1、高中数学精华版高中数学- 极极 限限1.极限主要分为数列极限和函数极限2. 数列极限的表示方法： anlim当 时， n.几个常用极限： Cnli（ 为常数） ),(01lim是 常 数kNk对于任意实常数，当 |a时， lina当 1时，若 a = 1，则 1limn；若 a，则 nna)1(limli不存在当 a时， nli不存在数列极限的四则运算法则：如果 bnnli,lim，那么 ab)(li nnli )0(limba特别地，如果 C 是常数，那么 annnlili)(li.数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当 1q时，无穷等比数列的各项和为 )1(qaS.（化循环小数为分
2、数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；当自变量 x无限趋近于常数 0x（但不等于 0x）时，如果函数 )(xf无限趋进于一个常数 a，高中数学精华版就是说当 x趋近于 0时，函数 )(xf的极限为 a.记作 axf)(lim0或当 0x时， af)(.注：当 时， )(f是否存在极限与 在 0处是否定义 ，因为 并不要求0.（ )(f在 0是否有定义与 )(f在 处是否存在极限 函数 )(f在 0有定义是limx存在的 条件）如 1)(xP在 处无定义，但 )(lim1xP 函数极限的四则运算法则：如果 bgafxx)(li,)(li00 ，那么 flim0 baxg
3、fx)(li0 0)(li0特别地，如果 C 是常数，那么 )(lim)(li00 xfxfx.nxnfflili00（ N）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 举个例子?几个常用极限： 01limxn a（0 a1）； 0limxa（ 1） sil0xsinl0x ex)1(lim， ex10)(li（ 71823.）4. 函数的连续性：如果函数 f（x ），g（x）在某一点 0x连续，那么函数)(),(),() fff在点 处都连续.函数 f（x）在点 0x处连续必须满足三个条件：高中数学精华版 数 f（x）在点 0x处 ； )(
4、lim0xf ；函数 f（x）在点 处的极限值 该点的函数值，即表达式为函数 f（x）在点 0x处不连续（间断）的判定：如果函数 f（x）在点 处有下列三种情况之一时，则称 0x为函数 f（x）的不连续点.f（x）在点 0处没有定义，即 )(0xf不存在； )(lim0fx不存在； )(lim0fx存在，但 )(lim0ffx.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理(主要是压轴题会用到，暂时初步了解) ：零点定理：设函数 ）（ xf在闭区间 ,ba上连续，且 0)(bfa.那么在开区间 ),(ba内至少有函数 )(f的一个零点，即至少有一点 （ ）使 f.介值定理：设函数 )(xf在闭区间 ,ba
5、上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf)(,)(，那么对于 BA,之间任意的一个数 C，在开区间 ),(ba内至少有一点 ，使得 C（ a b）.夹逼定理：设当 |0x时，有 )(xg f )(xh，且 Axhxg)(lim)(li00 ，则必有 .)(lim0Axf注： |：表示以 0为的极限，则 |0x就无限趋近于零.（ 为最小整数）6. 几个常用极限： 1,0limqn )(!lian kk,10li为常数） limn kk,0()(li为常数）高中数学精华版高中数学 导导 数数1. 导数（导函数的简称）的定义：设 0x是函数 )(xfy定义域的一点，如果自变量 x在0x处有
6、增量 x，则函数值 y也引起相应的增量 )(00f；比值ffy)(0称为函数 )(f在点 0到 之间的平均变化率；如果极限xffx)(limli 000存在，则称函数 )(xfy在点 0处可导，并把这个极限叫做 )(fy在 处的导数，记作 )(0xf或 0|x，即 f=xfx)(lili00.注： 是增量，我们也称为“改变量”，因为 x可正，可负，但不为零.以知函数 )(fy定义域为 A， )(fy的定义域为 B，则 A与 关系为 B.2. 函数 )(xf在点 0处连续与点 0x处可导的关系：导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的
7、导数导数的运算法则高中数学精华版函数 )(xfy在点 0处连续是 )(xfy在点 0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 )(f在点 0处可导，那么 )(xfy点 0处连续.事实上，令 x0，则 x相当于 .如果 )(fy点 0处连续，那么 )(fy在点 0x处可导，是不成立的.例： |xf在点 处连续，但在点 处不可导注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数 )(xfy在点 0处的导数的几何意义就是曲线 )(xfy在点 )(,0xf处的切线的（）也就是说，曲线 )(xfy在点 P )(,0xf处的切线的斜率是 f，切线方程为.)(0
8、0xfy4. 求导数的四则运算法则：- )(vu )(.)()(.)( 2121 xfxffyxfxffy nn )(cvcv （ 为常数）)0(2 vuu注： v,必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设 xxf2sin)(， xg2cos)(，则 )(,xgf在 0处均不可导，但它们和)(gfcosin在 0处均可导.5. 复合函数的求导法则： )()( xufxf或 xuy复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法： 常数的判定方法: 7. 极值的判别方法：高中数学精华版极值是在 0x附近所有的点，都有 )(xf )0f，则例如：函数 |)(xfy，在点 0处不可导，但点 0x是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：III. 求导的常见方法：常用结论： x1|)(ln.形如 ).(21naaxy或 ).(21nbxbxaay两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如 xy这类函数，如 xy取自然对数之后可变形为 xylnl，对两边求导可得 xxlnln1ln .
