1、1考点 23 正弦定理和余弦定理的应用1在ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边，若 ，则ABC 是（ ）A 直角三角形 B 等腰三角形C 等腰直角三角形 D 直角三角形或等腰三角形【答案】D2在 中， ， ， 为 的中点， 的面积为 ，则 等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意可知在BCD 中，B= ，AD=1，BCD 的面积 S= BCBDsinB= BC = ，解得 BC=3，在ABC 中由余弦定理可得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=2 2+32223 =7，AC= ，故选：B23设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的形状为A 锐角三角形 B
2、直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形【答案】B4已知锐角 的内角为 ， ， ，点 为 上的一点， ， ， ，则的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】 中，由余弦定理可得， ，35如图所示，设 ， 两点在河的两岸，一测量者在 所在的同侧河岸边选定一点 ，测出 的距离为 ， 后，就可以计算出 ， 两点的距离为（ ）A B C D 【答案】A【解析】在ABC 中，AC=50m，ACB=45，CAB=105，即ABC=30，则由正弦定理 ，得 AB= 故答案为：A.6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，b4，则ABC 的面积的最大值为A 4 B 2 C 3
3、 D 【答案】A47在 中， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，记 ，四边形的面积分别为 ， ，则 的最大值为（ ）A B C D 【答案】C58我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为_步. （参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为 5 步,前后相距 1000 步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行 123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆
4、顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127 步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?） （丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5 步” ）【答案】1255 步【解析】如图所示，设岛高 步，与前标杆相距 步，由相似三角形的性质有 ，解得： ，则海岛高度为 1255 步.9如图，在 中， , ，点 是 外一点， ， ，则平面四边形 面积的最大值是_.6【答案】10 中， ， 为边 的中点， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】当 C 无限接近 A 时，BC 无限趋近于 AB，所以 AB 近似等于 2AM，此时 2AB+AC 长度趋近于 ；当 B 无限接近 A 时，B
5、C 无限趋近于 AC，则 AC 近似等于 2AM，此时 2AB+AC 长度趋近于 .11如图所示，在圆内接四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面积为_ 【答案】712如图，为了测量两山顶 ， 间的距离，飞机沿水平方向在 ， 两点进行测量，在 位置时，观察 点的俯角为 ，观察 点的俯角为 ；在 位置时，观察 点的俯角为 ，观察 点的俯角为 ，且，则 ， 之间的距离为_【答案】813在一幢 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为 ，塔基的俯角为 ，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为_ 【答案】40【解析】如图所示，过房屋顶 C 作塔 AB 的垂线 CE，垂足为 E，则 CD=10，ACE=
6、60，BCE=30，BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD= ACE=60，AEC=90，AC=2CE=20 ，9AE= =30AB=AE+BE=30+10=40故答案为：4014如图，在 中， ，点 在线段 上，且 ， ，则 的面积的最大值为_【答案】 .1015已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且，则 的取值范围为_【答案】【解析】由正弦定理 ，得 即由余弦定理 得又 由题可知 则11即 的范围 .16 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，若点 是 外一点， ，则平面四边形 面积的最大值是_.【答案】17在圆内接四边形 中, , ,则 的面积的最大值为_【答案
7、】【解析】1218如图，在 中， ， ，以 为斜边构造等腰直角三角形 ，则得到的平面四边形面积的最大值为_.13【答案】19在 中，角 所对应的边分别为 ，若 ， ，则当角 取得最大值时，三角形的内切圆的半径 为_【答案】【解析】分析：根据 得到 ，故可用 表示 ，利用基本不等式得到 的最大值和 取最大值时 的取值，最后利用等积法求内切圆的半径详解：因为 ，所以 且 即 ，当且仅当 时等号成立，故 ，所以 即 ，此时 ，解得 20为丰富农村业余文化生活，决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心通过测量，发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M
8、为圆心，以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处，且AB8 km， BC km经协商，文化服务中心拟建在与 A,B 等距离的 O 处，并建造三条道路 AO,BO,NO 与14各村通达若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 万元， NO 段为每公里 a 万元，建设总费用为 万元（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离 N 村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离 N 村的距离.【答案】 （1） ；（2）即 ，令 当所以当 有最小值，这时，答：该文化中心离 N 村的距离为1521在 中， ， （1）求证： 平分 ；（2）当 时，若 ， ，求 和 的长【答案】(1)见解析;(2) , .
9、所以 ，1622在 中, 分别是角 的对边，且 .（）求 的值；（）若 ， ,求 的面积.【答案】 （） ；（） .【解析】 （）由 得：，又1723已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若 .（1）求角 ；（2）当 的值最小时，求 的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】 （1）由正弦定理得 ， ， ， ， .（2）1824 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 的面积为 .（1）求 ；（2）若 为 中点，且 ，求 的最大值.【答案】(1) .(2) .19解法二：（1）同解法一.因为 ， ，所以 ，即 .因为 为 中点，所以 ，20所以，当且仅当 时，等号成立.所以 的最大值为 .25已知向量 ，函数 （1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；（2）在 中，三内角 的对边分别为 ，已知函数 的图像经过点 ， 成等差数列，且，求 a 的值【答案】 （1） ， （2）又因为 成等差数列，所以而 ，
