1、,第十四章 动静法,2,本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。,动力学,141 质点的动静法 142 质点系的动静法 143 刚体惯性力系的简化 144 刚体定轴转动时轴承动反力的概念 达朗伯原理的应用,第十四章 动静法,4,14-1质点的动静法,动力学,力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。,一、惯性力的概念,人用手推车，人给小车一个力 ，而反过来小车也给人手一个力 ，由牛顿第三定律， （作用力与反作用力
2、定律）；由牛顿第二定律,所以,5,动力学,注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。,6,动力学,非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，合力,质点的动静法,二、质点的动静法,7,动力学,即：质点在任意瞬时，除作用的主动力和约束反力外，如再假想地加上惯性力，则这些力在形式上将组成一平衡力系。,8,动力学,该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。,9,动力学,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单
3、摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,10,动力学,选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力,角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。这就是摆式加速计的原理。,解：,由动静法, 有,解得,11,动力学,14-2 质点系的动静法,对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为：,设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有,12,动力学,注意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 则,表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。,13,
4、动力学,对平面任意力系：,对于空间任意力系：,实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。,用动静法求解动力学问题时，,14,动力学,14-3 刚体惯性力系的简化,简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。,无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。,15,动力学,一、刚体作平动,向质心C简化：,刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。,翻页请看动画,16,动力学,17,动力学,空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向
5、O点简化：,二、定轴转动刚体,先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。,O,直线 i : 平动， 过Mi点，,18,动力学,主矩：,主矢：,19,动力学,作用在C点,作用在O点,20,动力学,讨论：,刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。,21,动力学,讨论：,转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）,22,动力学,讨论：,23,动力学,假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。,刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动： 作用于质心,三、刚体作平面运动,24,动力学,25,动力学,对于平面运动刚体：由动
6、静法可列出如下三个方程：,实质上：,26,动力学,例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,选杆AB为研究对象 虚加惯性力系：,解：,根据动静法，有,27,动力学,28,动力学,用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：,解：选AB为研究对象,由质心运动定理：,29,动力学,例2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最
7、大值。,取轮为研究对象 虚加惯性力系：,解：,O,30,动力学,由(1)得,O,由动静法，得：,31,动力学,由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必须 Ff N =f (P+S) (5),可见，f 越大越不易滑动。 Mmax的值为上式右端的值。,把(5)代入(4)得：,O,32,动力学,14-4 刚体定轴转动时轴承动反力的概念,一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩,33,动力学,34,动力学,根据动静法：,其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得,35,动力
8、学,由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。,使附加动反力为零，须有,36,动力学,当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。,37,动力学,静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。,二、静平衡与动平衡的概念,38,动力学,例1 质量不计的刚性轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡： (b)、 (d),动平衡： (
9、 a),39,动力学,动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,40,动力学,根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,达朗伯原理的应用,41,动力学,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
10、度，标出 方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。,42,动力学,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。,注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。,43,动力学,例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：,方法1 用达朗伯原理求
11、解,44,动力学,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程： 代入上式得：,45,动力学,方法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理：,取系统为研究对象,46,动力学,取系统为研究对象，任一瞬时系统的,方法3 用动能定理求解,47,动力学,两边除以dt，并求导数，得,48,动力学,例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,49,动力学,解：方法1 用达
12、朗伯原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。,50,动力学,列出动静方程：,运动学关系： ，,将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,51,动力学,代入(2)、(3)、(5)式，得：,52,动力学,方法2 用动力学普遍定理求解,(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象,53,动力学,两边对t求导数：,54,动力学,(2) 用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程） 取轮O为研究对象，由动量矩定理得,55,动力学,(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运
13、动定理：,56,动力学,(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程,方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。,57,动力学,例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。,解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：,P,58,动力学,主动力的功：,由动能定理 得,对 t 求导数
14、，则：,(2) 用达朗伯原理求约束反力,取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC,P,59,动力学,列出动静方程：,60,动力学,例4 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。,解：用达朗伯原理求解 绕线轮作平面运动 （纯滚动）,由达朗伯原理，得,将RQ 、MQO代入上式，可得,61,动力学,纯滚动的条件： F f N,62,动力学,1. 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F ？,思考题：,解：,63,动力学,解：,2. 质量为M的三棱柱体A 以加速度 向右移动，质量为m的滑块B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性力的大小和方向如何？,64,动力学,3. 匀质轮重为P，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为 ，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。,解：,65,动力学,第十四章结束,
