1、2017年广西创新杯数学竞赛高二年级决赛试题一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知向量,a b 满足1a ，a与b的夹角为3，若对一切实数x，2xa b a b 恒成立，则b的取值范围是（）A1 , )2 B1( , )2 C1, ) D(1, )（韦兴洲供题）答案：C解析：由对一切实数x，2xa b a b 恒成立，得2 22xa b a b ，即2 2 2 22 4 +4 2x a b xa b a b a b ，把1a ，a与b的夹角为3代入，整理得 22 2 3 1 0x x b b b 恒成立，故 2 2=4 4 3 1 0b b b ，解得1b 2.设)2017sin(sin
2、oa ，)2017sin(cos ob，)2017cos(sin oc ，)2017cos(cos od ，则dcba ,的大小关系是（）A. dcba B. cdab C. abdc D. bacd （王强芳供题）答案：B解析：ooo 21736052017 ，oooo 217cos2017cos,217sin2017sin ooo 225217180 21217cos217sin0 ooba oo )217sin(cos)217sin(sin0 0)217cos(cos)217cos(sin dc oo因此cdab ，选B3已知两个等差数列 na和 nb的前n项和分别为nA和nB ,且7
3、453nnA nB n ,则当nnab为正偶数时,n的值可能是（）A6 B5 C4 D3（苏华东供题）答案：D解析：（排除法）当n=6时，761311 45117)(11 )(11 1111111 111111 11166 BAbb aabb aaba，不是正偶数，选项A错；当n=5时，939 4597)(9 )(9 9991 9191 9155 BAbb aabb aaba，不是正偶数，选项B错；当n=4时，54737 4577)(7 )(7 7771 7171 7144 BAbb aabb aaba，不是正偶数，选项C错；当n=3时，1035 4557)(5 )(5 5551 5151 5
4、133 BAbb aabb aaba，是正偶数，因此答案选D4.已知ba0，在ba,之间插入一个正数k，使得bka ,成等比数列，在ba,之间插入两个正数nm,，使得bnma ,成等差数列，则2)1( k与)1)(1( nm的大小关系为（）A. 2)1( k )1)(1( nm B. 2)1( k )1)(1( nmC. 2)1( k )1)(1( nm D.不确定（王强芳供题）答案：A解析：bka ,成等比数列，则abk 2，所以)1)(1(11212)1( 22 babaabababkkkbnma ,成等差数列，则nmba 且mnmnab )(3所以)1()1()1()1( nmba，且)
5、1()1()1()1( mnab因此)1)(1()1)(1( banm2)1( k )1)(1( nm5设)(xf是定义在R上的偶函数，对Rx，都有)2()2( xfxf，且当0,2x时，1)21()( xxf，若在区间(2，6内关于x的方程)1(0)2(log)( axxf a恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是( )A(1,2) B(2，) C(1, 3 4) D( 3 4,2)（唐光明供题）答案：D解析：对于任意的Rx，都有)2()2( xfxf，函数)(xf是一个周期函数，且T=4又0,2x时，1)21()( xxf，且函数)(xf是定义在R上的偶函数，若在区间(2，6内关于x的方程
6、)1(0)2(log)( axxf a恰有3个不同的实数根，则函数)(xfy 与)2(log xy a在区间（-2，6上有三个不同的交点，如下图所示：又3)2()2( ff，则有34log a，且38log a .解得：243 a .选D.6.黑板上写有1，12，13，1100共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b，然后删去a b，并在黑板上写上数a b ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）（A）2012（B）101（C）100（D）99（赵继源供题）答案：C解析：1)1)(1( baabba计算结果与顺序无关顺次计算得：21)121)(11( ，31)131)(1
7、2( ，41)141)(13( ，1001)11001)(199( 二、填空题（每小题9分，共54分）1.若函数0(log)( axxf a且)1a在区间2, aa上的最大值是最小值的3倍，则a=（唐光明供题）答：42或2解析：当10 a时，有)2(log3log aa aa ，解得42a当1a时，有)2(loglog3 aaaa ，解得2a2若直线1( 0, 0)x y a ba b 经过圆2 2 2 8 0x y x y 的圆心，则a b的最小值为_（苏华东供题）答案：9解析：将圆的方程2 2 2 8 0x y x y 变形为 2 21 4 17x y ,可知圆心为 1,4 ,半径为17直
8、线1( 0, 0)x y a ba b 过圆心 1,4即 1 4 1, 0, 0a ba b 0, 0a b , 1 4 4 45 2 5 9a b a ba b a b a b b a b a ,当且仅当4a bb a即3, 6a b 时取等号3.已知)cos1(22cos)( xaxxf 的最小值为12，则实数a的值为（黎福庆供题）答案：2 3 解：2( ) 2cos 1 2 2 cosf x x a a x 2 212(cos ) 2 12 2ax a a ，(1) 2a时，( )f x当cos 1x时取最小值1 4a；(2) 2a时，( )f x当cos 1x时取最小值1；(3) 2
9、2a 时，( )f x当cos 2ax 时取最小值21 2 12a a 又2a或2a时，( )f x的最小值不能为12，故21 12 12 2a a ，解得2 3a ，2 3a (舍去)4.在四面体ABCD中，2DA DB DC ，DA DB，DA DC，且DA与平面ABC所成角的余弦值为63则该四面体外接球体积为（卢瑞庚供题）答案：.34 解析：如图，作DO ABC面于O，连结AO，并延长交BC于点E，连结DE则DAE是DA与平面ABC所成的角，6cos 3DAE 2DA DB DC ，DA DB，DA DC，DA DBC面，O为ABC的外心，且2 2AB AC DA DE，E为BC中点，结
10、合6cos 3DAE 知，6AE ，2 2 8 6 2BE AB AE 2 2 2BC BE ，DB DCDA、DB、DC两两互相垂直，四面体外接球半径R 3.3434 3 RV5不等式2 13 3 28x x 的解集为_（赵继源供题）答案：为 ,12, 解析：当12 x时， 31212 xxxx，且 xxxxxg 1212 3333 xx 3339 1在 1,2上是减函数，在 1,1上是增函数 2812 ggxg当1x时， 12 xxxf是增函数，所以当1x时， 12 33 xxxg是增函数，且 28133 12 gxg xx当2x时， 12 xxxf是减函数，所以当2x时， 12 33 x
11、xxg是减函数，且 28233 12 gxg xx所以不等式2 13 3 28x x 的解集为 ,12, 6设 a表示不大于a的最大整数，则方程17 8x x 的最大正整数解为_（赵继源供题）答案：104.解析：设1187 mxx，则rmx 7，70 r，18 mx，所以mxm 81，mxm 888 ，所以，mrmm 8788 rmr 8，70 r，151 m当71 m时，解为rmx 7，1,2,1,0 mr 当148 m时，解为rmx 7，6,7,8 mmr当14m，68mr成立，所以1046147 x三、解答题（每小题20分，共60分）13.（20分）已知抛物线2xy 与直线)12()2(
12、 kxky（1）证明：无论k为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点（2）设该抛物线与直线的两个不同交点分别为),(),( 2211 yxByxA，若21,xx均为整数，求实数k的值（王强芳供题）（1）证明：联立 )12()2( 2 kxky xy消去y得0)12()2(2 kxkx 5分因04)2(84)12(4)2( 222 kkkkk，所以，该抛物线与直线恒有两个不同的交点10分（2）解：由（1）及根与系数的关系得12,2 2121 kxxkxx消去k得1)2)(2(522 212121 xxxxxx15分不妨设21 xx ，则 12 1221xx 3121xx，于是2k20分14.
13、设函数1cos4sin3)( xxxf，求实数ba,和实数2,0 使得1)()( xbfxaf对任意实数x恒成立（黎福庆供题）解：由题设可得1)sin(5)( xxf，其中20 且34tan ，1)sin(5)( xxf，将它们代入条件1)()( xbfxaf中,可得1)sin(5)sin(5 baxbxa ，5分即0)1()cos(sin5cos)sin(5)sin(5 baxbxbxa ，所以0)1()cos(sin5)sin()cos(5 baxbxba .10分由已知条件，上式对任意Rx恒成立，故必有0cos ba0sin b01ba这三个式子应同时成立. 15分若0b，则由知0a，显
14、然不满足式，故0b .所以，由知0sin ,故 或 20，当 20，时，1cos ，则、两式矛盾.故 ，1cos .由、知21ba . 20分15.（20分）在锐角ABC中，已知BCAH 于点H，P为高AH上的一点，过点P作AB的垂线与ABH的外接圆交于点DD ,，过P作AC的垂线与ACH的外接圆交于点EE , .证明：EEDD ,四点共圆，并指出所共圆的圆心（王强芳供题）证明：因为BCAH ，且A、H、C、E四点共圆，所以ECAE因为BCAH ，且A、H、B、D四点共圆，所以DBAD 5分而BCAP 2222 ACABPCPB )()( 2222 ECAEDBAD 2222 DBDAPBPAABPD 2222 EAECPAPCCAEP 10分将三式相加即可得0)(2 22 AEAD，所以AEAD 15分又DD直径AB，EE直径AC EAAEDAAD ,EEDD ,四点共圆，其圆心为A 20分
