1、矩阵论试题 (2011级硕士试题 ) 一、 (10分 )设函数矩阵 tt tttA s inco s co ss in求: t dttA0和 ( 20t dttA)。 解: t dttA0= tttttd ttd tdttdtt0000s inc o sc o ss in = tt tt co s1s in s inco s1 ( 20t dttA)= 22222s inc o s c o ss in22 tt tttttA二、 (15分 )在 3R 中线性变换 将基 1111,1202,1013变为基 0111,1102,2303(1)求 在基 321 , 下的矩阵表示 A; (2)求向量
2、T3,2,1 及 在基 321 , 下的坐标; (3)求向量 及T3,2,1 在基 321 , 下的坐标。 解: (1)不难求得: 2111 32122 32133 2 因此 在 321 , 下矩阵表示为 110211111A (2)设 321321 ,kkk ,即 321111021101321kkk 解之得: 9,4,10321 kkk所以 在 321 , 下坐标为 T9,4,10 。 在 321 , 下坐标可得 1332239410110211111321yyy (3) 在基 321 , 下坐标为 6151941001111110194101A 在基 321 , 下坐标为 9410133
3、2230111111011332231A 三、 (20分 )设 301010200A ,求 Ate 。 解:容易算得 21 2 AI 21 m 由于 m 是 2次多项式,且 2,1 21 ,故 g 是 1次多项式,设 10 aag 由于 tef ,且 11 gf , 22 gf ,故 10210 2aae aaett 于是解得: tttteea eea 2120 2 从而: tttttttttttttAteeeeeeeeeAeeEeeAaEaAgeAf22222210200022022四、 (15分 )求矩阵000110101A 的奇异值分解。 解:211110101AAB T 的特征值是 0
4、,1,3 321 对应的特征向量依次为 2111,0112,1113于是可得 2rankA , 10 0331062312161312161V计算: 0021212121111 AVU 构造 1002U,则 100021210212121 UUV 则 A的奇异值分解为: TVUA000010003 五、 (15分 )求矩阵 122211212101A 的满秩分解: 解: 111000001130200012101100122201011210012101行EA111011001P 可求得: 1120110011P 121101B , 3020 2101C 于是有 BCA 3020 210112
5、1101 HHHH BBBCCCA 11 或 HHHH BACBCA 1 六、 (10分 )求矩阵201034011A 的 Jordan标准形。 解:求 AE 的初等因子组,由于 21004313001201034011 AE 0101220001210010001222 21200010001因此,所求的初等因子组为 21,2 ,于是有 A J=100110002 七、 (10 分 )设 V 是数域 F 上的线性空间, 21,VV 是 V 的子空间,则 21 VV 也是 V 的子空间。 证明:由 21 0,0 VV ,知 210 VV ,即说 21 VV 非空,对于任意 21, VV ,则2
6、1 , VV 且 。因为 21,VV 是子空间,所以 21 , VV ,故 21 VV 。 对任意 Fk ,有 1Vk ,且 2Vk ,因此知 21 VVk ,故知 21,VV 为 V 的子空间。 八、 (5分 )设010101001A , 求证 322 nEAAA nn 。 证明:矩阵 A的特征多项式为 112 f 令 111 22222 nnng 11111 43222 nnn 3 由 Hamilton-Cayley定理知 0Ag 因此 EAAA nn 22 中国石油大学研究生考卷( B 卷) 学号 姓名 考试方式 闭卷 班级 考试课程名称 高等代数与矩阵分析 考试时间: 2010 年 1
7、 月 8 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、 设 4Rx 是所有次数小于 4 的实系数多项式组成的线性空间,求多项式3( ) 1 2p x x 在基 231, 1, ( 1) , ( 1)x x x 下的坐标。 ( 12 分) 二、 求矩阵 的 Jordan 标准形。 ( 12 分) 三、 已知 02 23A,验证 A 是正规矩阵,且求酉矩阵 U ,使 HUAU 为对角矩阵。( 15 分) 411301621A四、已知 2 1 2 3 12 5 1 4 11 3 1 2 1A, 求 A 的满秩分解。 ( 15 分) 五、设2.04.02.03.05.01.01.
8、05.02.0A ,证明矩阵幂级数0kk A绝对收敛 , 并求其和 ? (10 分 ) 六、 ( 14 分) 七、证明 :若线性空间 V 中向量组 12, , , m 线性无关 , 且向量组 12, , , ,m 线性相关,则 可由 12, , , m 线性表出,且表出是唯一的。 (10 分 ) 八、设 S 和 T 都是半正定实对称方阵,证明: det( S T) det S 。( 12 分) 矩阵理论考试卷 -2004 一、已知 3R 的线性变换 T 在基 )1,1,1(1 , )1,0,1(2 , )1,1,0(3 下的矩阵为 121011101A ,求 T 在基 )0,0,1(1 , )
9、0,1,0(2 , )1,0,0(3 下的矩阵 B. 00 , lim ,0kkccA c c A O ccc设 且 试 确 定 实 数 的 取 值 范 围 。 二、设 T 是复数域 C 上的三维线性空间 V 上的线性变换,已知 T 在 V 上的一组基 1 , 2 , 3 下的矩阵为 284014013A , 试求:( 1)矩阵 A 的特征值和特征向量 ( 2) T 的特征值和特征向量 三、( 1)设 321 , 是三维欧氏空间 V 上的一组标准正交基,试求 V 的一个正交变换 T 使得321 313232 T. ( 2)设 321 , 是三维欧氏空间 V 上的一组标准正交基,试求 V 的一个
10、正交变换 T 使得32123211323132313232TT 四、求矩阵211212112A 的若当标准型 J ,并求相似变换矩阵 P 使得 JAPP 1 . 五、若 A 满足 EAA 2 ,证明 A 可对角化 六、求矩阵101011110A 的 QR 分解 七、设矩阵 A 可逆, 是 A 的一个任意特征值,证明对任意的矩阵范数 ,11 AA . 八、解微分方程1)0(1341)0(1222121211xxxdtdxxxxdtdx . 九、求隔离矩阵102111048.0520A 的特征值 . 矩阵理论考试卷 -2005 一、已知 3R 的线性变换 T 在基 )1,1,1(1 , )1,0,
11、1(2 , )1,1,0(3 下的矩阵为 121011101A ,求 T 在基 )0,0,1(1 , )0,1,0(2 , )1,0,0(3 下的矩阵 B. 二、设 T 是复数域 C 上的三维线性空间 V 上的线性变换,已知 T 在 V 上的一组基 1 , 2 , 3 下的矩阵 为 284014013A , 试求:( 1)矩阵 A 的特征值和特征向量 ( 2) T 的特征值和特征向量 12 三、设 321 , 是三维欧氏空间 V 上的一组标准正交基,试求 V 的一个正交变换 T 使得32123211323132313232TT. 四、设 V 是 n 维欧氏空间, 是 V 中的一个取定的非零向量,证明 ( 1) 的子空间是 VVxxxV ,0),(1 ( 2) 1n1 Vdimv 13 四、求矩阵201034011A 的若当标准型 J ,并求相似变换矩阵 P 使得 JAPP 1 . 14 五、求矩阵101011110A 的 QR 分解 七、设矩阵 A 可逆, 是 A 的一个任意特征值,证明对任意的矩阵范数 ,11 AA . 15 八 、 解 微 分