1、1考点 14 导数的应用1已知函数 （ 为自然对数的底数） ， ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C2函数 在 上的最小值为（ ）A 4 B 1 C D 【答案】C【解析因为 ，在【0,2】上递减，在（2,3）上递增，因此可知函数在给定区间的最大值为 x=2 时取得，且为-4，选 C. 3已知函数 ，若函数 在 x2，+)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围为( )A ( -,8) B (-,16C (-,-8)(8,+) D (-,-1616,+)2【答案】B【解析】 在 上单调递增，则 在 上恒成立.则在 上恒成立.所以 .选 B.4若 在（1,3）上
2、单调递减，则实数 a 的取值范围是( )A (，3 B C D (0,3)【答案】B5已知函数 的导函数为 ，且 对任意的 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ， B ，C ， D ，【答案】A【解析】令 ，则 .， ， 是减函数，则有 ， ，即，所以 .选 .6已知函数 是定义在 上的函数，且满足 ，其中 为 的导数，设 ， ，则 、 、 的大小关系是A B C D 【答案】A【解析】函数 是定义在 上的函数，且满足 ,设 0,故函数 F（x）是单调递增函数，则 F（1）F(ln2)F(0), , .故答案为：A.7直线 与曲线 相切于点 ，则 （ ）A 1 B 4 C 3 D 23【答
3、案】A8设 是定义在 上的奇函数,且 ,当 时,有 恒成立,则不等式 的解集为( )A B C D 【答案】D【解析】设 ，则 .当 时，有 恒成立当 时， ，即 在 上为减函数又 是定义在 上的奇函数 ，即 为 上的偶函数.函数 的图象如图： ，且4根据图象可得 或不等式 的解集为故选 D. 9若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B实数 的取值范围是故选 B. 10已知函数 的导函数为 ， 且 ，则 的解集为_【答案】11已知 ， ，若 ，使得 成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】 ，5则可知 在 单调递增，在 单调递减.故 .在 单调递减，在
4、 单调递增.故 .，使得 成立，则 ，所以 .12设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式的解集是_【答案】 【解析】根据题意，令 g（x）=x 3f（x） ，其导函数为 g（x）=3x 2f（x）+x 3f（x）=x 23f（x）+xf（x），x（，0）时，3f（x）+xf（x）0，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递增；又不等式（x+2015） 3f（x+2015）+27f（3）0 可化为（x+2015） 3f（x+2015）（3） 3f（3） ，即 g（x+2015）g（3） ，0x+20153；解得2015x2018，该不等式的解集是为（2018，2015） 故
5、答案为：（2018，2015） 13已知函数 .(1)若 上存在极值，求实数 m 的取值范围；(2)求证：当 时， 【答案】 （1） ;（2）见解析678当 时，所以 ，即14已知函数 在 处取得极值.（1）确定 的值;（2）若 ,讨论 的单调性.【答案】 （1） ；（2）见解析915已知函数 （1）讨论 的单调性；（2 若函数 有两个零点分别记为 求 的取值范围；求证： 【答案】见解析；见解析；见证明1011要证 ， 即证 ，即证 ，令 ，则当 时， 单调递增12不妨设 ，则 ，即 ，又 ， ，在 上单调递减， ， ，原命题得证16已知函数 （1）若 对 恒成立，求 的值；（2）求证： （
6、） 【答案】 ；见证明（2）由（1）： （当且仅当 时等号成立）令 ，则有 ， ， ， ，13，累加得 ，原命题得证17已知函数 ，当 时， 的最小值为 0（1）求 的值；（2）若 ，不等式 在区间 上有解，求 的取值范围【答案】 ；1418函数 ,a 为实数(1)若函数 y=f(x)在区间(ln2,2)内存在极值点,求 a 的取值范围;(2)若函数 y=f(x)在区间 上是单调递增函数,判断函数 的零点个数【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】 （1） ， 当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在该区间内不存在极值点；当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ，15当 时，即 时，
7、16 ， ，即函数在 上存在一个零点，19已知函数 .（1）当 且 时，试判断函数 的单调性；（2）若 且 ，求证：函数 在 上的最小值小于 ；（3）若 在 单调函数，求 的最小值.【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.17【解析】 （1）由题可得 ， 设 ，则 ，所以当 时 ， 在 上单调递增，当 时 ， 在 上单调递减，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递増. （2）由（1）知 在 上单调递増，因为 ，所以 ，所以存在 ，使得 ，即 ，即 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递増，所以当 时， .令 ，则 恒成立，所以函数 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即
8、当 时 ，故函数 在 上的最小值小于 .（3） ，由 为 上的单调函数，可知 一定为单调增函数因此 ，令 ，当 时， ；当 时， ， 在 上为增函数时, 与 矛盾 当 时,当 时, ，令 ，则 当 时, , 的最小值为 .20已知函数 , R. （）当 时,求 的单调区间和极值；（)若关于 的方程 恰有两个不等实根,求实数 的取值范围；18【答案】 （1）在 和 上单调递增,在 上单调递减， , ； （2） .【解析】 （）解:当 时,函数 ,则 . 令 ,得 , ,当 变化时, 的变化情况如下表:+ - + 极大值 极小值 在 和 上单调递增,在 上单调递减. 当 时, ,当 时, . （）
9、依题意 ,即 . 则令 ,则 . 当 时, ,故 单调递增（如图）, 且 ；当 时, ,故 单调递减,且 .函数 在 处取得最大值 . 故要使 与 恰有两个不同的交点,只需 .实数 的取值范围是 .21已知函数 .19(1)若直线 过点（1，0） ，并且与曲线 相切，求直线 的方程；(2)设函数 在1,e上有且只有一个零点，求 的取值范围.(其中 R，e 为自然对数的底数)【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】 （1）设切点坐标为（x 0，y 0） ，则 y0=x0lnx0,切线的斜率为 lnx0+1，所以切线 l 的方程为 y-x0lnx0=（lnx 0+1） （x-x 0） ，又切线
10、 l 过点（1，0） ，所以有-x 0lnx0=（lnx 0+1）(1-x 0)，即 lnx0=x0-1，设 h（x）=lnx-x+1，则 ，x（0,1） ， ，h（x）单调递增，x（1, ） ，h（x）单调递减，h（x） max=h(1)=0 有唯一解，所以 x0=1，y 0=0.所以直线 l 的方程为 y=x-1. （2）因为 g（x）=xlnx-a（x-1） ，注意到 g（1）=0，所以所求问题等价于函数 g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e上没有零点.因为 .所以由 lnx+1-aea-1,所以 g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1， ）上单调递增. 当 ea-
11、11，即 a1 时，g（x）在（1,e上单调递增，所以 g（x）g(1)=0.此时函数 g（x）在（1,e上没有零点， 当 1ea-1e,即 1a2 时，g（x）在1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e上单调递增，又因为 g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e上的最小值为 g（e a-1）=a-e a-1，所以（i）当 1a 时，g（x）在1,e上的最大值 g（e）0，即此时函数 g（x）在(1,e上有零点.（ii）当 a2 时，g（e）0，即此时函数 g（x）在（1,e上没有零点，当 ee a-1即 a2 时，g（x）在1,e上单调递减，所以 g（x）在1,e上满足
12、 g（x）g(1)=0 ， 此时函数 g（x）在(1,e上没有零点. 综上，所求的 a 的取值范围是 或 .22已知函数(1)若 时，讨论 的单调性；(2)若 有两个极值点 ，求 的取值范围【答案】(1) 的减区间是 ，增区间是 和20(2) 【解析】 (1) 时， ，时 ， 或 时 的减区间是 ，增区间是 和 (2)若 有两个极值点 ，则须 有两个不等异号正零点令 ，故须 有两个不等异号正零点则 时，不可能有两个不等正零点故 不可能有两个极值点 时，时， ； 时，故 在 上单减，在 上单增须解得，而 ，故 在 上和 上各一个异号零点有两个不等异号正零点有两个极值点21综上， 的取值范围是 2
13、3已知函数 （1）求函数 在 上的值域；（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】 （1）易知 ，在 上单调递减， ， 时， ， 在 上的值域为 （2）令 ，则 ， 2224已知函数 .(1)试判断函数 的单调性;(2)设 ,求 在 上的最大值;(3)试证明:对任意 ,不等式 都成立(其中 是自然对数的底数).23【答案】 （1）函数 在 上单调递增,在 上单调递减（2） （3）见解析2425因此对任意 恒有 .因为 , ,所以 ,即 .因此对任意 ,不等式 .25已知函数 ，其中常数 .（1）当 时，求函数 的单调减区间；（2）设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，若 在 内恒成立，则称 为函数 的“类对称点” ，当 时，试问 是否存在“类对称点” ，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)单调递减 (2) 存在“类对称点” ，其横坐标为所以在点 处的切线方程为，令26则又则令 得 或 当 ，即 时，令 ，则 ，所以函数 在区间 上单调递减，又易知所以当 时， ，从而有 时，当 ，即 时，令 ，则 ，所以 在 上单调递减，所以当 时， ，从而有 时，所以当 时，函数 不存在“类对称点”当 时， ，所以函数 在 上是增函数，若 ， ，若 ， ， 故 恒成立所以当 时，函数 存在“类对称点” ，其横坐标为 。
