1、MATLAB数学实验,第四章 函数和方程,第四章 函数和方程,4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的MATLAB指令4.3 计算实验：迭代法4.4 建模实验：购房贷款的利率,4.1 预备知识：零点,非线性方程 f (x) = 0若对于数有f () = 0, 则称为方程的解或根，也称为函数f (x)的零点若f () = 0, f ()0 则称为单根。若有k 1, f () = f () = = f (k-1)() = 0，但 f (k)()0 , 称为k重根非线性方程求解通常用数值方法求近似解非线性方程（组）f (x) = 0， x=(x1, x2, ,
2、xn), f=(f1, f2, , fm),4.1 预备知识：极值,如果对于包含x=a的某个邻域 ,有 f(a)f(x) (f(a)f(x)对任意x成立, 则称a为f(x)的一个局部极小(大)值点。,如果对任意xD，有f(a)f(x)（f(a)f(x)）成立，则称a为f(x)在区域D上的一个全局极小(大)值点。,设x为标量或向量，y=f(x)是xD上的标量值函数。,4.1 预备知识：极值,4.1 预备知识：最小二乘拟合,假设已知经验公式y=f(c,x)(c为参数, x为自变量), 要求根据一批有误差的数据(xi,yi), i=0,1,n, 确定参数c.这样的问题称为数据拟合。 最小二乘法就是求
3、c使得均方误差最小化,当f关于c是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解，且其解存在唯一。 如果f关于c是非线性函数，问题转化为函数极值问题,4.2 函数零点MATLAB指令,多项式y=polyval(p,x) 求得多项式p在x处的值y，x可以是一个或多个点p3=conv(p1,p2) 返回多项式p1和p2的乘积p3,r=deconv(p1,p2) p3返回多项式p1除以p2的商，r返回余项x=roots(p) 求得多项式p的所有复根.p=polyfit(x,y,k)用k次多项式拟合向量数据(x, y),返回多项式的降幂系数,MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。,例2.用2次多项
4、式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72 M文件Ch4_2_1ex2.m,例1.求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 p=1 2 0 -5; x=roots(p) , polyval(p,x),Fun=inline(funstr,var) 定义一个inline 函数,其中funstr是函数的表达式, var是变量名,Fun=Mfun 定义一个函数句柄，这里Mfun是函数的M文件表达方式,Fun=(var)funstr 定义匿名函数，其中var是变量名, funstr是函数的表达式,4.2 非线性函数的
5、MATLAB表达,x=fzero(Fun, x0) 返回一元函数Fun的一 个零点,其中Fun为函数句柄、 inline函数或匿名函数。 x0为标量时, 返回函数在x0附近的零点； x0为向量a, b时, 返回在a,b中的零点,4.2 函数零点MATLAB指令,x,f,h=fsolve(Fun, x0) x: 返回多元函数Fun在x0附近的一个零点，其中x0为迭代初值向量; f: 返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h: 返回值如果大于0，说明计算结果可靠，否则计算结果不可靠。,例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 fun=inline(x*sin(x2
6、-x-1),x) fzero(fun,-2 -0.1), fzero(fun,-2,-1.2), fzero(fun,-1.2,-0.1) fzero(fun,-1.6), fzero(fun,-0.6), x,f,h=fsolve(fun,-1.6) x,f,h=fsolve(fun,-0.6),例4 求方程组在原点附近的解,xx(1)y x(2),function f=eg4_4fun(x)f(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1;f(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8;, x,f,h=fsolve(eg4_4fun,0 0),min(y) 返回向量y的最小
7、值max(y) 返回向量y的最大值,x,f=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函数y=fun(x)在a,b内的 局部极小值点, f返回局部极小值 fun为函数句柄或inline函数或匿名函数。,x,f=fminsearch(fun,x0) x返回多元函数y=fun(x)在初始值x0 附近的局部极小值点,f返回局部极小值. x, x0均为向量。,4.2 函数极值MATLAB指令,例 5 .求二元函数f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在原点附近的极大值。解：max fmin(-f) x x(1), y x(2), fun=inline( -(5-x(1)4-x(2)4+4*x(1)*
8、x(2); x,g=fminsearch(fun,0,0)% 注意：极大值为-g,注：在使用fsolve, fminsearch等指令时， 多变量必须合写成一个向量变量，如用x(1), x(2),。,4.2 最小二乘拟合MATLAB指令,假设已知经验公式y=f(c,x)(c为参数, x为自变量), 要求根据一批有误差的数据(xi,yi), i=1,n, 确定参数c. 这样的问题称为数据拟合。 最小二乘法就是求c使得均方误差最小化,当f关于c是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解，且其解存在唯一。 如果f关于c是非线性函数，问题转化为函数极值问题,c= lsqnonlin(Fun,c0) 使用
9、迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为数据)， c0为参数c的近似初值(与c同维向量),c=lsqcurvefit(Fun2,c0, xdata, ydata) 从外部输入数据xdata, ydata， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x),用lsqnonlin再解例4.2,先写M函数fitf.m function e=fitf(c) x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3; y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72; e=y-(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3
10、); 然后执行 c=lsqnonlin(fitf,0,0,0) %这里0,0,0为c的预估值，作为迭代初值。,用lsqcurvefit再解例4.2,fun2 = inline(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3),c,x) x=0.1, 0.2, 0.15, 0, -0.2, 0.3; y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72; c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y) 计算结果c = 1.7427 -1.6958 1.0850注意lsqnonlin与lsqcurvefit用法上的区别,迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开始，利用某种迭代格式x
11、 k+1 = g (x k ),求得一近似值序列x1, x2, , xk, xk+1, 逐步逼近于所求的解(称为不动点)。最常用的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式为,1 迭代法,4.3 计算实验：迭代法,牛顿法程序newton1.m,function x=newton(fname,dfname,x0,e)if narginex(k+1)=x(k)-feval(fname,x(k)/feval(dfname,x(k); k=k+1;endx=x(k);,牛顿法程序newton.m,function x=newton(fname,dfname,x0,e)if nargine x0=x; x = x0
12、-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);end,例6 求方程 x 2 - 3 x + e x = 2 的正根 (要求精度 = 10 -6),解 令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f(0)=-1,当x 2, f (x) 0, f (x) 0即f (x)单调上升，所以根在0,2内。先用图解法找初值，再用牛顿法程序newton.m求解。,M文件Ch4_3_1ex6.m,2线性化拟合,例7 .用函数y=aebx 拟合例2的数据,方法一：非线性拟合，记a=c(1), b=c(2) fun = inline(c(1)*exp(c(2)*x),c,x);
13、 x=;y=; c=lsqcurvefit(fun,0,0,x,y),方法二：线性化拟合，两边取对数得z=lny=lna+bx转化为线性拟合。 M文件Ch4_3_2ex7.m,不难算出，你向银行总共借了25.2万，30年内共要还51.696万，这个案例中贷款年利率是多少呢？,例8 .下面是新民晚报2000年3月30日上的一则房产广告：,4.4 建模实验：购房贷款的利率,解 设xk为第k个月的欠款数， a为月还款数, r为月利率。,xk+1 = (1+r) xk- a,那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 xk-2 (1+r)a a = = (1+r)k x0 a1+(1
14、+r)+(1+r)k-1 = (1+r)k x0 a(1+r)k-1/r,根据 a=0.1436, x0=25.2, x360=0得到 25.2(1+r)360 0.1436(1+r)360-1/r=0,很难用roots求解！,常识上，r应比当时活期存款月利率略高一些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为迭代初值，用fzero求解clear; fun=inline(25.2*(1+r)360-(1+r)360- 1)/r*0.1436 ,r)r=fzero(fun,0.0198/12);R=12*r得年利率为5.53%.,月还款计算公式,月还款x0 -借款额；N -剩余月数；r -月利
15、率=年利率/12,每次订货需要收取一定量的生产准备费。没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为此要付出储存费。若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备费的增加；反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产准备费减少但会造成储存费的增加。如何确定合适的订货量？,4.4 建模实验：最佳订货量,不讲，学生自学,解 先作一些必要的假设将问题简化1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的， 每日为r件；2）所订配件按时一次性交货， 生产准备费每次k1元；3）储存费按当日实际储存量计算， 储存费每日每件k2元;4）你的工厂不允许缺货。设一次订货x件，则订货周期为 T= x/r, 第t天的储存量为 q(t)= x-r
16、 t, 0tT,第t天的储存费为 k2q(t)一个周期的总储存费为一个周期总费用 C(x) = k1+k2x2/(2r)优化目标是使单位产品费用 f(x)=C(x)/x=k1/x+k2x/(2r) 达到最小由f(x)=0 ,即 -k1/x2+k2/(2r)=0 得,（经济批量订货公式）,线性迭代 xk+1=axk+b 要么收敛于它的不动点x=b/(1-a)，要么趋于无穷大。不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋于一个周期解，但也有可能在一个有限区域内杂乱无章地游荡，这类由确定性运动导致的貌似随机的现象称为混沌现象,4.4 建模实验：混沌,*昆虫数量的Logistic模型xk+1 = a
17、x k (1 - x k), 0a4 xk表示第k代昆虫数量(1表示理想资源环境最大可能昆虫数量)。 a为资源系数0a4保证了xk在区间(0,1)上封闭。,*平衡与稳定若g () = ,称为映射g(x)的不动点若对于不动点附近的初始值x0，迭代收敛于此不动点，称此不动点是稳定的,当0a1, 在0，1内有一个不动点0， 且由|g(0)| =a1, 不动点0不再稳定;当1a3，由|g (1-1/a)| =|2-a|3，出现两个周期2解，且3aa 迭代序列几乎杂乱无章， 即所谓混沌。,*混沌的特征 (i)初值敏感性: 两个任意近的点出发的两条轨迹 迟早会分得很开;(ii)遍历性: 任意点出发的轨迹总会进入 0,1内任意小的开区间。,例9（蛛网图）我们用蛛网图来显示混沌的遍历性。 yk = a x k (1 - x k), xk+1 = yk蛛网图正好显示迭代计算x0, y0, x1, y1,的一系列变化过程。 eg4_9.m,蛛网图,习题,P77: ex1, P78: ex2, ex5, ex8(1), ex9, ex10, ex11P79: ex12, ex14,
