1、1两点之间线段最短教学目标：“两点之间，线段最短”使用。重难点：探究拓展问题1、小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？2、蚂蚁爬行路线最短问题。一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 A 沿表面爬行到顶点 B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点 C 呢？结论？3、对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上？如何解？关于最短路径思考“两点之间，线段最短”这个数学公理的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接 A、B 两点的线段中哪一条最短。当 A、B 在同一平面内时，即使是从北京到天津，我们也可以轻松地利用“两点之间，线段最短”得出线段 AB 是
2、 A、B 两点间的最短路径（如图 1-1）。图 1-1有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图 2-1）：图 2-1有一位将军骑着马要从 A 地走到 B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。乍一看似乎无从下手。观察发现可用“两点之间，线段最短”来解，方法：做 B 点与河面的对称点 B,连接AB，可得到马喝水的地方 C。再连接 CB 得到这道题的解 ACB。这就是著名的“将军饮马”问题。不信的话你可以在河边任意取一点 C连接 AC和 CB，比较一下就知道了。明白了！刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。图 3-1求点 A 到点 C的最短路径是那一条。
3、此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图 3-2）。图 3-2从而得到两条最短路径：ABCC和ACDC。同理，共可得 6 条最短路径(如图 3-345)。图 3-3 图 3-4 图 3-52分别为：ABCC、ACDC、ADDC、ABBC、AADC、AABC。那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图 4-1）图 4-1从 A 到 C，怎样走最近？从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同长方体各面不相等，因此我们需比较那条路径最短。观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就可以了（如图 4-23
4、）。图 4-2 图 4-3解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z（zyx）依题意，得：= = = 2xy2xz2yz即走第 1 条路径最短。得到从 A 到 C的路径中从 ABBC和ADDC最长，ADCC最短，（若要求不经过 ABCD和 ABCD 两面？）。平面里的情况是这样，在曲面里呢？（如图 5-1），从 A 到 B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图 5-2），此时，只有 A 点位于园与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径 AB。图 5-1 图 5-2从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考。而且得出正方体有 6 条最短路径
5、；长方体有 2 条最短路径；圆柱有 1 条最短路径。再探究与再思考： 问题一：已知，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点，使得 PA+PB 最小。（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB 即可轻松的得到答案。如图所示。线段 AB 与直线 L 的交点，就是题目要求的点 P。总结：十分简单却是本类难题的基础，问题二：已知，A，B 在直线 L 的同一侧，在 L 上求一点，使得 PA+PB 最小。（如图所示）解：首先，作点 B 关于 L 的对称点 B，（如图所示），因为 OB=OB,BOP=BOP，OP=OP，所以OPBOPB。所以 PB=PB。因此，求 AP+BP就相当于
6、求 AP+PB。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。因此只用连接 AB即可，与直线 L 的交点，就是题目要求的点 P。结论：把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为3自己解题的方法之一。问题三：A 是锐角MON 内部任意一点，在MON的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小。(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作 A 关于 OM 的对称点 D，再作 A 关于 ON 的对称点 E。连接 DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为 D，B，C，E 在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
7、下面我们看一看四边形一边确定。问题四：AB 是锐角MON 内部的一条线段，在角MON 的两边 OM，ON 上各取一点 C，D 组成四边形，使四边形周长最小。（如图所示） 解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A 关于 OM 的对称点 E，再作 B 关于 ON 的对称点 F，连接 EF 即可。如图。ABCD 便是周长最小的。延伸：下面我把上一题简单变形，把锐角变为直角，大家再看，本图有没有似曾相识之感？对了，我们见过的，只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系，再把 AB 两点固定位置，这样，就变为了中考的最后一题。原题：在直角坐标系中，有四个点 A（-8，3）、B（-4，5）、C
8、（0， n）、D(m,o),当四边形 ABCD的周长最短时，求 m/n 的值。解：依题意画图得：由探究问题四得知，作 B 关于 Y 轴的对称点B，A 关于 X 轴的对称点 A。连接 AB，他们与 X 轴，Y 轴的交点便为所求。如图所示，过 A与 B两点的直线的函数解析式可求。设过 A（-8，-3）与 B（4,5）两点的直线的函数解析式为y=kx+b.依题意得：-8k+b=-3, 4k+b=5 解得，k=2/3,b=7/3所以，（0,n）为（o,7/3）(m,o)为(-3.5,o)所以，m/n=-3/2以上一些想法，把复杂费解的问题变简单了，好理解了！课外阅读：轴对称最短路径问题例 1如图，牧童
9、在 A 处放马，其家在 B 处，A、B到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD，若点 A到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接 AB，得到最短距离为 AB，再根据全等三角形的性质和 A 到河岸CD 的中点的距离为 500 米，即可求出 AB 的值AB=1000 米故最短距离是 1000 米例 2如图，正方形 ABCD，AB 边上有一点 E，AE=3，EB=1，在AC 上有一点 P，使 EP+BP 为最短求：最短距离EP+BP分析：此题中，点 E、B 的位置就相当于例 1 中
10、的点 A、B，动点 P 所在有直线（作为对称轴）相当于例 1 中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论 P 在什么位置，都有 PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求 PE+PD的最小值问题，分析易得连接 DE 与 AC，求得交点就是要求的点的位置例 3如图，XOY 内有一点 P，在射线 OX 上找出一点 M，在射线 OY 上找出一点 N，使 PM+MN+NP最短分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点4分别以直线 OX、OY 为对称轴，作点 P 的对应点 P1与 P2，连接 P1P2交 OX 于
11、 M，交 OY 于 N，则PM+MN+NP 最短例 “造桥选址问题”如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为 5 米，从 A 处到达 B 处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B 在东西方向上相距 65 米，南北方向上相距 85 米，恰当地架桥可使ADDEEB 的路程最短，这个最短路程是多少米？分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将 ADDEEB 通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答解：作 AFCD，且 AF=河宽，作 BGCE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于 E、D作DD、EE即为桥
12、证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形 AFDD 为平行四边形，于是 AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB 最短例（2008内江）如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= 。分析：因为 AB，PN的长度都是固定的，所以求出 PA+NB 的长度就行了问题就是 PA+NB 什么时候最短把 B 点向左平移 2 个单位到B点；作 B关于x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于 P，从而确定 N 点位置，此时 PA+NB 最短再求a 的值此题中的 PN 就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平
13、行四边形和轴对称将折线之和最短转化为两点之间线段最短至于“抛物线”这一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了。但中纵观上述几题我们不难发现，这一类题型的解题思路是一样的：找到关于线的对称点实现“折”转“直” ，再利用“两点之间线段最短”这一性质来解决。 1、已知两点 D(1,-3),E(-1,-4). M,N 是直线L:y=x 上的两动点，且 MN=根号 2,求使四边形 DEMN周长最小时 M,N 两点坐标.解答思路：不妨设 M 点在 N 点下方，首先说一下用几何方法找出四边形 DEMN 周长最小时的位置作 D 点关于直线 L 对称点 A，将 A 沿 NM 方向平移到B，连接 BE 与直线
14、 L 交于点 M，则此时四边形 DEMN周长最小，（此时 MENDBE，有最小值，如果 M在另外的任意位置，如图中的 M，显然有MENDMENAMEMBBE，因此 M 点是使得四边形 DEMN 周长最小的点），容易求出此时各点的坐标是：A(3，1) ，B(4，0)，不难求出直线 BE 的解析式为：y4x/316/3，与直线L 的解析式 yx 组成方程组y4x/316/3，yx，解得x16/7，y16/7 所以 M 点的坐标是M（16/7，16/7）进而求出 N 点的坐标N（9/7，9/7），问题 1：（2006 湖州市）如图 3，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为 A（2，3），B（
15、4，1）。5（1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当p=_时，PAB 的周长最短； （2）若 C（a，0），D（a+3，0）是 x 轴上的两个动点，则当 a=_时，四边形 ABDC 的周长最短；（3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（m，0）、N（0，n），使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m = _,n =_（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。提示分析：（1）利用轴对称：（2“轴对称”和“平移”结合，做 BCBD 且BC=DB,这是解决该问题的关键！（3）利用轴对称练习：1.在平面直角坐标系中，已知 A(-2,-1),B(
16、-1,3),点 C，D 是 y 轴上的点，且 CD=1,点 C 在点D 上边，求使四边形 ABCD 周长最小时点 C，D 的坐标 提示：答案 C(0,2),D(0,1) 一类涉及周长最短的中考综合题解法解决图形的周长最短问题，就是要设法把图形中的几条还没有确定的线段转化到某条直线上的同一条线段中来。在这一转化过程中就需用到轴对称性，结合实际灵活运用，然后联系有关知识及相关的函数解析式确定出符合条件的点的坐标或周长的最短值。那么，在具体的综合性问题中，周长最短问题到底是怎样来灵活转化的呢？以 2006 年中考题为例。例 1 （2006 北京市）已知抛物线cbxay2与 y 轴交于点 A（0，3）
17、 ，与 x 轴分别交于 B（1，0） 、C（5，0）两点。 （1）求此抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式；（3）若一个动点 P 自 OA的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设为点 E） ，再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F） ，最后运动到点 A。求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。析解：（1）因为抛物线过 B（1，0） 、C（5，0）点，所以可设抛物线为 )5x(ay把点 A（0，3）坐标代入，得53，所以抛物线为 )5x(1y，即3x18y2（2）因为 OA=3，所以 OA 的三等分点为（0
18、，1）或（0，2） 。设直线 CD 的解析式为 bkxy，6当点 D（0，1）时，求得直线 CD 为 1x5y当点 D（0，2）时，直线 DC 的解析式 2（3）如图 1，由题意 M（0， 23） ，根据线段中垂线上的点到线段两个端点距离相等，作出点 M 关于 x轴的对称点 （0， 23）及点 A 关于抛物线对称轴直线 x=3 的对称点 （6，3） 。连结 交 x 轴于点 E，交抛物线对称轴直线 x=3 于点 F。图 1因为 FAEM， ，所以 M的长就等于点P 运动的最短总路径。由 （6，3） 、 （0，-1.5） ，求得直线 的解析式为： 23x4y当 y=0 时，x=2，所以 E（2，0
19、）当 x=3 时， 43y，所以 F（3， 4）因为 215.6AMA22所以点 P 运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为 。【 (3) 由于点 A 和 M 在两直线 x 轴和抛物线的对称轴夹角的内部，根据变式 2 的阐述，应把它们转移到角的两侧。作点 M（0，3/2 ）关于 x 轴的对称点 M（0，-3/2 ），点 A（0，3）关于直线 x=3的对称点 A(6,3),则最短总路线长为 AM+AM=3/2 + 15/2=9；OEAA, FDOM ,MOEMAA, EDFEOM, OE/AA=OM/AM,DF/OM=DE/OE ,求得 OE=2，DF= 3/4，点 E（2，0），点 F（3
20、，3/4 ）】例 2 （2006 湖南省岳阳市）如图 2，抛物线x3y交 x 轴于 A、B 两点，交 y轴于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C 的坐标。（2）把ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180，得到四边形 AEBC。求 E 点的坐标。试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由。（3）试探求：在直线 BC 上是否存在一点 P，使得PAD 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。图 2析解：（1）因为 3x23y当 x=0 时， ；当 y=0 时， 03x23解得1x21，所以 A（3，0） 、B（1，0） 、C（0， 3） 。（2）因为 3O，OB=1
21、，OA=3，因为BAE 由ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180所得，所以点E（ ， ） 。因为 AE=BC，BE=AC，所以四边形 AEBC 是平行四边形，又 21)3(BC2， ，32)(3AC2，AB=4，所以有B，所以ACB=907所以四边形 AEBC 是矩形。（3）因为点 A、点 D 都在直线 BC 的同一旁，所以根据 ACBC，由对称关系可求得点 A 关于直线 BC的对称点 （3， 2） 。 （也可理解为把AOC 向上平移 个单位后再向右平移 3 个单位得 ） 。连结 DA，则 的长就是PAD 的最小周长。因为 D（1， 34） 、 A（3， 2） ，由 A、D 则可求得直线 的
22、表达式为：3x6y；又因为过点 B、C 的直线解析式为： 解方程组求得两直线的交点为 P（ 73，10） 。所以存在点 P。例 3 （2006 浙江省湖州市）如图 3，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为 A（2，3） 、B（4，1） 。 （1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当 p=_时，PAB 的周长最短；（2）若 C（a，0） ，D（a+3，0）是 x 轴上的两个动点，则当 a=_时，四边形 ABDC 的周长最短；（3）设 M、N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（m，0） 、N（0，n） ，使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=
23、_，n=_（不必写解答过程） ；若不存在，请说明理由。图 3析解：（1）因为 A、B 两点已确定，要使PAB 周长最短，只要使 PA+PB 的长最短。所以在图中作出点 B 关于 x 轴的对称点 （4，1） ，连结 AB交 x 轴于点 P。设直线 AB的解析式为 bkxy把A（2，3） ， （4，1）坐标分别代入得bk4解这方程组得 7b2k， 。所以直线B的解析式为 7xy令 y=0，得 2，所以 p时，PAB 的周长最短。（2）因为动点 C（a，0） ，动点 D（a+3，0） ，所以CD=3，而 AB 由条件可求得长为 2，所以要使四边形 ABDC 周长最短，只要使 AC+BD 的长最短，则
24、就满足条件。所以先作点 B 关于 x 轴的对称点B（4，1） ，再把点 向左平移 3 个单位至（1，1） 。连结 A交 x 轴于点 C。由点（1，1） ，A（2，3）得直线 的解析式为5x4y，当 y=0 时， 45，即 a。这时，四边形 ABDC 的周长最短。（3）存在符合条件的点 M、N。作点 B 关于 x 轴的对称点 B（4，1） ；作出点 A 关于 y 轴的对称点 A（2，3） ，连结 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N。由 （2，3） 、 （4，1）可得直线B的解析式为 35x2令 y=0，得 25x，即25m；令 x=0，得 35y，即 35n。所以存在符合条件的点 M、N。课
25、外阅读：最短路径问题之两点之间线段最短问题系列设计：一、依据原理：1、 已知线段 AB=5cm，在平面内找点 P，使PA+PB 值最小，求点 P 的位置和这个最小值；2、要建造一个自来水塔 P，使它到四个村庄A、B、C、D 的距离之和最小，求点 P 的位置；83、已知点 A、B 在直线 l 的两侧，在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB 最短；二、反射变换：4、已知点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上找点 P，使 PA+PB 最短；5、已知点 A、B 在MON 的两侧，分别在 OM、ON上找点 P、Q 使 AP+PQ+QB 最短；6、把点 A 移动至MON 的内部，5 中的其它不变
26、，怎样求解？7、把点 B 移动至与点 A 在MON 的同侧外部，5中的其它不变，怎样求解？8、把点 A、B 都移动至MON 的内部，5 中的其它不变，怎样求解？9、已知点 A 在MON 的的内部，分别在 OM、ON上找点 P、Q 使APQ 周长最短；三、平移变换：10、已知村庄 A、B 之间有一条河流，河两岸a、b 互相平行，现要在河上架一座桥，使村庄A、B 之间的路程最短，桥应该建在什么位置？；11、已知点 A、B 在直线 l 的两侧，MN 是直线 l上的动线段，且 MN=3，当 AM+BN 最小时，求作线段 MN 的位置；12、已知点 A、B 在直线 l 的同侧，MN 是直线 l上的动线段
27、，且 MN=3，求作 M、N 的位置，使得四边形 AMNB 的周长最小。 课内练习与例题：例 1：第一小题、第二小题针对问题 4，第三小题针对问题 8；（1） 等边三角形 ABC 中，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P 使 BP+PE 的值最小，并求最小值做法：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 CE 。（2）实践运用如图：已知O 的直径 CD 为 4，弧 AD 的度数为60，点 B 是弧 AD 的中点，在直径 CD 上找一点P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP
28、的最小值。（3）拓展延伸已知抛物线 y= x2- x+2,一个动点 M 自（0,1）出发，先到达 x 轴上的某点（设为 E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点A（0,2），确定使点 M 的运动总路径最短的点 E、点 F 的位置，并求这个最短路程的长。解：（1）BP+PE=CE= AB.23(2)作点 B 关于直线 CD 的对称点 B,依据圆的轴对称性，点 B在圆上，连接 AB，交 CD 于P,P 就是所求作的点，因此 BP+AP 的最小值为AB，连接 OA,OB,易知AOB=90，所以AB=2 2（3）作点 M 关于 x 轴的对称点 M，点 A 关于抛物线对称轴的对称点
29、A，连接 MA，分别交x 轴于点 E，交抛物线对称轴于点 F，点 E、F 就是所求作的点，MA的长就是最短路径的长= 。求得直线 MA的解析式为 y= x-1,所以点E（ ，0），点 F（ ， ）。例 2：针对问题 9 设计；已知：在OAB 中，O 为坐标原点，A(4,4),B（8，0）,C 为 AB 的中点在边 OA、OB 上分别找点P、Q 使CPQ 的周长最小，并求出点 P、Q 的坐标。解：作点 C 关于直线 OA 的对称点 C和关于 x轴的对称点 C，连接 CC,分别交直线 OA和 x 轴于点 P、Q，则 P、Q 就是所求作的点；CPQ的最小周长=CC，因为 A（4,4），B(8,0),
30、C为 AB 的中点，所以 C(6，2),C 与 C关于直线 y=x轴对称，故 C（2,6），因为 C 与 C关于 x 轴对称，故 C（6，-2），求得 CC=4 ；用待定系数法求出直线 CC的函数解5析式：y=-2x+10,所以与直线 OA：y=x 的交点 P 的坐标为（ 10/3，10/3 ），与 x 轴的交点 Q 的坐标为（5,0）。例 3：针对问题 12 设计。已知：点 A（0,2），B(4,5),MN 为 x 轴上的一条动线段，且 MN=2,当四边形 AMNB 的周长最小时，求点M、N 的坐标，并求出四边形周长的最小值。解：因为 A、B 在动线段 MN 所在直线的同侧，故作其中一个点如
31、 A（0,2）关于这条直线（x 轴）的轴对称点 A（0，-2），把 A、B 中的一点如点B(4，5)沿 NM 方向平移，平移距离为 NM 的长度，得到 B（2,5），连接 AB，与 x 轴的交点就是点 M 的位置，(M 与 A 相连。或者 M 与 A相连），用待定系数法求出直线 AB：y= x-2,再求出与x 轴的交点即 M 的坐标（ ，0），从而得到 N 的坐标为（ ，0）；四边形周长的最小值=AB+AB，9分别以 AB、AB为斜边构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，求得 AB+AB=5+ .课后练习1、（2010 天津市 25 题 10 分） 在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原
32、ACB点，顶点 A、B 分别在 轴、 轴的正半轴上， ，xy3A，D 为边 OB 的中点.4O（）若 为边 上的一个动点，当 的周长EODE最小时，求点 的坐标；温馨提示：如图，可以作点 D 关于轴的 对 称 点 ，连 接 与 轴 交 于 点 E，此时xCDx的周长是最小的.这样，你只需求出 的长，就可以CO确定点 的坐标了.第（25）题yBODCA xEyBODCA x（）若 、 为边 上的两个动点，且 ，EFOA2EF当四边形 的周长最小时，求点 、 的坐标.CD分析：（1）两已知点在已知直线的同侧，因此作点 D 关于 x 轴的对称点 D,如图 14-1；(2) 固定长线段在所在的直线上移
33、动，且两定点在这条直线的同侧，因此不仅要作点 D 关于 x 轴的对称点 D，还要以C、D为一对对角的顶点，一组对边平行于 x 轴且等于 EF 作平行四边形如图14-2。（25） （本小题 10 分） 解：（）如图，作点 D 关于 轴的对称点 ，连接xD与 轴交于点 E，连接 .若在边 上任取点CxOA（与点 E 不重合） ，连接 、 、 .由CECE，可知 的周长最小. 在矩形 中，DB， ， 为 的中点，3OA4BDO ， ， .C26B OEBC， Rt Rt ，有 .ECEDO .2316DOB 点 的坐标为（1，0）. 6 分（）如图，作点 关于 轴的对称点 ，在 边xDCB上截取 ，
34、连接 与 轴交于点 ，在2CGE上截取 EF. GC EF， ，AGF 四边形 为平行四边形，有 .又 、 的长为定值，D 此时得到的点 、 使四边形 的周长最CDE小. OEBC， Rt Rt , 有 OBG.OEBG .()2163DBG .1723FE 点 的坐标为（ ，0） ，点 的坐标为（ ，0）. 10F73分yBODCA xEGFyBODCA xE 归纳小结：知识归纳：一个原理，两种变换。数学思想归纳：化归与数形结合。2、 （2011 深圳 23 题）23 （本题 9 分）如 图 13，抛物 线10y ax2 bx c（ a0）的顶点为 C（1，4 ） ，交 x 轴于A、 B 两
35、点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） 。（1）求抛物线 的解析式；（ 2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2，若直 线 PQ 为抛物 线的对称轴，点 G 为直线PQ 上的一动点，则 x 轴上师范存在一点 H，使D、G、 H、F 四点所围成的四 边形周长最小。若存在，求出这个最小 值及点 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由。（3）如图 15，在抛物线上是否存在一点 T，过点T 作 x 轴的垂 线，垂足为点 M，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD。若存在，求出点 T 的坐标；若不
36、存在，请说明理由。23、 解：（1 ）设所求抛物线的解析式为：y a(x 1)24，依题意，将点 B（3，0）代入，得：a(31) 240 解得： a 1所求抛物线的解析式为：y (x1) 2 4（2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F与点 I 关于 x 轴对称， 在 x 轴上取一点 H，连接HF、 HI、HG、GD、GE ，则 HFHI设过 A、E 两点的一次函 数解析式为： y kx b（ k0） ，点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x2 代入抛物线 y (x1) 24，得11EF图 6A B xyODCQIGHPy (21 )243 点 E 坐标为（2 ，
37、3 ）又 抛物线 y (x1) 24 图 像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、 B、D 当 y0 时，(x 1) 240， x1 或 x3 当 x0 时，y1 43,点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，点 D（0，3）又 抛物线的对称轴为：直线 x1，点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GDGE 分别将点 A（ 1，0） 、点 E（2，3 ）代入 y kx b，得： 解得：2kb1kb过 A、 E 两点的一次函 数解析式为： y x1 当 x0 时， y1点 F 坐标为（0，1） 又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，2D点 I 坐标为（0 ，1 ） 2245EI又 要使四边形 DFHG
38、的周 长最小，由于 DF 是一个定值， 只要使 DGGH HI 最小即可由图形的对称性和、，可知，DGGHHFEG GHHI 只有当 EI 为一条直线时，EG GHHI 最小设过 E（2，3） 、I（0，1）两点的函数解析式为：y k1x b1（ k10） ，分别将点 E（2，3） 、点 I（0，1）代入y k1x b1，得： 解得：13kb12kb过 A、 E 两点的一次函 数解析式为： y2 x1 当 x1 时， y1 ；当 y0 时， x ；点 G 坐标为（1 ，1） ，点 H 坐标为（ ，0）2四 边形 DFHG 的周长最小 为：DFDG GHHFDFEI 由和，可知： DFEI 25
39、四边形图 7A BxyODCMTNDFHG 的周长 最小为 。2512（ 3）如 图 7，由题意可知，NMDMDB，要使，DNMBMD，只要使即可，即： MD 2NMBDNMDB设点 M 的坐标为（ a，0 ） ，由 MNBD，可得AMNABD， NAMB再由（1） 、 （2）可知，AM1 a，BD ，AB 4 32 ()32(1)4ABDMD2OD 2OM 2 a29，式可写成： a29 ()32解得： a 或 a3 （不合题意，舍去）点 M 的坐标为（ ，0 ）2又 点 T 在抛物线 y (x1) 24 图像上，当 x 时， y 点 T 的坐标为（ ， ）3153153、(2011 清远市
40、)26如图 9，抛物线与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点kxy21(xyC（0， ）.3（1）求抛物线的对称轴及 的值；k（2）抛物线的对称轴上存在一点 P，使得的值最小，求此时点 P 的坐标；PCA（3）点 M 是抛物线上的一动点，且在第三象限.当 M 点 运 动 到 何 处 时 ， AMB 的 面 积 最 大 ？求 出 AMB 的 最 大 面 积 及 此 时 点 M 的 坐 标 ；当 M 点运动到何 处 时，四边形 AMCB 的面积最大？求出四边形 AMCB 的最大面积及此时点 M 的坐标.A BOOxAy图 9C26.解：（1）抛物线 的对称轴为：直线kxy2)1(.(1 分)x抛物
41、线 过点 C（0， ） ，则kxy2)( 3， . (2 分)k20(34（2）如图 9，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段 AC 上就可使 的值最小，又因为 P 点要在PA对称轴上，所以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 的1x交点.由（1）可知，抛物线的表达式为：.324)(2xxy令 ，则 ，解得： ，004)1(31x.2则点 A、B 的坐标分别是 A（ ，0） 、B（ ，0）.设直线 AC 的表达式为 ，则bkxy解得：3b31所以直线 AC 的表达式为 . (3 分)xy当 时， ，1x2)1(y所以，此时点 P 的坐标为（ ， ）. (4 分)（3）依题意得：当点 M
42、运动到抛物线的顶点时，AMB 的 面 积 最 大 . 由 抛 物 线 表 达 式 可 知 ， 抛4)1(2xy物 线 的 顶 点 坐 标 为 （ ， ）.点 M 的坐标为（ ，14）. (5 分) AMB 的 最 大 面 积 . 4 83ABS(6 分)方法一：如图 9，过点 M 作 轴于点 H，连结x、 、 . 点 M 在 抛 物 线 上 ， 且 在 第 三 象 限 ， 设 点ACM 的 坐 标 为 （ ， ） ， 则x32OBCOHCAHAB SSS 四四 312)(32(1)(3212 xxxx13.6293x875)23(x当 时，四边形 AMCB 的 面积最大，最大面积为 . 875
43、(8 分)当 时，23x.4153)2()(2 四边形 AMCB 的面积最大时，点 M 的坐标为（ ， ）. (9 分)23415方法二：如 图 9， 过 点 M作 轴 于 点 H， 交 直 线 AC于 点xN， 连 结 、 、 . 点 M 在 抛 物 线 上 ， 且 在 第 三 象 限 ，ACB设 点 M 的 坐 标 为 （ ， ） ， 则 点 N 的坐标为x32（ ， ） ，x3则 . 则x)(2AMCABCACBSS四(7 分)321)(21x692.当 时，四边形 AMCB 的面积最8753x大，最大面积为 . (8 分)当 时， .23x 4153)2()3(22 x四边形 AMCB 的面积最大时，点 M 的坐标为（ ，）. (9 分)415xyOA BCMHN图 9P4、5、6、
