 。所以，函数 ,(的 值 域 为xf 。()因为 ， 由538)(0f()有 ，)4(sin2)(00xxf54)3(sin0x即 ，由 x0)2,()3(310） ， 得，（所以, 5)4(1)4(cos0x即 ，故 )1(0f )3(in320 4)3(sin20x )2534(2 4i)cos(4si 0xx567 1
10、7.解：（1） ，令，sin,2At原式 ，当 ，即 ， 时， 取得最大值.（2）当 时， ， .由正弦定理得：（ 为 的外接圆半径）于是 .由 ，得 ，于是 ， ，所以 的范围是 .18.解：（1 ）不妨设 ,依题意， ，且ABO3,0， ，34MC由 4,34tan.cosAON若三条道路建设的费用相同，则 a)tn4(2cos所以 所以 。,2)3sin(12由二倍角的正切公式得， ，即3tant83NO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)8(km（2 ）总费用 3,0,tan43cos24即 ，令ain842si,0cos4i2 得当 ，时 ， 当， 03inin0 所以当 有最小值
11、，这时，时 ，42s73,7tanNO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)74(km19. 解（1）由题意 ， ；2bb（2）须 与 同时成立，即2xcxcx， ；2()401b2+14b（3）因为 ，依题意，对一切满足 的实数 ，有|x|2xx()0f当 有实根时， 的实根在区间 内，设()0fx()0fx2,，所以 ，即 ，又2()fxbc(2)fb40bc，于是， 的最大值为 ，2231(,3xx23()1xf(3)1f即 ，从而 故 ，即9bc8b4802b，解得 45b4,bc当 无实根时， ，由二次函数性质知，()0fx20c在 上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，2bc(,
12、3当 时， 无最大值于是， 存在最大值()f2)1xf23()1xf的充要条件是 ，即 ，所以，()3f49bc又 的最大值为 ，即 ，从而5b21xf(3)1f31bc由 ，得 ，38c240bc20b即 所以 、 满足的条件为且 综上： 且0b538c54.b20.解：（1 ） , 2(1)()xaef(1)f()1fae函数 在 处的切线方程为： ，又直线过点()fx1,f yex(0, ，解得： )ae1ae2 分（2 ）若 ， ，02()()xf当 时， 恒成立，函数在 上无极值；(,)x0f(,0)当 时， 恒成立，函数在 上无极值； 0,1()fx,1方法（一）在 上，若 在 处
13、取得符合条件的极大值 ，则,()fx0 0()fx，5 分01()xf则 ，由（3）得： ，代入（2）得：002011()xxae（ ）（ ）（ ） 001xae，结合（1 ）可解得： ，再由 得：0x02x00()xaef，02xae设 ，则 ，当 时， ，即 是增函()xh(2)xhe()0hx()hx数，所以 ，024()ahxe又 ，故当极大值为正数时， ，从而不存在负整数 满足条24(,0)aea件 8 分方法（二）在 时，令 ，则(1,+)x2()(1)xH()2)xHe 为负整数 (,)x,eaaxa 在 上单调减20ae()0x()x1,)又 ， ，使得 (1)H2240ae0
14、(,2)x0()Hx5 分且 时， ，即 ； 时， ，即 ；0x()0x()fx0x()()fx 在 处取得极大值 （* ）()fx000()xaef又 代入（*）得：020()(1)xHae001x000()()fxx不存在负整数 满足条件 a8 分（3 ）设 ，则 ，2()(1)xge()2)xgae因为 ，所以，当 时， ， 单调递增；当 时，0a00(0x， 单调递减；故 至多两个零点()gx()()gx又 ， ，所以存在 ，使11(,)1()gx再由 在 上单调递增知，()gx0,)当 时， ，故 ， 单调递减；1,(x2()0gxf()fx当 时， ，故 ， 单调递增；()x， )
15、0g()ff所以函数 在 处取得极小值 f1x12 分 当 时， ，且 ，0xxe0所以 ，22()(1)(1)gaaxxa函数 是关于 的二次函数，必存在负实数 ，使 ，又2yx t()0gt，(0)ga故在 上存在 ，使 ，,t2x2()0g再由 在 上单调递减知，()g,0)当 时， ，故 ， 单调递增；2x(gx2()0gxf()fx当 时， ，故 ， 单调递减；(,0)0()ff所以函数 在 处取得极大值 fx2综上，函数 既有极大值，又有极小值 ()16 分理科加试答案1. 解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得， 11 3 3c d6 ，即 cd6； 11 1
16、1由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 2 ，可得 3 2 3 3c d 3 2，即 3c2d 2 解得 即 A ， A 的逆矩阵是 3 2 c 2，d 4 ) 3 32 4 2. 解：分别以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标1,DCAzyx,系 ，则 ，xyzD1(20)(4)(02),(1),(40)EF所以 ，设平面,11 ,32的一个法向量为 ，由 解得 取AC),(zyxn,01CDnA,yzx，则 ，因为 ， ， ，所以1y)2,(4|EF3|1nEF,因为 ，所以nEF,cos| 2310,cos是锐角，是直线 与平面 所成角的余角，所以直线,EFACD1与平面 所成角
17、的正弦值为 EFACD1 423. 解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 元为事n件 M则 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金31()4P元的概率为 n4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金 可取 x0,mn+则 3121(0),()()4436432PmPxx=6 分310()46241mnEmnx=+=+先在乙箱中摸球，参与者获奖金 可取h0,则 2131(0),(),()34342PnPn8 分2mEh=+=+21mnx-当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值3n较大；当 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；2m=
18、当 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望3n值较大答：当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期2m望值较大；当 3n=4. 解：（1）令 ，则 ，即 ，1x()(1)fg()10gf因为 ，所以 ； ()30nf0令 ，则 ，即 ，x23()()f()()fg因为 ，因为 ，所以 ；(1)g1nf10例如 2()nxN（2）当 时， ，故存在常数 ，22()fxx0a，1a使得 201()fxax假设当 （ ）时，都存在与 无关的常数 ， ， ，nkNx0a12，k使得 2212101()()()()kkkkkfxaxaxaxax，即 22212101()()()
19、()()kkkkkk则当 时，1n2122()()(1)k kfxxx101()k kkkaaxa 122011 10(kkxx 2121)kkk x 3 322011110( kkaxaxaa 2 102032 23)()()()kkxax 121211()()()kk kk kaxaxa12232 000xa101021()()()()kk kxx ；2121k kk kaax令 ， ， （ ） ，001a2mmk；112kkaa故存在与 无关的常数 ， ， ， ， ；使得x01a2ka12 2210()()()()kk kkf xxxax 综上所述，对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ，n0， ， ，1a2na使得 2212101()()()()nnnnnfxxaxaxax
