1、- 1 -加试模拟训练题（24）1、已知单位面积的凸四边形 ABCD及其内一点 P，证明这 5 个点构成的三角形中必有一个的面积不超过 21，并证明这个上界是最小的。2、 已知正实数 cba,的和等于 1,证明: 1322abcba. - 2 -3给定空间中的 9 个点，其中任何 4 点都不共面，在每一对点之间都连有一条线段，这些线段可染为蓝色或红色，也可不染色. 试求出最小的 n 值，使得将其中任意 n 条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一，在这 n 条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形。4设 nm,是正整数， 2，证明：（ 1m） （ 2n） 。- 3 -加试模拟训练题（24）
2、1、已知单位面积的凸四边形 ABCD及其内一点 P，证明这 5 个点构成的三角形中必有一个的面积不超过 21，并证明这个上界是最小的。证明 假设两条对角线交于点 O，不妨假设 点在 OBC中。假设,PACBDPA的面积分别为 1234,S， ,PAD分别为abcd， ,CD，因为sinsincoscscoscos21coini2 ，所以有 1234PABCDSS。若 1234,S均大于 21，则3434PABCDPABCDS，矛盾。当等腰梯形 ABCD满足 平行于 BC， 21,ADBC，高为 2， P在对称轴上，且到 的距离为 1。此时 PPDSS，2PABCDS，所以 2是最小的。2、 已
3、知正实数 cba,的和等于 1,证明:1322. (1999-2000 年波兰数学竞赛题)证明: 根据不等式的特点,以 )(32cbaabc,- 4 -2)(1cba代入原不等式并整理可得齐次不等式: 22 )()(3cbaca.即 bbc)(.因为 )(222 cbacaa ,又 )(22cb= )(b+ 2+ )2bacc.纵上可知原不等式成立 .3 （Ramsey 问题）给定空间中的 9 个点，其中任何 4 点都不共面，在每一对点之间都连有一条线段，这些线段可染为蓝色或红色，也可不染色. 试求出最小的 n 值，使得将其中任意 n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一，在这 n 条线段的集
4、合中都必然包含有一个各边同色的三角形。解：在考虑这个问题前，先熟悉几个简单的问题。（1）任意 6 个人中，总有 3 个人，他们全部认识或全部不认识。运用图论的方法，考虑在 6K二色完全图中有同色三角形，这个是显然的。（2）房间里有 10 个人，任意三人中总有两个人相互认识，证明：其中必有 4 人相互认识。运用图论的方法， 10中，认识的用黄色相连，不认识的用红色相连。 10K中无红色三角形，待证明： 10中有黄色的 4（3） 5K二色完全图存在一种染色方法，使得其中无同色三角形我们采用比较原始的方法来证明：其中，右图的证明利用 6K二色完全图中有同色三角形且该同色三角形必定为黄色三角形。- 5
5、 -让我们再回到原始的问题。9 个点，可以有 36 条染色线段，如右图所示，我们可以构造一个如图所示的 9 个点的二色图，同一处的两个顶点的不连线，共有线段 32，所以 3n。如何证明这 33 条线段必定有同色的三角形呢？可以得到的结论是至多三条线段没有被染色？任意取一条不被染色线段，固定一个顶点，去掉该顶点及其相连接的线段，再取另一条不被染色的线段，同样操作。再取最后一条不被染色的线段，同样操作。至多去掉 3 个顶点，余下 6 个顶点，则结论必然成立。4设 nm,是正整数， 2，证明：（ 1m） （ 2n） 。证明：首先，当 时，易知结论成立。事实上， 时，结论平凡；当 mn时，结果可由 112mn推出来（注意 ） 。最后， 的情形可化为上述特殊情形：由带余除法 rpn0,而 0q，由于 2)(rmqn，从而由若 n是正整数，则 )(1221nnyxxy 知1|2(；而 m0，故由上面证明了的结论知 m (r（注意0r时结论平凡） ，从而当 时，也有（ 12m） （ n） 。这就证明了本题的结论。 987654321
