1、南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试数 学一、填空题1、函数 的最小正周期为 。xxfcosin)(2、已知复数 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位)31(2iziz于第 象限。3、右图是一个算法流程图，如果输入 的值是 ，则输出 的值是 。x41S4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了 100 件产品的净重，所得数据均在区间96，106 中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 件产品中，净重在区100，104上的产品件数是 。若红球，得 2 分，摸出黑球，得 1 分，则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的概率是 。6、如图，在
2、平面四边形 ABCD 中，AC,BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点，若（ ） ，则 BDAER,7、已知平面 ，直线 ，给出下列命题：nm若 ， ，则 ，/,若 ， ，则 ，/|若 ，则 ，,n若 ， ，则 .mn其中是真命题的是 。 （填写所有真命题的序号） 。8、如图，在 中，D 是 BC 上的一点。已知ABC， ，则 AB= 062,10,2CB DA COE图6图图B A CD图8图图。9、在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 C： 的焦点为 F，定点 ，若射24xy)0,2(A线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与抛物线 C 的准线相交于点 N，则 FM：MN= 。1
3、0、记等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ，且数列 也为等差数列，anS12anS则 = 。13a11、已知知函数 ， ，则不等式 的解集是 1()|xfR2()(34)fxfx。12、在平面直角坐标系 中，已知： ，为与 x 负半轴的交oy22(1)5y点，过 A 作的弦 AB，记线段 AB 的中点为 M.则直线 AB 的斜率为 。13、已知 均为锐角，且 ，则 的最大值是 。,sincs()ta14、已知函数 ，当 时，关于 的方程2,0()1)xff10,xx的所有解的和为 。1()5fx二、解答题15、在 中，角 A、B 、 C 的对边分别为 .已知 .C,abc3os5C(1)若 ,
4、求 的面积；(2) 设向量 ， ，92 (2in,)Bx(cos,)2By且 ，求 的值。xyAsin()16、如图，在四棱锥 PABCD 中， ， ， ，12ADCB|ADC.PCABD平 面（1）求证： 平面 ；BCPA（2）若 M 为线段 PA 的中点，且过 三点的平面与 PB 交于点 N，求 PN：PB 的C， D， M值。17右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形 ABCD，上部是圆 AB，该圆弧所在的圆心为 O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中 E，F 在圆弧 AB 上，G ，H 在弦 AB 上） 。过 O 作 ，交 AB 于ABPM，交
5、 EF 于 N，交圆弧 AB 于 P，已知 （单位：m）,记通风窗5.6,10MOEFGH 的面积为 S（单位： ）2m（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设 ，将 S 表示成 的函数；()POFrad(ii)设 ，将 S 表示成 的函数；MNxx（2）试问通风窗的高度 MN 为多少时？通风窗 EFGH 的面积 S 最大？18、如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 E： 的离心率为 ，xoy21(0)xyab2P BNA CD GO FEH M图17图图(第 16 题图)PA BCDM直线 l： 与椭圆 E 相交于 A，B 两点， ，C ，D 是椭圆 E 上异于 A，B12yx25两点，且直线
6、AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N.（1）求 的值；（2）求证：直线 MN 的斜率为定值。,ab19、已知函数 ，其中 为常数.(2)()1lnkxfxk(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程 .0kyf1,(2)若 ,求证： 有且仅有两个零点；5()x(3)若 为整数，且当 时， 恒成立，求 的最大值。k2()0fxk20给定一个数列 ，在这个数列中，任取 项，并且不改变它们在nam(3,)N数列 中的先后次序，得到的数列 的一个 阶子数列。n na已知数列 的通项公式为 ，等差数列 ， ，n1(,)a为 常 数 2a3是数列 的一个 3 子阶数列。6a（1） 求 的值
7、；xyAOBCDMN(第 18 题图)BADECF（第 21A 题图）（2） 等差数列 是 的一个 阶子数列，且12,mb na(3,)mN1bk，求证：()kNk为 常 数 1k（3） 等比数列 是 的一个 阶子数列，12,mc n(,)求证： 1 12mc南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试数学附加题21、选做题A，选修 4-1；几何证明选讲如图，过点 A 的圆与 BC 切于点 D，且与 AB、AC 分别交于点 E、F.已知 AD 为BAC 的平分线，求证：EF|BCB选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ，A 的逆矩阵a2031031bA（1） 求 a,b 的值； （2）求 A
8、 的特征值。C选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C： ，直线 l：2xsy）为 参 数(.设曲线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度。120()34xty为 参 数D选修 4-5：不行等式选讲已知 x,y,z 都是正数且 xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)822、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互2132独立.(1)分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 获胜的概率；（2）若比赛结果为 3：0 或 3：
9、1，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 3:2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求甲队得分 X 的分布列及数学期望。23、 （本小题满分 10 分）已知 ，定义,mnN(1)2(1)!nnmfm（1） 记 ，求 的值；6(af1212aa（2）记 ，求 所有可能值的集合。)mnbnbb南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 2一 32 455 5 786 7 8 9 1050 34 1311(1，2) 12 2 13 14100002415 （本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A、
10、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 cosC 35（1）若 ，求ABC 的面积；CBCA 92（2）设向量 x(2sin ， )，y(cosB，cos )，且 xy，求 sin(BA)的值B2 3 B2解：（1）由 ，得 abcosC CB CA 92 92又因为 cosC ，所以 ab 2 分3592cosC152又 C 为 ABC 的内角，所以 sinC 4 分45所以ABC 的面积 S absinC3 6 分12（2）因为 x/y，所以 2sin cos cosB，即 sinB cosB 8 分B2 B2 3 3因为 cosB0，所以 tanB 3因为 B 为三角形的内角，所以 B 1
11、0 分3所以 AC ，所以 A C 2323所以 sin(BA )sin( A)sin(C )33 sinC cosC 12 32 12 45 32 35 14 分4 331016 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中， ADCD AB， ABDC，ADCD，PC平面12ABCD（1）求证：BC平面 PAC；（2）若 M 为线段 PA 的中点，且过 C，D ，M 三点的平面与 PB 交于点 N，求 PN：PB的值证明：（1）连结 AC不妨设 AD1因为 ADCD AB，所以 CD1，AB212因为 ADC90，所以 AC ， CAB452在ABC 中，由余弦定理得 BC ，所
12、以 AC2BC 2AB 22所以 BCAC 3 分因为 PC平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 BCPC 5 分因为 PC平面 PAC，AC平面 PAC，PCACC，所以 BC平面 PAC 7 分（2）如图，因为 ABDC，CD平面 CDMN，AB平面 CDMN，所以 AB平面 CDMN 9 分因为 AB平面 PAB，(第 16 题图)PA BCDMN(第 16 题图)PA BCDM平面 PAB平面 CDMNMN，所以 ABMN 12 分在PAB 中，因为 M 为线段 PA 的中点，所以 N 为线段 PB 的中点，即 PN：PB 的值为 14 分1217 （本小题满分 14 分）右图为某
13、仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形 ABCD，上部是圆弧 AB，该圆弧所在圆的圆心为 O为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中 E，F 在圆弧 AB 上， G，H 在弦 AB 上) 过 O 作 OPAB，交 AB 于 M，交EF 于 N，交圆弧 AB 于 P已知 OP10，MP 6.5（单位： m） ，记通风窗 EFGH 的面积为 S（单位：m 2） （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设POF (rad)，将 S 表示成 的函数；(ii)设 MNx (m) ，将 S 表示成 x 的函数； （2）试问通风窗的高度 MN 为多少时，通风窗 EFGH 的面积
14、 S 最大？解：（1）由题意知，OFOP10，MP6.5，故 OM3.5(i)在 RtONF 中，NFOFsin 10sin ，ON OFcos10cos 在矩形 EFGH 中，EF2MF20sin ，FG ONOM10cos 3.5，故 SEFFG20sin(10cos3.5)10sin (20cos7) 即所求函数关系是 S10sin(20cos 7) ，0 0，其中 cos0 720 4 分(ii)因为 MNx，OM3.5，所以 ONx3.5在 RtONF 中，NF OF2 ON2 100 (x 3.5)23514 7x x2在矩形 EFGH 中，EF2NF ，FG MNx，351 28
15、x 4x2故 SEFFGx 351 28x 4x2即所求函数关系是 Sx ，0x6.5 8 分351 28x 4x2（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令 f()sin(20cos7)，EBGANDMCFOHP(第 17 题图)则 f ()cos(20cos7)sin (20sin )40cos 27cos 20 10 分由 f ()40cos 27cos 200，解得 cos ，或 cos 45 58因为 0 0，所以 cos cos0，所以 cos 45设 cos ，且 为锐角，45则当 (0，)时，f ()0 ，f ()是增函数；当 ( ， 0)时，f ()0 ，f()是减函数，所以当
16、 ，即 cos 时，f ()取到最大值，此时 S 有最大值45即 MN10cos3.54.5m 时，通风窗的面积最大 14 分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为 S ，令 f(x)x 2(35128x4x 2)，x2(351 28x 4x2)则 f (x)2x(2x 9)(4x 39) 10 分因为当 0x 时 ，f (x) 0，f(x) 单调递增，当 x 时，f (x)0，f(x)单调递减，92 92 132所以当 x 时，f( x)取到最大值，此时 S 有最大值92即 MNx4.5m 时，通风窗的面积最大 14 分18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
17、E： 1( ab0) 的离心率为 ，直x2a2 y2b2线 l：y x 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，AB2 C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 的任意两12 5点，且直线 AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N （1）求 a，b 的值；（2）求证：直线 MN 的斜率为定值解：（1）因为 e ，所以 c2 a2，即 a2b 2 a2，所以 a22b 2 2 分ca 22 12 12xyAOBCDMN(第 18 题图)故椭圆方程为 1x22b2y2b2由题意，不妨设点 A 在第一象限，点 B 在第三象限由 解得 A( b， b)y 12x，x22b2y2b2 1，)2333
18、3又 AB2 ，所以 OA ，即 b2 b25，解得 b235 543 13故 a ，b 5 分 6 3（2）方法一：由（1）知，椭圆 E 的方程为 1，从而 A(2，1)，B(2，1) x26y23当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为k1，k 2，C (x0， y0)，显然 k1k2从而 k1 kCB y0 1x0 2y0 1x0 2y02 1x02 43(1 sdo1(f(x02,6) 1x02 42 x022x02 4 12所以 kCB 8 分12k1同理 kDB 12k2于是直线 AD 的方程为 y1k 2(x2)，直线 BC 的方程为 y1 (x
19、2)12k1由 解得 y 1 12k1(x 2)，y 1 k2(x 2)，)从而点 N 的坐标为( ， ) 4k1k2 4k1 22k1k2 1 2k1k2 4k2 12k1k2 1用 k2 代 k1，k 1 代 k2 得点 M 的坐标为( ， )4k1k2 4k2 22k1k2 1 2k1k2 4k1 12k1k2 1 11 分所以 kMN 14(k1 k2)4(k2 k1)即直线 MN 的斜率为定值1 14 分当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2，1)仍然设 DA 的斜率为 k2，由知
20、kDB 12k2此时 CA：x2 ，DB ：y 1 (x2) ，它们交点 M(2，1 )12k2 2k2BC：y1， AD：y 1k 2(x2) ，它们交点 N(2 ，1) ，2k2从而 kMN1 也成立由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分方法二：由（1）知，椭圆 E 的方程为 1，从而 A(2，1)，B(2，1) x26y23当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k 2显然 k1k2直线 AC 的方程 y1k 1(x2) ，即 yk 1x(12k 1)由 得(1 2k12)x24k 1(12k 1)x2(4 k124k 12) 0y k1x
21、 (1 2k1)， x26y23 1 )设点 C 的坐标为(x 1，y 1)，则 2x1 ，从而 x1 2(4k12 4k1 2)1 2k12 4k12 4k1 22k12 1所以 C( ， )4k12 4k1 22k12 1 2k12 4k1 12k12 1又 B(2，1)，所以 kBC 8 分 2k12 4k1 12k12 1 14k12 4k1 22k12 1 212k1所以直线 BC 的方程为 y1 (x2) 12k1又直线 AD 的方程为 y1k 2(x2)由 解得 y 1 12k1(x 2)，y 1 k2(x 2)，)从而点 N 的坐标为( ， ) 4k1k2 4k1 22k1k2
22、 1 2k1k2 4k2 12k1k2 1用 k2 代 k1，k 1 代 k2 得点 M 的坐标为( ， )4k1k2 4k2 22k1k2 1 2k1k2 4k1 12k1k2 1 11 分所以 kMN 14(k1 k2)4(k2 k1)即直线 MN 的斜率为定值1 14 分当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2，1)仍然设 DA 的斜率为 k2，则由知 kDB 12k2此时 CA：x2 ，DB ：y 1 (x2) ，它们交点 M(2，1 )12k2 2k2BC：y1， AD：y 1k 2(
23、x2) ，它们交点 N(2 ，1) ，2k2从而 kMN1 也成立由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分19 （本小题满分 16 分）已知函数 f(x)1lnx ，其中 k 为常数k(x 2)x（1）若 k0，求曲线 yf(x) 在点 (1，f (1)处的切线方程；（2）若 k5，求证：f( x)有且仅有两个零点；（3）若 k 为整数，且当 x2 时，f (x)0 恒成立，求 k 的最大值（参考数据 ln82.08，ln92.20，ln102.30）解：（1）当 k0 时，f( x)1ln x因为 f (x) ，从而 f (1)11x又 f (1)1，所以曲线 yf(x )在点 (1，f
24、(1)处的切线方程 y1x1，即 xy0 3 分（2）当 k5 时，f( x)lnx 410x因为 f (x) ，从而x 10x2当 x(0 ，10)，f (x)0，f( x)单调递减；当 x(10，)时，f (x)0，f (x)单调递增所以当 x10 时，f( x)有极小值 5 分因 f(10)ln10 30，f(1)60，所以 f(x)在(1，10) 之间有一个零点因为 f(e4)4 40，所以 f(x)在(10 ，e 4)之间有一个零点10e4从而 f(x)有两个不同的零点 8 分（3）方法一：由题意知，1+lnx 0 对 x(2，)恒成立，k(x 2)x即 k 对 x(2 ，) 恒成立
25、x xlnxx 2令 h(x) ，则 h(x) x xlnxx 2 x 2lnx 4(x 2)2设 v(x)x2lnx 4，则 v(x) x 2x当 x(2 ，)时，v (x)0，所以 v(x)在(2 ，)为增函数因为 v(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在 x0(8，9)，v (x0)0，即 x02ln x040 当 x(2 ，x 0)时， h(x)0，h( x)单调递减，当 x(x 0， )时，h( x)0，h(x) 单调递增所以当 xx 0 时，h(x )的最小值 h(x0) x0 x0lnx0x0 2因为 lnx0 ，所以 h(x0) (4 ，4.5) x0
26、42 x02故所求的整数 k 的最大值为 4 16 分方法二：由题意知，1+ln x 0 对 x(2，)恒成立k(x 2)xf(x)1+lnx ，f (x) k(x 2)x x 2kx2当 2k2，即 k1 时，f( x)0 对 x(2，)恒成立，所以 f(x)在(2，)上单调递增而 f(2)1ln2 0 成立，所以满足要求当 2k2，即 k1 时，当 x(2 ，2k) 时， f (x)0， f(x)单调递减，当 x(2 k，)，f (x)0，f (x)单调递增所以当 x2k 时，f(x)有最小值 f(2k)2ln2kk从而 f(x)0 在 x(2 ，)恒成立，等价于 2ln2 kk 0令 g
27、(k)2ln2kk ，则 g(k) 0，从而 g(k) 在(1，)为减函数1 kk因为 g(4)ln820，g(5)ln1030 ，所以使 2ln2k k0 成立的最大正整数 k4综合，知所求的整数 k 的最大值为 4 16 分20 （本小题满分 16 分）给定一个数列a n，在这个数列里，任取 m(m3，m N *)项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列称为数列a n的一个 m 阶子数列已知数列a n的通项公式为 an (nN* ，a 为常数)，等差数列 a2，a 3，a 6 是数列1n aan的一个 3 阶子数列（1）求 a 的值；（2）等差数列 b1，b 2，b m 是 a
28、n的一个 m (m3，mN *) 阶子数列，且 b1 (k 为1k常数，kN*，k2)，求证：mk1；（3）等比数列 c1，c 2，c m 是a n的一个 m (m3， mN *) 阶子数列，求证：c 1c 2c m2 12m 1解：（1）因为 a2，a 3，a 6 成等差数列，所以 a2a 3a 3a 6又因为 a2 ，a 3 ， a6 ，12 a 13 a 16 a代入得 ，解得 a0 3 分12 a 13 a 13 a 16 a（2）设等差数列 b1，b 2，b m 的公差为 d因为 b1 ，所以 b2 ，1k 1k 1从而 db 2b 1 6 分1k 1 1k 1k(k 1)所以 bm
29、b 1(m1)d 1k m 1k(k 1)又因为 bm0，所以 01k m 1k(k 1)即 m1k1所以 mk2又因为 m，kN *，所以 mk1 9 分（3）设 c1 (tN *)，等比数列 c1，c 2，c m 的公比为 q1t因为 c2 ，所以 q 1t 1 c2c1 tt 1从而 cnc 1qn1 （ 1nm，nN *） 1t n 1所以 c1c 2c m 1t 1t 11t 21t m 1 1 t 1t m 13 分t 1t m 1设函数 f(x)x ， （m3 ，m N *） 1xm 1当 x(0 ，)时，函数 f(x)x 为单调增函数1xm 1因为当 tN *，所以 1 2 所
30、以 f( )2 t 1t t 1t 12m 1即 c1c 2c m2 16 分12m 1南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案A选修 41：几何证明选讲BADECF（第 21A 题图）BADECF（第 21A 题图）如图，过点 A 的圆与 BC 切于点 D，且与 AB、AC 分别交于点 E、F已知 AD 为BAC的平分线，求证：EFBC证明：如图，连接 ED因为圆与 BC 切于 D，所以BDEBAD 4 分因为 AD 平分BAC，所以BADDAC又DACDEF，所以BDEDEF 所以 EFBC 10 分B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 A ， A 的逆矩阵 A1
31、302a（1）求 a，b 的值；（2）求 A 的特征值解：（1）因为 A A1 302a 1 023 aba 1001所以 a 1， 23 ab 0)解得 a1，b 5 分23（2）由（1）得 A ，3021则 A 的特征多项式 f() (3)( 1)| 3 0 2 1|令 f()0，解得 A 的特征值 11， 23 10 分C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C： (s 为参数） ，直线 l： （t 为参数）x s，y s2)设 C 与 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度解：由 消去 s 得曲线 C 的普通方程为 yx 2；x s，y s2)由 消
32、去 t 得直线 l 的普通方程为 y3x2 5 分联立直线方程与曲线 C 的方程，即 y x2，y 3x 2，)解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4) 所以线段 AB 的长度为 10 分(2 1)2 (4 1)2 10D选修 45：不等式选讲已知 x，y，z 都是正数，且 xyz1，求证：(1x)( 1y)( 1z)8证明：因为 x 为正数，所以 1x2 x同理 1y2 ，y1z2 z所以(1x)( 1y)( 1 z)2 2 2 8 x y z xyz因为 xyz1， 所以(1 x )( 1y )( 1z)8 10 分22 （本小题满分 10 分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局
33、者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互12 23独立（1）分别求甲队以 30，31，32 获胜的概率；（2）若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分求甲队得分 X 的分布列及数学期望 解：（1）记甲队以 30，31，32 获胜分别为事件 A，B，C由题意得 P(A) ，3 827P(B)C ，23 2 1323 827P(C) C 5 分24 2 2 12 427（2）X 的可能取值为 0，1，2，3P(X3)P(A )P(B) ； P(X2)
34、P( C) ，1627 427P(X1)C ， P(X0) 1P(1 X3) 24 2 2 12 427 19所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 19 427 427 1627从而 E(X)0 1 2 3 19 427 427 1627 209答：甲队以 30，31，32 获胜的概率分别为 ， ， 甲队得分 X 的数学期望827 827 427为 10 分20923 （本小题满分 10 分）已知 m，nN *，定义 fn(m) n(n 1)(n 2)(n m 1)m!（1）记 amf 6(m)，求 a1a 2a 12 的值；（2）记 bm( 1) mmfn(m)，求 b1b 2b 2n 所有可能值的集合解：（1）由题意知，f n(m)所以 am 2 分所以 a1a 2a 12C C C 63 4 分16 26 66（2）当 n1 时， bm(1) mmf1(m) 则 b1b 21 6 分0， m2， 1，m 1)当 n2 时，b m又 mC m n nC ，mn n!m!(n m)! (n 1)!(m 1)!(n m)! m 1n 1所以 b1+b2b 2nnC C C C (1) nC 00n 1 1n 1 2n 1 3n 1 n 1n 1所以 b1+b2b 2n 的取值构成的集合为 1，0 10 分
