1、1高一数学必修二圆与方程知识点整理一、标准方程22xaybr1.求标准方程的方法关键是求出圆心 和半径,abr待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 例 219P利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 220xyr过原点 220abab圆心在 轴上 x 2xyr圆心在 轴上 y 20圆心在 轴上且过原点 x 2xaya圆心在 轴上且过原点 y 2b与 轴相切 x 20xyb与 轴相切 y 2aa与两坐标轴都相切 2x
2、y二、一般方程 2 2040xyDEFEF1. 表示圆方程则2ABCxy22200440ABDEFDEFA22.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材 例 412Pr3. 常可用来求有关参数的范围240DEF三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离 与半径 的大小关系dr点在圆内； 点在圆上； 点在圆外drr2.涉及最值：（1）圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值BPBminNCraxMB（2）圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值APAminNrACaxM思考：过此 点作最短的弦？（此弦垂直 ）AAC四、直线与圆的位置关系1.判断方法（ 为圆心到直线的距离）d（1）相离 没有公
3、共点0dr（2）相切 只有一个公共点 （3）相交 有两个公共点这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点基本图形主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线 与圆 相切意味着什么？lC圆心 到直线 的距离恰好等于半径 r（2）常见题型求过定点的切线方程3切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点 ，圆： ， 0,Pxy22xaybr2200xaybr第一步：设切线 方程l00k第二步：通过 ，从而得到切线方程dr特别注意：以上解题步骤仅对 存在有效，当 不存在时，应补上千万不要漏了！k如：过
4、点 作圆 的切线，求切线方程.1,P24612xy答案： 和340xyii）点在圆上1） 若点 在圆 上，则切线方程为0， 22xyr20xyr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2） 若点 在圆 上，则切线方程为0y， 22abr0xy碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.求切线长：利用基本图形， 2 22APCrAPCr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 1ACPk3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式： （暂作了解，无需掌
5、握）2221114lkxkxx（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为 1，则2235xyr320xy半径 的取值范围是_. 答案：r 4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题41.若圆 ，关于直线 ，则实数 的值为_.2210xymxy10xym答案：3（注意： 时， ，故舍去）24DEF变式：已知点 是圆 : 上任意一点， 点关于直线AC5xyaA的对称点在圆 上，则实数 _.210xy2.圆 关于直线 对称的曲线方程是_.2310xy变式：已知
6、圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，1C241x2C2241xyl则直线 的方程为_.l3.圆 关于点 对称的曲线方程是_.223xy,34.已知直线 ： 与圆 ： ，问：是否存在实数 使自 发出的光lxb21xyb3,A线被直线 反射后与圆 相切于点 ？若存在，求出 的值；若不存在，试说明lC47,5B理由.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数 ， 满足方程 ，求：xy2410xy（1） 的最大值和最小值；看作斜率5（2） 的最小值；截距（线性规划）（3） 的最大值和最小值.两点间的距离的平方2xy2.已知 中， ， ， ，点 是 内切圆上一点，求
7、以AOB34OA5BPAOB， ， 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.P数形结合和参数方程两种方法均可！3.设 为圆 上的任一点，欲使不等式 恒成立，则 的,xy221y0xycc取值范围是_. 答案： （数形结合和参数方程两种方法均可！）1c七、圆的参数方程， 为参数22os0inxrxyry22 cosinarabrb， 为参数5八、相关应用1.若直线 （ ， ） ，始终平分圆 的周长，240mxnynR240xy则 的取值范围是_.2.已知圆 ： ，问：是否存在斜率为 1 的直线 ，使 被圆 截C2xy lC得的弦为 ，以 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 的方程，若不存在，说
8、明AB l理由. 提示： 或弦长公式 . 答案： 或120xy21dkx10xy43.已知圆 ： ，点 ， ，设 点是圆 上的动点，C2234xy0,A,BPC，求 的最值及对应的 点坐标.2dPABdP4.已知圆 ： ，直线 ： （2215xyl21740mxym）mR（1）证明：不论 取什么值，直线 与圆 均有两个交点；lC（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围.yxk21xyk6.已知圆 与直线 交于 ， 两点， 为坐标原点，260ym30xPQO问：是否存在实数 ，使 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.OPQm九、圆与圆的位置关系1.
9、判断方法：几何法（ 为圆心距）d（1） 外离 （2） 外切12dr12dr（3） 相交 （4） 内切12r（5） 内含12r2.两圆公共弦所在直线方程圆 ： ，圆 ： ，1C2110xyDEyF2C220xyDxEyF则 为两相交圆公共弦方程.22补充说明：若 与 相切，则表示其中一条公切线方程；12若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程.C63 圆系问题（1）过两圆 ： 和 ： 交点1C2110xyDEyF2C220xyDxEyF的圆系方程为 （ ）21说明：1）上述圆系不包括 ；2）当 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线 与圆 交点的圆系方程为0AxByC20xyDEF0x
10、yDEF（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆 外一点 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.21xy2,0A分析： 2OP（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例 1.如图，已知定点 ，点 是圆 上的动点， 的平分线交 于2,0AQ21xyAOQA，
11、当 点在圆上移动时，求动点 的轨迹方程.MQM分析：角平分线定理和定比分点公式.7例 2.已知圆 ： ，点 ， 、 是圆 上的两个动点， 、 、 呈O29xy3,0ABCOABC逆时针方向排列，且 ，求 的重心 的轨迹方程.BCG法 1： ， 为定长且等于3A设 ，则,Gxy3ABCBCxxyy取 的中点为 ，BC3,24Ex3,42E， （1）2O29xy ，22BCEBCExyy 3322Exxyy故由（1）得： 22239310,142xxx 法 2：（参数法）设 ，由 ，则cos,inB3BOCA23,3siC 设 ，则,Gxy 23cos 231cos13sinisin33ABCABCy ，由 得：4,212310,12xyxy参数法的本质是将动点坐标 中的 和 都用第三个变量（即参数）表示，通过,y8消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出 ， 的范围.xy（4）求轨迹方程常用到得知识重心 ， 中点 ，,Gxy3ABCxy,Pxy12xy内角平分线定理： DCA定比分点公式： ，则 ，MB1ABMx1ABMy韦达定理.
